16.1 二次根式（第2课时 二次根式的性质）（分层作业）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

16.1 二次根式（第2课时 二次根式的性质）（分层作业） 基础训练 1．下列计算正确的是（　　） A．﹣（）2＝﹣6 B．（）2＝9 C．（）2＝±16 D．﹣（）2 2．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D．． 3．已知|a|＝5，3，且ab＞0，则a+b的值为（　　） A．8 B．﹣2 C．8或﹣8 D．2或﹣2 4.计算 （1） （2） （3） 5．若1﹣x，则x的取值范围为 　 　； 6．如果a1，那么a的取值范围是__________ 7.已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 8．如果有意义，求代数式的值 9.已知a、b满足（a+3b+1）20，且5，求3a2+7b﹣c的平方根． 能力提升 10．若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． 11设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 12．化简：． 13． 已知|7﹣9m|+（n﹣3）2＝9m﹣7，求（n﹣m）2018． 14.求方程的解 15．已知|2020﹣x|x，求x﹣20202的值． 16.若3，求x的取值范围． 17．已知，则化简 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意 拔高拓展 18．已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC． （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 　　（请直接写出答案）； （2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）； （3）若x为整数，求C△ABC的最大值． 19．已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由． 20．设，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值． 21．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（1）2＝12+2×12＝3（根据1） 1． 通过计算，我还发现设m（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b． ∴a＝m2+2n2，b＝　 　． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： （1）文中的“根据1”是 　 　，b＝　 　． （2）根据上面的思路，化简：． （3）已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 二次根式（第2课时 二次根式的性质）（分层作业） 基础训练 1．下列计算正确的是（　　） A．﹣（）2＝﹣6 B．（）2＝9 C．（）2＝±16 D．﹣（）2 【分析】分别利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：A、﹣（）2＝﹣6，正确； B、（）2＝3，故此选项错误； C、（）2＝16，故此选项错误； D、﹣（）2，故此选项错误； 故选：A． 【小结】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 2．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D．． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：A．（）2＝3，故此选项符合题意； B．3，故此选项不合题意； C．（）＝3，故此选项不合题意； D．（）2＝3，故此选项不合题意； 故选：A． 【小结】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 3．已知|a|＝5，3，且ab＞0，则a+b的值为（　　） A．8 B．﹣2 C．8或﹣8 D．2或﹣2 【分析】根据二次根式的性质，绝对值的定义，及乘法中同号为正解答． 【解答】解：已知|a|＝5，3， 则a＝±5，b＝±3， 且ab＞0， 有a b同号，即a＝5，b＝3；或a＝﹣5，b＝﹣3． 则a+b＝±8． 故选：C． 【小结】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，a；a＜0时，a；a＝0时，0．要注意题中ab＞0这个条件，以免造成多解、错解． 4.计算 （1） （2） （3） 【分析】根据二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 【小结】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，a；a＜0时，a；a＝0时，0．要注意题中ab＞0这个条件，以免造成多解、错解． 5．若1﹣x，则x的取值范围为 　x≤﹣1　； 【分析】根据二次根式的性质得出﹣1﹣x≥0，从而求出x的取值范围； 【解答】解：∵， ∴﹣1﹣x≥0， ∴x≤﹣1， 故答案为：x≤﹣1； 【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简是解题的关键． 6．如果a1，那么a的取值范围是__________ 【分析】根据完全平方公式得出1﹣a，根据二次根式的性质得出1﹣a≥0，求出即可． 【解答】解：∵， ∵1﹣a， ∴1﹣a≥0， a≤1， 【小结】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是能根据二次根式的性质得出1﹣a≥0． 7.已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 【分析】由数轴得，a＜b＜0＜c，进一步得出c－a＞0，b－c＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解由数轴得，a＜b＜0＜c， ∴c－a＞0，b－c＜0， ∴ ＝－a－（c－a）+（c－b） ＝－a－c+a+c－b ＝－b． 【小结】本题考查了数轴、二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简是解题的关键． 8．如果有意义，求代数式的值 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1≥0，9﹣x≥0， ∴； 【小结】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9.已知a、b满足（a+3b+1）20，且5，求3a2+7b﹣c的平方根． 【分析】（1）先根据平方、二次根式的非负性，立方根的意义，求出a、b、c的值，再代入求出3a2+7b﹣c的平方根； 【解答】解：∵（a+3b+1）20， ∴a+3b+1＝0，b﹣2＝0． 解得a＝﹣7，b＝2． ∵5， ∴c＝125． ∵3a2+7b﹣c ＝3×（﹣7）2+7×2﹣125 ＝147+14﹣125 ＝36， ∴3a2+7b﹣c的平方根为±6； 【小结】本题考查二次根式等知识，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 能力提升 10．若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． 【分析】根据二次根式的被开方数非负，可得出x的值，进而求出y的取值范围，便可解决问题． 【解答】解：因为x、y都是实数，且满足y1， 则， 所以x， 则y＞1． 所以|x﹣1| ＝|x﹣1|﹣|x﹣1| ＝1． 【小结】本题考查二次根式有意义的条件及化简，巧妙利用二次根式被开方数非负解题的关键． 11设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 【分析】根据三角形三边的关系便可解决问题． 【解答】解：因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， 所以 ＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）| ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b ＝4c． 【小结】本题考查二次根式有意义的条件及化简，巧妙利用二次根式被开方数非负及三角形三边的关系是解题的关键． 12．化简：． 【分析】先进行二次根式的化简，再进行加减运算即可． 【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0， 解得：x， ∵4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2， ∴2x﹣1≥2， ∴ ＝2x﹣1+2x﹣3 ＝4x﹣4． 【小结】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 13． 已知|7﹣9m|+（n﹣3）2＝9m﹣7，求（n﹣m）2018． 【分析】根据题意目中的式子可以求得m、n的值，从而可以解答本题． 【解答】解： ∵|7﹣9m|+（n﹣3）2＝9m﹣7， ∴m﹣4≥0，得m≥4， ∴9m﹣7+（n﹣3）2＝9m﹣7， ∴（n﹣3）2， ∴n﹣3＝0，m﹣4＝0， 解得，m＝4，n＝3， ∴（n﹣m）2018＝（3﹣4）2018＝1． 【小结】本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 14.求方程的解 【分析】由题意可将方程转化为方程组，，再由绝对值的定义求得x与y的值． 【解答】解：∵， ∴， ∴y＝﹣18，即|x﹣18|＝5， 解得x＝23或13， ∴或． 【小结】本题考查了非负数的性质，一个数的算术平方根是非负数． 15．已知|2020﹣x|x，求x﹣20202的值． 【分析】直接利用二次根式的定义可得x的取值范围，再根据绝对值的性质去绝对值符号，进而得出答案． 【解答】解：由题意得：x﹣2021≥0， 解得x≥2021， ∴2020﹣x＜0， ∵|2020﹣x|x， ∴x﹣2020x， ∴， ∴x﹣2021＝20202， ∴x﹣20202＝2021． 【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 16.若3，求x的取值范围． 【分析】根据（1）式得：|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值． 【解答】解：∵|x﹣5|+|x﹣8|， ①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0， 所以原式＝5﹣x+8﹣x＝13﹣2x． ②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0． 所以原式＝x﹣5+8﹣x＝3， ③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0， 所以原式＝x﹣5+x﹣8＝2x﹣13． ∵3， 所以x的取值范围是5≤x≤8， 故答案为：5≤x≤8． 【小结】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②|a|；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，要分情况进行讨论． 17．已知，则化简 【分析】根据绝对值的性质得a+1＜0，即a＜﹣1，所以a0，a0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴a0，a0， ∴ ＝﹣aa ＝﹣2a． 【小结】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有 ，未 拔高拓展 18．已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC． （1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 　3　（请直接写出答案）； （2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）； （3）若x为整数，求C△ABC的最大值． 【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长； （2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围； （2）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的周长和面积． 【解答】解：（1）当x＝2， ，3，42， ∴△ABC的最长边的长度是3； 故答案为：3． （2）依题意x+1＞0，4﹣x≥0， ∴﹣1＜x≤4． ∴C△ABC5﹣x+4﹣（4﹣x） 5； （3）∵C△ABC＝5（﹣1＜x≤4），且x为整数， ∴x越大C△ABC越大， ∴当x＝4时，三边为，1，4， ∵1＜4， ∴不合题意舍去． 当x＝3时，三边为2，2，3， ∴C△ABC＝2+2+3＝7． 【小结】本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． 19．已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由． 【分析】确定题中各式在实数范围内有意义，根据二次根式的意义，列不等式组，列方程组求解． 【解答】解：根据二次根式的意义，得， 解得x+y＝8， ∴0， 根据非负数的意义，得 解得x＝3，y＝5，a＝4， ∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6． 【小结】本题考查了二次根式的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型． 20．设，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值． 【分析】先根据完全平方公式化简m并求出m的值，再把m的值代入，运用等比数列的求和公式得出结果． 【解答】解：∵1≤a≤2，0≤a﹣1≤1， ∴． ∴m10+m9+m8+…+m﹣47＝（m10+m9+m8+…+m+1）﹣48 ＝2048﹣1﹣48＝1999． 注：此题可利用关系式20+21+…+2n＝2n+1﹣1，运算将更简单． 【小结】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用及等比数列的求和公式．属于竞赛题目，有一定难度．注意求m的值时，看清字母a的取值范围． 21．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（1）2＝12+2×12＝3（根据1） 1． 通过计算，我还发现设m（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝ 　2mn　． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： （1）文中的“根据1”是 　完全平方公式　，b＝　2mn　． （2）根据上面的思路，化简：． （3）已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据a+4x2+4x12，得出a＝x2+12，4＝4x，根据a，x为正整数，求出a和x的值即可． 【解答】解：（1）（1）2＝12+2×12＝3的根据是完全平方公式； ∵a+b， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn； 故答案为：完全平方公式；2mn． （2） ＝3； （3）由题意得a+4x2+4x12， ∴a＝x2+12，4＝4x， ∵a，x均为正整数， ∴a＝13，x＝1． 【小结】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 学科网（北京）股份有限公司 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