专题2.6 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.6 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）抛物线经过和，则抛物线的最低点为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线，当时，则（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于二次函数（b，c是常数）的图象，点点和圆圆两位同学分别准确描述了该函数图象特征：点点说该函数图象的对称轴是直线；圆圆说该函数图象的顶点到x轴的距离为2．则该二次函数可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数图象上有两点：点，，其中，．当时，则t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2021·浙江杭州·三模）已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3)．不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若二次函数的图象经过，，四点，则，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 9．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线y= a1x2与抛物线y=a2x2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（ ） A．3 B．2 C． D． 10．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·浙江温州·三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为 ． 12．（22-23九年级上·甘肃陇南·阶段练习）关于函数，当时，该函数的顶点坐标为 ． 13．（2023·浙江嘉兴·一模）在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）．若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 ． 14．（24-25九年级上·河南信阳·期中）对于一个抛物线中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 15．（2021·浙江宁波·一模）已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ． 16．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知点，点都在关于的函数的图象上，且，则的取值范围是 ． 17．（23-24九年级下·福建·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上有三点，，，且，，则 ． 18．（24-25九年级上·重庆璧山·阶段练习）对于二次函数，点和在函数图象上，则 （填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与关于某点K成中心对称，M，N分别是抛物线，的顶点，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）          (1)在图1中画出点K； (2)点A是抛物线上一点，在图2中画出． 21．（本小题满分10分）（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出抛物线的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求位于x轴下方抛物线上，且到x轴距离为3的点的坐标． 22．（本小题满分10分）（2023·河南漯河·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．   (1)求该二次函数的表达式； (2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围． 23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连接，二次函数图象从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式； (3)当线段最短时，二次函数的图象能否过点？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（21-22九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线y＝kx＋3交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=－x2＋2x＋3经过A、B两点． (1)求k的值和抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A A B D B C 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性．根据二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴为直线，再求出抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的最低点为． 故选：B 2．A 【分析】根据题意可得图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，再分别求出当时，当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．C 【分析】将选项中的表达式化成顶点式，判断各选项中函数的对称轴和顶点纵坐标是否与题干相符． 【详解】解：A．，对称轴是直线，故不符合题意； B．，对称轴是直线，顶点坐标为，故不符合题意； C．，对称轴是直线，顶点坐标为，故符合题意； D．，对称轴是直线，故不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了求二次函数的对称轴和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的表达式与函数图像之间的关系． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的性质；由题意可知点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同，而关于对称轴的对称点为，即可得出． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∵点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同， ∴， ∵，，关于对称轴的对称点为， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图形与性质、二次函数图像的平移等知识，理解并掌握二次函数图像平移的规律是解题关键．首先将原抛物线解析式转化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的规律得到平移后抛物线的解析式，进而可得平移后得到的抛物线的顶点为，结合确定平移后得到的抛物线的顶点所在象限即可． 【详解】解： ， 将抛物线沿轴向下平移2个单位， 则平移后的抛物线解析式为， ∴平移后得到的抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第一象限． 故选：A． 6．A 【分析】将将点（2，﹣3）坐标代入抛物线求得n＝﹣2m的关系，再求得抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式，求得与的关系，即可求解． 【详解】解：将点（2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4m+2n﹣3， 解得：n＝﹣2m，故抛物线y1＝mx2﹣2mx﹣3， ∵y1＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴抛物线y1的顶点坐标为：（1，﹣3﹣m）， 代入y2＝m2x+k得：﹣3﹣m＝m2+k， ∴ 故k有最大值，此时，时，最大值为， 故， 故选：A． 【点拨】此题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的性质求解与的函数关系是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的增减性：当二次项系数时，离对称轴越远的点，函数值越大；时，离对称轴越远，函数值越小．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，故；进而得离对称轴最近，离对称轴最远，从而即可得解． 【详解】解：∵二次函数过，， ∴对称轴为，图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，三点中，离对称轴最近，离对称轴最远． 综上所述： ． 故选B． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边， ∴，，， ∴， ∴直线过一、二、四象限， 当时， ∴双曲线过二、四象限， ∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项， 故选：D． 9．B 【分析】设 ，则由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由即可得到，再根据即可得到． 【详解】解：设 ， ∴由抛物线的对称性可知，， ∴，， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴即， ∴或（舍去）， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能够求出． 10．C 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④． 【详解】解∶①函数图象开口方向向上， ， 对称轴在y轴右侧， 异号， ， 抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线， ， ， ，故②正确； ③点关于直线的对称点为， 时，，时，， 即，故③错误； ④对称轴为直线，， 为最小值， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 11．3 【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入一次函数，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在一次函数的图象上， ∴在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，b有最小值3． 故答案为：3． 【点拨】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12．， 【分析】把代入求得解析式，利用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：当时，函数解析式为， ， 顶点坐标是，． 故答案为：，． 【点拨】此题考查了二次函数的性质，把一般式化为顶点式是关键． 13． 【分析】将函数化为顶点式，求出顶点坐标，再代入，即可作答． 【详解】， 即其顶点坐标为：， 将代入中， 有：， 整理，得：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了求解二次函数的顶点坐标的知识，正确将函数化为顶点式，是解答本题的关键． 14．2 【分析】本题考查二次函数的性质，理解题中定义是解答的关键．先化为顶点式，求得m、k，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【详解】解： 由得，， 设，则， ∵， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 15．-3 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（1，3-a），再求得抛物线经过的定点，根据两点的坐标的积相等求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为x==1， ∴y=3-a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3-a）， ∵抛物线图象一定过第一象限的一个定点， ∴a（）=y-3， ∴，y-3=0， ∴x=0或x=2，y=3， ∴过点（0，3），或（2，3）， ∴过点（2，3）， ∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上 ∴3-a=2×3=6， 解得a= -3, 故答案为：-3． 【点拨】本题考查了抛物线的顶点，反比例函数的性质，定点问题，把定点问题转化为关于ａ的一元一次方程且方程有无数解的条件计算是解题的关键． 16．且 【分析】根据抛物线的对称性得到 ，解得，从而得到，代入解析式得到，利用二次函数的性质即可求得，然后根据，得到，从而求得的取值范围是且． 【详解】解：∵点，点都在关于的函数的图象上， ∴， 整理得，， ∴， ∴，代入得， ， ∵时，有最大值3， ∵，所以， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得的值从而得到的坐标为是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了锐角三角函数，抛物线的对称性，坐标系中两点间的距离等．先根据抛物线的对称性求出，，根据坐标系中两点间的距离得出，结合锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得点与点关于抛物线的对称轴对称， 故，整理得，， ∵点，在抛物线上， 故，， 则， 将代入，得出， 故， ． 故答案为：． 18． > 0或3． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把点和代入进行计算，即可判断和；结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵二次函数，点和在函数图象上， ∴，， ∴； ∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：>，0或3． 19．(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查了画二次函数图象，抛物线与轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 描点连线，如图所示； （2）解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查中心对称，二次函数图象与性质以及平行四边形的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据题意得为线段的中点，点的纵坐标为0，知点在轴上，所以，连接与轴的交点即为点， （2）根据中心对称的性质和平行四边形的判定可作出． 【详解】（1）解：如图，点K为所求． （2）解：如图，为所求． 21．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据抛物线的性质可知A、B关于抛物线对称轴对称，因此只需要作出线段的垂直平分线即可； （2）当x轴的距离为3，即纵坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线即为所求； （2）解：∵抛物线上一点在x轴下方，且到x轴的距离为3， ∴该点的纵坐标为， ∴， ∴或， ∴该点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，线段垂直平分线的尺规作图，点到坐标轴的距离，熟知二次函数的性质是解题的关键． 22．(1) (2)或 【分析】（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式． （2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解． 【详解】（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ， ， 解得：． 由点的坐标知，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：令，即， 解得：或4， 点坐标为，点坐标为． ，设直线的表达式为：， 则， 解得：， 故直线AC的表达式为 ． 点的横坐标为， 点的纵坐标为． ，在直线上， ． ①当点在抛物线上点与点之间运动时， ， 时，随的增大而减小， ②当点在抛物线上点与点之间运动时， ， ， 当，随的增大而减小， 的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，解题的关键是要注意分情况讨论． 23．(1) (2)当时，最短， (3)二次函数的图象不过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移，一元二次方程根的判别式： （1）利用待定系数法求解； （2）先表示出M点坐标，进而用含m的式子表示出平移后抛物线的解析式，再用含m的式子表示出线段的长度，即可求解； （3）将代入二次函数解析式，利用一元二次方程根的判别式求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在线段上移动， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴当时，最短， 当最短时，抛物线的解析式为； （3）解：假设二次函数的图象经过点， 则方程有解， 即方程有解， ， ∴方程没有实数根， ∴假设不成立，二次函数的图象不过点． 24．(1)k＝3；顶点坐标（1，4） (2)P（1，2）；3 (3)存在，Q的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0） 【分析】（1）配方可得，可得抛物线的顶点坐标，令y=0可得点A坐标，代入即可得k值； （2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标； （3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB两种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)， 当y=0时，， 解得：，， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（-1，0），C（3，0）， 把A（-1，0）代入得：-k+3=0， 解得：k=3； （2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x=， ∵抛物线与x轴交于点A、C， ∴A、C关于对称轴对称， ∴PA=PC， ∴PA+PB=PB+PC=BC， ∴△PAB的周长的最小值为AB+BC， ∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0）， ∴OA=1，OB=3，OC=3， ∴AB+BC==， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴点P坐标为（1，2）． ∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）． （3）解：设点Q坐标为（1，m）， ∵A（-1，0），B（0，3）， ∴AB==，QA==，QB==， ①当QA=AB时， ∴=， 解得：m=， ∴Q1（1，），Q2（1，）， ②当QB=AB时， ∴=， 解得：m=6或m=0， ∵直线AB的解析式为y=3x+3， ∴x=1时，y=6， ∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形， ∴Q3（1，0）， 综上所述：存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0）． 【点拨】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$