4.2《 提公因式法(1)》课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

4.2 提公因式法(1) 第四章 因式分解 一、因式分解的概念: 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解. 二、整式乘法与分解因式之间的关系: 互逆方向的恒等变形. 复习回顾 你是怎样计算的？ 解： 1.计算： 情境引入 原来的式子中，各项的相同因数是什么？ 你能说一说这是怎样转化的吗？ 2.如图，两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大 的长方形，求这个新长方形的面积？ 情境引入 解：这个新长方形的面积为 ma＋mb 或 m(a＋b)， 所以有 m a＋m b = m (a＋b). 实际上，这种变形相当于把分配律进行了逆向的应用，从而把多项式中各项含有的相同的因式“提”到了前面，再和剩余的多项式相乘. 公因式 多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式. 公因式的定义： 例如：x2＋3x的公因式是 ； 2a＋4ab的公因式是 ； 2x2＋6x3的公因式是 . x 2a 2x2 学一学 (1)怎样确定 2 x 2 ＋ 6 x 3 的公因式? 定系数 2 定字母 x 定指数 所以，2x2＋6x3的公因式是 2 x2 . 议一议 (2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？ 2x2＋6x3 = 2x2×1 ＋ 2x2×3x = 2x2 (1＋3x). 2 取最大公约数 取相同字母 取最小的指数 你认为怎样确定一个多项式的公因式？ 议一议 (1)系数:各项系数是整数时，取各项系数最大公约数作为公因式的系数； (2)字母：取各项都含有的相同字母，它们的积作为公因式的字母； (3)指数：同一个字母的最小指数. 系数与字母部分的积是这个多项式的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 提公因式法的定义: 学一学 (1)3x＋x3 ； (2)7x3－21x2 ； (3)8a3b2－12ab3c＋ab ； (4)－24x3＋12x2－28x . 解:(1)3x＋x3 = x·3＋x·x2 = x(3＋x2) ； (2)7x3－21x2 = 7x2·x－7x2·3 = 7x2(x－3)； (3)8a3b2－12ab3c＋ab = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 = ab(8a2b－12b2c＋1)； (4)－24x3＋12x2－28x = －(24x3－12x2＋28x) = －(4x·6x2－4x·3x＋4x·7) = －4x(6x2－3x＋7). 例题学习 把下列各式因式分解： 例1 以下是小颖的解题过程，其中有错误吗？ 将 8a3b2 －12ab3c ＋ ab 进行因式分解. 解：8a3b2 －12ab3c ＋ ab = ab·8a²b － ab·12b2 c ＋ab·1 = ab(8a2b － 12b2c). 小颖的解题过程是 的. 议一议 错误 注意 1.如果多项式的某一项提公因式后剩余的结果是1，一定不要丢项； 2.原来的多项式有几项，提完公因式之后，剩余的多项式仍有几项 ； 3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“－”号，使括号内第 一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号. 提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？ 提公因式法与单项式乘多项式是互逆方向的恒等变形. 想一想 例如 ma＋mb＋mc = m(a＋b＋c). 提公因式法 单项式乘多项式 随堂练习 把下列各式因式分解： (1)ma＋mb； (2)5y3＋20y2； (3)6x－9xy； (4)a2b－5ab； 解:(1)ma＋mb = m(a＋b)； (2)5y3＋20y2 = 5y2·y ＋ 5y2·4 = 5y2(y＋4)； (3)6x－9xy = 3x·2 － 3x·3y = 3x(2－3y)； (4)a2b－5ab = ab·a － ab·5 = ab(a－5)； 随堂练习 把下列各式因式分解： (5)4m3－6m2 ； (6)a2b－5ab＋9b； (7)－a2＋ab－ac； (8)－2x3＋4x2－6x. (5)4m3－6m2 = 2m2·2m － 2m2·3 = 2m2(2m－3) ； (6)a2b－5ab＋9b = b·a2 － b·5a＋b·9 = b(a2－5a＋9)； (7)－a2＋ab－ac = －(a2－ab＋ac) = －(a·a－ a·b ＋ a·c) = －a(a－b＋c)； (8)－2x3＋4x2－6x = －(2x3－4x2＋6x)=－(2x·x2 －2x·2x＋2x·3) = －2x(x2－2x＋3). 习题4.2 2.(1)利用因式分解进行计算： mR12＋mR22＋mR32,其中R1=20，R2=16，R3=12，m = 3.14. 解：mR12＋mR22＋mR32 = m(R12+R22+R32). 将 R1= 20，R2= 16，R3= 12，m = 3.14分别代入， 原式= 3.14×(202＋162＋122) = 3.14×800 = 2512. 习题4.2 2.(3)已知 ab = 7，a＋b = 6，求多项式 a2b＋ab2 的值. 解：a2 b ＋ a b2 = a b (a＋b). 将 a b = 7， a＋b = 6分别代入ab(a＋b)中， 原式 = 7×6 = 42. 习题4.2 3.下列因式分解是否正确？为什么？ (1)2n2－nm－n = 2 n(n－m－1)； (2)－ab2＋2ab－3b = －b(ab－2a－3)； (3)x(x－y)－y(x－y) = (x－y)2； (4)a2－a－2 = a(a－1)－2. (3)正确. x(x－y)－y(x－y)=(x－y)(x－y) =(x－y)2. (4)错误.等式右侧不是乘积形式，因此不是因式分解. 解:(1)错误.公因式系数不是2. (2)错误.多项式的第三项应变为“＋”号. 2.确定公因式的方法： 3.提公因式法分解因式的步骤： 1.什么叫因式分解？ 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式(把多项式化为几个因式的乘积). ①定系数； ②定字母 ；③定指数. 课堂小结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 作 业 教材96页习题4.2第1题 再 见 $$