4.3 公式法（1） 课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.3 公式法(1) 第四章 因式分解 填空： (1)(x+5)(x-5) = ； (2)(3x+y)(3x-y)= ； (3)(3m+2n)(3m–2n)= ． 它们的结果有什么共同特征？ x2–25 9x2–y2 复习回顾 你能尝试着根据上面得到的结果将下面的多项式进行因式分解吗？ 9m2 - 4n2 (x+5)(x-5) (3x+y)(3x-y) (3m+2n)(3m–2n) 那么你是怎样进行因式分解的呢？ 将多项式a2－b2 进行因式分解： 因式分解 整式乘法 因为(a＋b)(a－b) = a2 － b2 ， 所以 a2 － b2 = (a＋b)(a－b) . 学一学 称为因式分解的平方差公式. (a＋b)(a－b) = a2 － b2 我们将 (1)公式左边： 是一个将要被因式分解的多项式. (2)公式右边： 是因式分解的结果. ★分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式. ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - ▲ ▲ ▲ 学一学 即( ＋ )( － )形式. 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. ★被分解的多项式含有两项，且这两项能写成 (　)２－(　)２的形式. 下列多项式能转化成 ( )２－( )２的形式吗？ 如果能 ，请将其转化成 ( )２－( )２的形式. (1) m2 －81 (2) 1 －16b2 (3) 4m2 ＋ 9 (4) 16x2 －25y2 (5) －x2 －25y2 = m2 －92 ； = 12－(4b)2 ； 不能转化为平方差形式； = (4x)2 －(5y)2 ； 不能转化为平方差形式 ； 试一试 (6)－4a2＋0.09b2 = 0.09b2 - 4a2 = (0.7b)2 -(2a)2 . 例题学习 因式分解步骤 ①将两项写成平方的 形式,找出a、b； ②利用a2-b2=(a+b)(a-b) 分解因式. 学会了吗？ 把下列各式因式分解： 例1 (4)－x2－y2 = －(x＋y)(x－y). ( ) (3)－x2＋y2 = (－x＋y)(－x－y)； ( ) (2)x2－y2 = (x＋y)(x－y)； ( ) 1.判断正误，并说明理由. 注意：a2和b2前面的符号要相反，而且一定要将符号为正的放在第一项！ √ × × × (1)x2＋y2 = (x＋y)(x＋y)； ( ) 练一练 两个平方项前面的符号相同，不能用平方差公式分解. －x2＋y2 = y2－x2 = (y＋x)(y－x)= (－x＋y)(x＋y); 两个平方项前面的符号相同，不能用平方差公式分解. 1.把下列各式因式分解： 习题4.4 (1)a2－81； (2)36－x2 ； (3)1－16b2 ； (4)m2－9n2 ； (5)0.25q2－121p2 ；(6)169x2－4y2 ；(7)9a2p2－b2q2 ； (8) a2－x2y2. 解：(1)a2－81 = a2－92 =(a＋9)(a－9)； (2)36－x2 = 62－92 =(6＋x)(6－x)； (3)1－16b2 = 12－(4b)2 =(1＋4b)(1－4b)； (4)m2－9n2 = m2－(3n)2 =(m＋3n)(m－3n)； (5)0.25q2－121p2 = (0.5q)2－(11p)2 =(0.5q＋11p)(0.5q－11p)； (6)169x2－4y2 = (13x)2－(2y)2 =(13x＋2y)(13x－2y)； (7)9a2p2－b2q2 = (3ap)2－(bq)2 =(3ap＋bq)(3ap－bq)； (8) a2－x2y2 = ( a)2－(xy)2 =( a＋xy)( a－xy). 3.如图，在一块边长为 acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余部分的面积.如果a = 3.6，b = 0.8呢? a b 解:a2－4b2 = a2－(2b)2 = (a＋2b)(a－2b)cm2 . 所以剩余部分面积为(a＋2b)(a－2b)cm2 . 随堂练习 当a = 3.6，b = 0.8时, 原式 = (3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8) = 5.2×2 =10.4cm2 . 所以此时剩余部分面积为10.4cm2 . (1)9(m+n)2-(m-n)2 ； (2)2x3－8x ； (3)x4－y4. 解:(1)9(m＋n)2－(m－n)2 =[3(m＋n)]2－(m－n)2 =[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)] =(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) =(4m＋2n)(2m＋4n) =4(2m＋n)(m＋2n). 例题学习 (3)x4－y4 = (x2)2－(y2)2 = (x2＋y2)(x2－y2) = (x2＋y2)(x＋y)(x－y). 分解后要检验是否 能够再次分解！ 把下列各式因式分解： 例2 (2)2x3－8x = 2x∙x2－2x∙4 = 2x(x2－4) = 2x(x＋2)(x－2). 先用提公因式法 随堂练习 (1)a2b2－m2 ； (2)(m－a)2－(n＋b)2 ； (3)x2－(a＋b－c)2 ； (4)－16x4＋81y4. 2.把下列各式因式分解： 解：(1)a2b2－m2 = (ab)2－m2 = (ab＋m)(ab－m). (2)(m－a)2－(n＋b)2 =[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)] =(m－a＋n＋b)(m－a－n－b). (3)x2－(a＋b－c)2 =[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)] =(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c). (4)－16x4＋81y4 = 81y4－16x4 = (9y2)2－(4x2)2 = (9y2＋4x2)(9y2－4x2) = (9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x). 习题4.4 解: πR2－πr2 =π(R2－r2) =π(R＋r)(R－r)cm2 所以环形面积为π(R＋r)(R－r)cm2 . 当R = 8.45，r = 3.45时, 原式 = (8.45＋3.45) ×(8.45－3.45) ×3.14 = 186.83cm2 . 所以此时环形的面积为186.83cm2. 3.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和 r cm，求它们 所围成的环形的面积.如果R = 8.45 cm , r = 3.45 cm呢？(π取3.14) 1.具备什么特征的多项式可以应用平方差公式进行因式分解？ 2.运用a2－b2 = (a＋b)(a－b)公式时,如何区分a、b? 系数为正的平方式放在前面，平方下的式子（数）作为a； 系数为负的平方式放在后面，平方下的式子（数）作为b. 3.分解因式时,通常先看是否能提公因式,然后再能否进一步因式分解. 4.因式分解一直要进行到不能再分解为止.所以分解后一定检查括号内 的多项式是否能继续分解. 课堂小结 一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号. 随堂检测 1.把下列各式因式分解: (1)2－8m2 ； (2)3x3－12x ； (3)(x＋y)2－16 ； (4)25－4(a＋b)2 . 解：(1)2－8m2 = 2(1－4m2) = 2(1＋2m)(1－2m). = 2[1－(2m)2] (2)3x3－12x = 3x(x2－4) = 3x[x2－22] = 3x(x＋2)(x－2). 随堂检测 1.把下列各式因式分解: (1)2－8m2 ； (2)3x3－12x ； (3)(x＋y)2－16 ； (4)25－4(a＋b)2 . (3)(x＋y)2－16 =(x＋y)2－42 =[(x＋y)＋4][(x＋y)－4] =(x＋y＋4)(x＋y－4). (4)25－4(a＋b)2 =52－[2(a＋b)]2 =[5＋2(a＋b)][5－2(a＋b)] =(5＋2a＋2b)(5－2a－2b). ②解：(x+1)2－(x-1)2 = －4, [(x+1)+(x-1)][(x+1)－(x-1)]=－4, 2x×2 =－4 解得 x =－1. 用如图所示的两个长方形甲和乙拼成以下两个图形：图①和图②． (1)若图①中的阴影部分面积为a 2 －b 2 ；则图②中的阴影部分面积 为______________．(用含字母a、b的代数式表示) (2)由(1)可以得到等式____________________________； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.75 2 －32.25 2 ②解方程：(x+1)2－(x-1)2=－4 a-b a a-b b a-b a a-b b 甲 乙 a-b a b 图① 图② (a+b)(a-b) a2-b2=(a+b)(a-b) (3)①解：67.75 2 －32.25 2 = (67.75 +32.25 )(67.75－32.25) = 100×35.5 = 3550. 随堂检测 教材100页 习题4.4第2题. 作 业 再 见 $$