专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a（x-h）²+k(a≠0) ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【要点提示】抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 【知识点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点. 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【知识点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点4】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式......................................3 【题型2】二次函数图象的平移......................................................5 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号....................6 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象位置综合.............................10 【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值...................................13 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围...................................16 【题型7】直通中考...............................................................18 【题型8】拓展延伸...............................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式 【例1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为顶点式，并写出顶点坐标及对称轴： (2)当时，求y的值． 【答案】(1)该抛物线的顶点坐标为，对称轴为；(2)77 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定顶点坐标和对称轴即可； （2）将代入函数解析式求出函数值即可． （1）解：由题知：． 所以该抛物线的顶点坐标为，对称轴为． （2）解：将代入得： ， 所以当时，y的值为77． 【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质以及化为顶点式求顶点等知识点，掌握二次函数图象的性质是解答本题的关键． 先求出顶点点的坐标，再根据题意求出点的纵坐标，求出的长度，进而求出的长度． 解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为，把代入，得， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 解：抛物线中， ，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【题型2】二次函数图象的平移 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)向左平移4个单位，向上平移6个单位 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及二次函数的平移和翻折． （1）将抛物线的函数表达式化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案； （2）根据翻折的性质，即可得到新的抛物线的函数表达式． （1）解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； （2）将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案，掌握平移的性质是解题的关键． 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得或， ∴或， ∵将抛物线进行平移得抛物线， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴的对应点为的坐标为或， ∴点移动的最短路程为， 故答案为：． 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号 【例3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．   (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． （1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有 【答案】个 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间， ∴该抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴方程一定有一个根在和之间，故结论②错误； 根据函数图象可得，抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴时，， ∴， ∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标是， ∴， ∴， ∴．故结论④错误． 正确的有①③，共个． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质等知识． ①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③由时对应的函数值，可得出，当时，，即，得到，选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得， 故②正确； ③当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴对于任意的实数m,， 即，所以④正确． 综上可知，②③④正确， 故选：C． 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象位置综合 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （）设点的横坐标，则点的坐标为，把点的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点的横坐标，再根据列出方程，解方程即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键． （1）解：∵抛物线， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：设点的横坐标，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∵，轴， ∴， 整理得，， ∴， 解得（不符，舍去），， ∴点的横坐标． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … （1）这个二次函数的对称轴是直线________； （2）)m的值为________； （3）当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；（2）根据抛物线的对称性求得即可；（3）根据表格中数据即可得出结论． （1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 【变式1】（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围 【例6】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， （1）若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； （2）若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】(1)①；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可． （1）解：①二次函数过点 二次函数的表达式为； ② 时，随的增大而减小 即当随的增大而减小时，的取值范围为； （2）二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点关于对称轴对称 把点代入得 解得 . 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数增减性、解一元一次不等式等知识，根据题意，确定的增减性，再由条件限制得到关于取值范围即可确定答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 解：知抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ，解得， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【答案】(1)2，； (2)，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 解：（1）∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2），理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． （3）证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 【例2】（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．   (1)求点的坐标； (2)是线段上一点，连接，且． ①求证：是直角三角形； ②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)①证明见解析，②点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可； （2）①设然后利用勾股定理求解，，过点作轴，垂足为．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得．分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，．（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，．求解即可． 解：（1）∵直线交轴于点，交轴于点， 当时， ， 当时， ． ∵直线交抛物线于两点， ， ，解得． ∵点在点的左侧， ∴点的横坐标为3， 当时，． ； （2）如图，      ①抛物线交轴于点A， 当时，． , 在中，， 由勾股定理得， 设 ， ． ， ， ， ． ， ． 是等腰直角三角形， ． 过点作轴，垂足为． ， 是等腰直角三角形， 是直角三角形． ②平分 轴． ， ． 设点的坐标为，根据题意得． （i）当点在直线的左侧抛物线上时，． 过点作轴，垂足为． ， ． ， 在中， ， ， （舍去）． 当时， （ii）当点在直线的右侧抛物线上时，． 过点作轴，垂足为． ， 在中， ， ， （舍去）． 当时， ∴点的坐标为或． 【点拨】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024九年级上·北京·专题练习）已知满足：，且方程有两相等的实数根．． (1)求在区间上的最大值． (2)是否存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1; (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题． （1）利用二次函数的对称性求得对称轴，由方程有两相等的实数根，则中，即可求得，，求得解析式，进而即可求得在区间，上的最大值； （2）分三种情况：、若，有：①，②，③，由此求出、的值相同，不合题意；、若，有：①，②，③，由此确定，不合题意；、若，，此时函数的最大值为1，，得出，不合题意，便可得出结果． （1）解：满足：， 对称轴为直线， ， ， 方程有两相等的实数根， ，则， ， ， ， ， 时，有最大值1， 在区间，上的最大值是1； （2）解：不存在，理由如下， 分三种情况： 、，有：①，②，③， 解得，不合题意； 、，有：①，②，③， ①②得：，， ， 代入①解得：，； 不合题意， 、若，， 此时函数的最大值为1， ， ， 不合题意， 综上所述：不存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，．若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为；(2)定点坐标为，．(3)当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把化为，即可求出定点坐标； （3）根据题意，结合图象．即可求出的取值范围． （1）解：当时， ， 顶点坐标为； （2）解：， 当时，即或时，的值与无关， 当时，， 时，， 定点坐标为，． （3）解：， 当时，， ， ， 当时，，该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点， 即：，解得． 当时，，，即抛物线与直线的两交点坐标为，，． ①时，抛物线开口向上，过，两点， ． 在的左边，不在线段上， ∴该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点， ∴此时： ②时，抛物线开口向下，过点在线段上， 抛物线不能过点． 时，， ， ． ，该函数的图象与线段恰有1个公共点． 当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a（x-h）²+k(a≠0) ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【要点提示】抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 【知识点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点. 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【知识点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点4】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式......................................3 【题型2】二次函数图象的平移......................................................3 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号....................4 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象位置综合..............................5 【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值....................................6 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围....................................6 【题型7】直通中考................................................................7 【题型8】拓展延伸................................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式 【例1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为顶点式，并写出顶点坐标及对称轴： (2)当时，求y的值． 【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【题型2】二次函数图象的平移 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为 ． 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号 【例3】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．   (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象位置综合 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … （1）这个二次函数的对称轴是直线________； （2）)m的值为________； （3）当时，y的取值范围为________． 【变式1】（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围 【例6】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， （1）若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； （2）若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【例2】（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．   (1)求点的坐标； (2)是线段上一点，连接，且． ①求证：是直角三角形； ②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024九年级上·北京·专题练习）已知满足：，且方程有两相等的实数根．． (1)求在区间上的最大值． (2)是否存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，．若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$