精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年上学期期中学业监测九年级数学试题

2024——2025学年度第一学期学业监测 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分：测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题纸的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂：非选择题答案，请用0.5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题纸上．答案写在本试卷上或答题纸规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题纸交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，请将答案涂到答题卡上） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 7. 物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第II卷（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案写在答题卡上） 9. 因式分解：__________ 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 11. 已知圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，它的侧面积为________ cm2． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为____． 13. 若是一元二次方程的一个根，则多项式的值为____． 14. 如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则____． 15. 如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如下： 解： ① ② ③ 当时，原式 ④ ⑤ （1）请指出他解答过程中开始出现错误的步骤是_________；（填序号） （2）写出正确的完整解答过程． 19. 学校计划在八年级开设以下四门校本课程：无人机、创客、人工智能和D航模，为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是______ （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是方程的一个根，求出的值及方程的另一个根． 21. 如图，在中，，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，经过点A、B、C； （2）在图2中，圆心O在边上，过点C且与相切． 22. 在实数范围内，对于任意实数m、规定一种新运算：，例如：． （1）计算：； （2）若的值为4，求的值． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 24. 如图，在中，，平分交于点D，O是上一点，以为圆心，为半径的半圆经过点D，交于点E． （1）试说明：是的切线； （2）若，连接，则_________． 25. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点， ①在点、中，为关于点的旋垂点是_________； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，则点横坐标的最大值是_________； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，求的取值范围． 27. 综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第一学期学业监测 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分：测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题纸的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂：非选择题答案，请用0.5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题纸上．答案写在本试卷上或答题纸规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题纸交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，请将答案涂到答题卡上） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 卡西尼卵形线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 费马螺线 D. 蝴蝶曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 4. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等． 先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D． 5. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用3月份的收入=1月份的收入×1+月收入的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 8. 如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点B作于点E，根据反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点B作于点E， ∵点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． ． 第II卷（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案写在答题卡上） 9. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 11. 已知圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，它的侧面积为________ cm2． 【答案】48π 【解析】 【详解】试题分析：根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可． 解：圆锥母线长=8cm，底面半径r=6cm， 则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm2． 故答案为48π． 考点：圆锥的计算． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则多项式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 根据一元二次方程根的定义得到，然后整体代入计算即得． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， 得 ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则____． 【答案】##54度 【解析】 【分析】连接，，先证明，得到，再利用等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 15. 如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接、、．根据垂径定理得点是的中点，根据折叠的性质，得点是，从而得，故；根据垂直平分求得与的数量关系，从而求得的度数，进而求出的度数，故可求得的度数；根据扇形的面积公式计算扇形的面积，再根据菱形的面积公式计算菱形的面积，从而根据求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点，交于点，连接、、． ∵， ∴点是的中点， 根据折叠的性质，得点是的中点， ∴，即，则四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、翻折变换，掌握垂径定理、折叠的性质、扇形及菱形的面积计算公式是解题的关键． 16. 如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则，证明得，在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长． 【详解】解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用配方法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键． 18. 小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如下： 解： ① ② ③ 当时，原式 ④ ⑤ （1）请指出他解答过程中开始出现错误的步骤是_________；（填序号） （2）写出正确的完整解答过程． 【答案】（1）① （2） 解： 当时， 原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值． （1）根据分式加法运算步骤进行判断即可； （2）先通分把异分母分式加法变为同分母分式加法，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：他解答过程中开始出现错误的步骤是①，理由是： 这是分式的加减法，不是解分式方程，不能去分母； 故答案为：① 【小问2详解】 略 19. 学校计划在八年级开设以下四门校本课程：无人机、创客、人工智能和D航模，为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是______ （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2）144 （3）估计选择“创客”课程的学生有112名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）用的人数除以所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它人数求出的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）用560乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数为（名， 所以的人数（名， 故答案为：40 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是； 故答案为：144； 【小问3详解】 解：（名， 答：估计选择“创客”课程的学生有112名． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是方程的一个根，求出的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）或， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出或，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：或， 当或时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 21. 如图，在中，，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，经过点A、B、C； （2）在图2中，圆心O在边上，过点C且与相切． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的性质、圆周角定理． （1）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （2）结合角平分线的性质、切线的性质，作的平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴是经过点A、B、C三点的圆的直径， 如图1，作线段的垂直平分线，交于点O，此时根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，作的平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． 22. 在实数范围内，对于任意实数m、规定一种新运算：，例如：． （1）计算：； （2）若的值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了新定义实数运算、解一元二次方程、有理数的混合运算等知识． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义得到，用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 ∵，的值为4， ∴， 即， 则， ∴， ∴， ∴ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当时，的取值范围是_________； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点C，连结，则的面积为_________． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方； ∴当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 24. 如图，在中，，平分交于点D，O是上一点，以为圆心，为半径的半圆经过点D，交于点E． （1）试说明：是的切线； （2）若，连接，则_________． 【答案】（1） 证明：连接OD， ∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴． ∴， ∴， 即， ∵以为圆心，为半径的半圆经过点D， ∴是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）连接OD，则，得到．平分交于点D，则，得到．推出，则，由此得到结论； （2）连接，得到，由得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 25. 某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件：若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件， （1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？ （2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？ 【答案】（1）5元 （2）4元或6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件”，列式计算即可； （2）设每件衬衫的售价提高了元，根据“若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件，这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元”，列方程计算即可． 【小问1详解】 解：元， 答：每件衬衫的售价提高了5元； 【小问2详解】 设每件衬衫的售价提高了元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每件衬衫的售价提高了4元或6元． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点， ①在点、中，为关于点的旋垂点是_________； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，则点横坐标的最大值是_________； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，求的取值范围． 【答案】（1）①，②5 （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，结合新定义解答即可． ②过点A作于点D，轴于点F，设点P的旋转对应点为S，连接，根据点为关于点的旋垂点，得点S在内部或上，设，根据定义，建立不等式解答解答即可． （2）设直线为直线，交轴于点，交轴于点，，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，，作直线，则是直线绕点顺时针旋转后所得直线，先求得直线为，又根据直线上存在关于点的旋垂点，得直线为与有交点，当直线直线为与相切时，直线与有唯一交点，设交点为，构造方程，根据根与系数的关系即可得解． 【小问1详解】 解：①设与x轴的正半轴交点为点N，过点A作于点E， 连接， ∵的半径为1， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点O在的内部， ∴点为关于点的旋垂点； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点N在上， ∴点为关于点的旋垂点； 故答案为：，． ②解：过点A作于点D，轴于点F， 设点P的旋转对应点为S，连接， ∵点为关于点的旋垂点， ∴点S在内部或上， 设， ∴要想使m取最大值，； ∵点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点S一定在y轴上，且在上或内部， ∴， ∴， ∵的半径为1， ∴， 解得， ∴点横坐标的最大值是5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：设直线为直线，交轴于点，交轴于点，，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，，作直线，则是直线绕点顺时针旋转后所得直线， 当时，， 令，则，解得， ∴，， ∴，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，， 设直线为， 把，，代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∵直线上存在关于点的旋垂点， ∴直线为与有交点， 当直线为与相切时，直线与有唯一交点，设交点为， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵直线与有唯一交点，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得，，； ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，切线的性质，待定系数法，旋转的性质，熟练掌握材料中定义，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，切线的性质等是解题的关键． 27. 综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 【答案】（1）四边形是平行四边形，，；（2）；（3）3 【解析】 【分析】（1）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，得四边形是平行四边形，可知，，，再再根据平行线的性质，结合，四边形的内角和为，求得，进而求得，可证得，再由勾股定理及可求解； （2）在上截取，则，进而可证得，得，，再证，可知为等腰直角三角形，得，再证四边形是平行四边形，得，即可求解； （3）延长，交于点，过点作交于点，结合正六边形的性质，设，则，再证为等边三角形，则，，在中，，则，，而，由勾股定理可得：，当时，去等号，要使得最小，则要最小，进而可求解． 【详解】解：（1）解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， 四边形是平行四边形． ，，， ， ， ， ， 四边形的内角和为． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：四边形是平行四边形，，； （2）在上截取，则， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作交于点， 在正六边形中，， 设，则， ∵正六边形得每个外角都相等，且外角和为， ∴， ∴为等边三角形，则，， 而，即， 在中，， 则，， 而， 由勾股定理可得：，当时，去等号， 要使得最小，则要最小， ∵，即最小值为9， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $