4.3 公式法（2） 课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解 4.3 公式法(2) 即两个数的平方和，加上 这两个数积的两倍，等于这两数和 的平方． 完全平方公式： (或减去) (或者差) 温故知新 (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2； (a－b)2 = a2－2ab＋b2. a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2 将公式反过来， 会得到什么呢？ 因式分解的完全平方公式： 形如 　的多项式称为完全平方式. 学一学 －2∙( )∙( ) =( )2 a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2 因式分解的完全平方公式： a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2 例如： 9x2－6x＋1= a2 － 2ab ＋ b2 = (a － b)2 ＋( )2 ( )2 3x 1 3x 1 3x－1 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法. 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式(整体上2部分)； 完全平方公式法：适用于完全平方式(整体上3部分). 完全平方式的特点： 学一学 a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2 规律总结： 前2±2×前×后＋后2 =(前±后)2 1．判别下列各式能不能用完全平方公式进行因式分解. 不能 能 能 不能 能 试一试 不能 (1)x2＋y2 ； (2)x2＋2xy＋y2 ； (3)x2－2xy＋y2 ； (4)x2＋2xy－y2 ； (5)－x2＋2xy－y2 ； (6)2x2＋6x＋9. 2.请补上缺少的项，使下列多项式成为完全平方式． 试一试 (±2xy) (±12ab) (±4xy) (±ab) y2 【要点】找到完全平方式中的“前”和“后”，再确定中间项的符号. 解：(1)原式 = x2 ＋72 ＋2·x·7 = (x＋7)2 ； (1)x2＋14x＋49 ； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 完全平方式中的“前项”和“后项”,可以是数字、字母，也可以是多项式. (2)原式 = (m＋n)2 ＋32 = [(m＋n)-3]2 = (m＋n－3)2 . 把下列完全平方式因式分解: 例3 例题学习 －2·(m＋n)·3 随堂练习 1.下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解： 多项式 是否为完全平方式 因式分解 ②9a2b2－3ab+1 ④x6－10x3－25 是 是 否 否 2.把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2 ； (2)16a4＋24a2b2＋9b4 . 解：(1)原式 = x2－2·x·6y＋(6y)2 = (x－6y)2 . (2)原式 = (4a2)2＋2·4a2·3b2＋(3b2)2 = (4a2＋3b2)2 . 随堂练习 【要点】1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步因式分解. 2.当多项式的首项符号为“－”时，一般先把“－”提出去， 有时也可以交换项的位置，使首项为正. 3.因式分解的结果要分到不能再分为止，要注意两次分解的情况. 例题学习 把下列各式因式分解: 例4 2. 把下列各式分解因式： 随堂练习 解:(1)原式 = －( 2xy ＋ x2 ＋ y2) = －( x ＋ y )2 . (2)原式 = 22－2×2×3(x－y)＋[3(x－y)]2 = [2－3(x－y)]2 = (2－3x＋3y)2 . 用简便方法计算：20052－4010×2003＋20032 . 拓展练习 解：20052－4010×2003＋20032 = 4. 习题4.5 1. 把下列各式分解因式：   解:(1)x2y2－2xy＋1 =(xy)2－2∙xy∙1＋12 =(xy－1)2. (2)9－12t＋4t2 =32－2∙3∙2t＋(2t)2 =(3－2t)2.     (4)25m2－80m＋64 =(5m)2－2∙5m∙8＋82 =(5m－8)2.     (6)a2b2－4ab＋4 =(ab)2－2∙ab∙2＋22 =(ab－2)2. 3.已知多项式x2＋1与一个单项式的和是一个完全平方式，请你找出一个 满足条件的单项式. ①x2 ＋ ＋ 12 2x = (x＋1)2 ； ②x2 ＋ ＋ 12 (－2x) = (x－1)2 ； ③ ＋ x2 ＋ 12 ( ) 习题4.5 = ( x2＋1)2   x4   x2   2∙ ∙1 4.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ 解：能 = [(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)] = 4n·2 = 8n. 证明：设这两个连续奇数为2n－1,2n＋1 (n为整数). 则(2n＋1)2－(2n－1)2 因为n为整数, 所以两个连续奇数的平方差能被8整除. 习题4.5 (1)形如________________形式的多项式可以用完全平 方公式进行因式分解. (3)因式分解要_______ _. (2)因式分解通常先考虑______________方法， 再考虑____________方法. 提公因式 分解到不能再分解为止 运用公式法 课堂小结 随堂检测 1.把下列各式分解因式： (1)x2y2－10xy＋25； 解:(1)原式=(xy)2－2·xy·5 ＋ 52 =(xy－5)2 . (3)m3n－6m2n＋9mn ； (4)－3x3＋6x2y－3xy2 ； (3)原式=mn(m2－6m＋9) =mn(m－3)2 . (4)原式=－3x(x2－2xy＋y2) =－3x(x－y)2 . (5)16a2b2－24ab＋9 ； (6)4(m+n)2+20(m+n)(m-n)+25(m-n)2. (5)原式=(4ab)2-2·4ab·3+32 =(4ab-3)2 . (6)4(m+n)2+20(m+n)(m-n)+25(m-n)2 =[2(m+n)]2+2·2(m+n)·5(m-n)+[5(m-n)]2 =[2(m+n)+5(m-n)]2 =(7m-3n)2 一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 ＋8x＋11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 即无论x取何值,这个代数式的值都是正值. 拓展提升 作 业 教材103页习题4.5第2题. 再 见 $$