复习02 直线中的对称及线段的和差问题（五大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习02 直线中的对称及线段的和差问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直线关于直线对称】 【题型2 直线关于点对称】 【题型3 点关于直线对称】 【题型4 线段之和的最值问题】 【题型5 线段之差的最值问题】 知识点 1 两条直线平行 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识点 2 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 知识点 3 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 难点 1 ：直线关于点对称 方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 难点 2 ：直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 难点 3 ：点关于直线对称 利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 难点 4 ：线段之和或差的最值 （1）定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； （2）定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 题型归纳 【题型1 直线关于直线对称】 例1．直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 例2．已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 变式1-1．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 变式1-2．已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为， 故. 故选：C. 变式1-3．如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【答案】 6 【详解】解：直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 【题型2 直线关于点对称】 例3．直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 例4．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 变式2-1．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 变式2-2．与直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 故答案为：. 变式2-3．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，4)对称，求直线l的方程． 【答案】6x－8y＋9＝0. 【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b，写出再次平移后的直线方程，由第二次平移后直线与原直线重合可求得，然后在直线上取一点，它关于的对称点坐标，由对称点在直线上可求得结果． 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b， 将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b， ∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b， 直线l1的方程为y＝x＋＋b，取直线l上的一点，则点P关于点(2，4)的对称点为， ∴8－b－＝ (4－m)＋b＋，解得b＝. ∴直线l的方程是y＝，即6x－8y＋9＝0. 故答案为：6x－8y＋9＝0． 【题型3 点关于直线对称】 例5．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 例6．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    变式3-1．已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. 变式3-2．若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 变式3-3．在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）边上的高线所在的直线方程为， 边可设为 又点在AC边上，，求得 直线AC的方程为. （2）由，解得 设点关于直线对称的点 ，解得 , 又点在直线AB上， ，则求得直线AB的方程为：，即. 【题型4 线段之和的最值问题】 例7．已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为点关于直线的对称点，则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即. 直线的方程为，即， 由，解得，即直线与交于点. ，当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为. 故选：C 例8．在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作出关于直线的对称点， 作出关于轴的对称点， 连结，交直线于，交轴于， ，， 三角形的周长为线段的长， 由两点间线段最短得此时三角形的周长最小， 三角形的周长最小时，最小值为：． 故答案为：． 变式4-1．已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标． 【答案】， 【详解】由题可得，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 点关于轴的对称点，则直线的方程为，即. 当、分别为直线与直线、轴的交点时，的周长最小. 令，得到直线与轴的交点. 由，解得，所以直线与直线的交点为. 故点，即为所求. 变式4-2．已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【详解】（1）当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为， ∵直线l过点，且点A，B到l的距离相等， ∴直线l的方程为， 当直线l与线段AB平行时，则， 得直线l的方程为：，即， ∴综上所知：所求的直线l的方程为和； （2）点关于y轴对称的点为，则， 当且仅当，P，B三点共线时，的最小值为5. 由两点式可知，直线的方程为， 化简，得，当时，， 所以点P的坐标为. 变式4-3．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 【题型5 线段之差的最值问题】 例9．已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 例10．点P在直线：上，当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为 . 【答案】 【详解】解：因为和，所以和在直线的两侧， 设点是点关于直线对称的对称点， 则，解得，所以点，根据题意作图如下： 所以，由图可知，, 当、、三点共线时，差值最大，且最大值为， 因为和，所以直线的方程为： 所以，解得，所以. 所以当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查求关于直线对称的对称点、求直线的交点坐标、动点到定点的距离差的最值问题，是中档题. 变式5-1．已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 变式5-2．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 变式5-3．已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    过关检测 一、单选题 1．（2024-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 2．（2024-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 3．（2024-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 4．（2023-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 6．（2024-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B 7．（2023-24高二·云南普洱·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得折线为点和的垂直平分线， 两点和连线段的中点为,斜率为， ∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y=x+2， 设点关于直线的对称点为, 则，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点问题和线段的垂直平分线方程的求法，涉及直线垂直的条件，中点公式，属基础题. 二、多选题 8．（2023-24高二·广东汕头 期中）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 【答案】AD 【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n）， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，， 故选：AD 9．（2023-24高二上·山东济南·期末）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】AD 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则整理得， 解得或. 故选：AD. 三、填空题 10．（2024-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 11．（2023-24高二上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 四、解答题 12．（2023-24高一下·福建厦门 期末）（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线l的方程； （3）求直线关于直线对称的直线l的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）过点且与直线垂直的直线的方程为， 由得， 即直线与直线的交点坐标为， ∵点关于点的对称点的坐标为， ∴点A关于直线l的对称点的坐标为. （2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上， ∴，整理得， 即所求直线l的方程为. （3）由得 ∴两直线的交点为， 在直线上取点， 设点B关于直线的对称点为， 则有 解得即点C的坐标为， 由于所求直线经过A､C两点，则有， 即， ∴所求直线l的方程为. 13．（2023-24高二·江苏·期中）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． （2），解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 14．（2024-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 15．（2023-24高二上·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习02 直线中的对称及线段的和差问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直线关于直线对称】 【题型2 直线关于点对称】 【题型3 点关于直线对称】 【题型4 线段之和的最值问题】 【题型5 线段之差的最值问题】 知识点 1 两条直线平行 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识点 2 两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 知识点 3 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 难点 1 ：直线关于点对称 方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 难点 2 ：直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 难点 3 ：点关于直线对称 利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 难点 4 ：线段之和或差的最值 （1）定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； （2）定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 题型归纳 【题型1 直线关于直线对称】 例1．直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 变式1-1．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 变式1-3．如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【题型2 直线关于点对称】 例3．直线关于点对称的直线方程为 . 例4．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．与直线关于点对称的直线方程是 ． 变式2-3．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，4)对称，求直线l的方程． 【题型3 点关于直线对称】 例5．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 例6．已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 变式3-1．已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 变式3-2．若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 变式3-3．在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求直线AB的方程. 【题型4 线段之和的最值问题】 例7．已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 例8．在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 变式4-1．已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标． 变式4-2．已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 变式4-3．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 线段之差的最值问题】 例9．已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 例10．点P在直线：上，当P到和的距离之差最大时，点P的坐标为 . 变式5-1．已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 变式5-2．已知实数满足，则的最大值为 ． 变式5-3．已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 过关检测 一、单选题 1．（2024-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．（2024-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 4．（2023-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 6．（2024-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 7．（2023-24高二·云南普洱·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2023-24高二·广东汕头 期中）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 9．（2023-24高二上·山东济南·期末）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 三、填空题 10．（2024-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 11．（2023-24高二上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 四、解答题 12．（2023-24高一下·福建厦门 期末）（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线l的方程； （3）求直线关于直线对称的直线l的方程. 13．（2023-24高二·江苏·期中）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 14．（2024-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 15．（2023-24高二上·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$