16.1 二次根式（第1课时 二次根式的概念）（教学设计）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

16.1 二次根式（第1课时 二次根式的概念）教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册第十六章 二次根式 16.1二次根式，内容包括：第1课时 二次根式的概念. 2.内容解析 本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用,也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义, 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 基于以上分析，本节课的教学重点是:理解二次根式的概念. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解二次根式的概念； （2）能用利用二次根式被开方数是非负数求字母的取值范围. 2.目标解析 （1）教材实际问题引出二次根式，学生通过观察这些式子，并归纳出共同特征，从而得出二次根式的概念，让学生经历由特殊到一般的归纳总结过程，让学生对二次根式有更深刻和直观的认识.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣. （2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围. 三、教学问题诊断分析 本节课二次根式学习是建立在已学了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解二次根式就是一个正数的正的平方根，理解被开方数是个非负数，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.对于判断式子是否二次根式，学生易忽略判断被开方数非负，尤其是当被开方数为多项式时，判断是否非负有一定难度，需要给学生通过实际例题适当总结解题方法，利用被开方数是非负数这一条件进行求字母取值范围也学生易错，主要原因来源于考虑不全，也要引导学生归纳总结，对易错易混点在学生的脑海中形成清楚的认知. 基于以上分析，本节课的教学难点为: 会求二次根式中被开方数字母的取值范围。 四、教学过程设计 （一）旧知再现 1.完成下面表格 （1）正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根. （2）正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根. 【设计意图】通过旧知复习引入，学生再现平方根和算术平方根的知识，利于二次根式知识的迁移. （二）情景导入 问1:用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点. （1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______ （2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为______． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 （单位：）与开始落下时离地面的高度（单位：）满足关系，如果用含有的式子表示,则为____． 在前面的问题中，得到的结果分别是： ， ， ， 【设计意图】通过实际应用题引入，激发学生的学习兴趣，学有用的数学，明白数学来源于生活. （三）新知探究 问2：（1）这些式子分别表示什么意义？ 答：分别表示3，S，65， 的算术平方根． （2）这些式子有什么共同特征？ 答：①根指数都为2;②被开方数为非负数. 师生活动：一问一答，老师指正归纳，并引导学生初步感受二次根式的形式. 一般地，把形如()的式子叫作二次根式，“ ”二次根号,叫被开方数 1.含义：表示的算术平方根 2.可以是数,也可以是式. 3. 4.形式上含有 【设计意图】通过观察实际例子，培养学生观察，归纳和总结的能力. （四）典例分析 例1.下列各式哪些是二次根式？ 1 ② ③ ④ ⑤ 解：①②③是二次根式，④⑤不是二次根式. 归纳总结：两个必备特征 【设计意图】通过正反实例归纳总结二次根式的两个必备条件，让学生更深刻认识二次根式的概念. （五）针对训练 1.下列各式哪些是二次根式？ ① ② ③(异号) ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 解：①②⑤⑦⑧是二次根式，③④⑥⑨不是二次根式. 【设计意图】利用归纳总结的二次根式两个必备条件，判断是否为二次根式，加深学生对二次根式的概念的理解. （六）典例解析 例2.当x取何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）由≥0，得 （2）∵ ∴0，得 （3）∵ ∴ x≥-3 且x≠1. （4）∵ ∴ x3 （5）∵ ∴ x≥－1 且x≠1， x≠3， x≠5. 归纳总结：二次根式有意义的条件应用的不同类型： (1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0； (2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0； (3)多个二次根式相加如有意义的条件： (4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0. (5)二次根式与零指数幂的和如有意义的条件：A≥0且B≠0. (6)二次根式与负整数幂的和如有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳小结：要使代数式有意义 ①二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0. ②若式子中有分母时，应同时考虑分母不为零. ③若式子中有0指数幂或者负指数幂时，应考虑底数不为0 【设计意图】利实例让学生利用二次根式被开方数非负求字母取值范围，让学生再次深刻理解二次根式的意义，引入分母，0指数和负指数训练学生全面思考问题，培养思维上的严谨性. （七）变式训练 1.当字母取何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解（1）： （2） （3）为任意实数 （4） （5）且 （6）且 2.当字母取何值时，下列式子有意义？ （1） （2） 解（1）∵ ∴无论为任何实数, 在实数范围内有意义 （2）∵ ∴当=1时，在实数范围内有意义. 归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 【设计意图】当被开放数里面为三项式时，引导学生利用完全平方公式配方解决问题，并引导学生归纳总结，做到授人以鱼不如授人以渔，交给学生做一类题的方法. （八）实际应用 1.要画一个面积为的长方形，使得它的长宽之比为3：2，求长方形的长和宽. 解：设这个长方形的长为宽为, 由题意可得： 解得： ∵长方形的边长为正 ∴ ∴ ∴长方形的长为宽为 【设计意图】让学生体会学习有用的数学，明白数学来源于生活服务于生活，培养学生将实际问题建立数学模型解决问题的能力. （九）拓展探究 1.为实数，且,化简 解：∵ ∴ x ∴ ∴ = 2.已知为实数，，求的算术平方根 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴为 【设计意图】利用二次根式被开方数非负和利用代数式有意义求字母取值范围解决问题，培养学生独立思考能力和综合解决问题的能力. （十）当堂检测 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D 答案：C 2.下列判断正确的是 ( ) A.带根号的式子一定是二次根式 B.式子一定是二次根式 C.式子一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 答案：C 3.若式子二次根式，则应满足的条件是____________ 答案： 【设计意图】通过练习使学生熟悉理解二次根式的概念． 4.若式子在实数范围内有意义,则的取值范围是____________ 答案： 5.若代数式有意义，则的取值范围是____________ 答案：且 6.若代数式有意义，则的取值范围 是_____________ 答案：为任意实数 7. 答案：三 8.已知,求的值 解：∵ ∴ ∴ ∴ 【设计意图】结合之前的知识，考查学生的综合运用知识解决问题的能力．可根据时间的情况，多让学生思考一下，以求通过练习达到训练学生思维能力和过手解决问题的能力. 9.有一个长宽之比为5:1的长方形过道，面积为10m2，求长方形过道的长和宽。 解：设这个长方形的长为宽为, 由题意可得： 解得： ∵长方形的边长为正 ∴ ∴ ∴长方形的长为宽为 【设计意图】针对训练学生利用二次根式解决实际问题，明白数学服务于生活，学有用数学. （十一）小结梳理 1. 本节课的学习，你有哪些收获？什么是二次根式？. 2. 本节课的学习，求代数式有意义时字母的取值范围应注意什么？ 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对等式性质的理解与掌握． （十二）布置作业 P3.练习2题. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$