4.2 提公因式法(2)课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.2 提公因式法(2) 第四章 因式分解 ①多项式的第一项系数为负数时，先 ， 注意多项式的各项要 . ②公因式的系数是多项式各项系数的______________； ③字母取多项式各项中都含有的____________； ④相同字母的指数取各项中最小的一个,即 . 1.应用提公因式法进行因式分解的要点： 最大公约数 相同的字母 最低次幂 温故知新 提取“－”号 变号 2.对下列各式进行因式分解： ①8mn2＋2mn = ； ②a2b－5ab＋9b = ； ③－3ma3＋6ma2－12ma = ； 2mn(4n＋1) b(a2－5a＋9) －3ma(a2－2a＋4) 解:(1) a(x－3)＋2b(x－3) =(x－3)(a＋2b). = y(x＋1)(1＋xy＋y). 例题学习 把下列各式因式分解 (1) a(x－3)＋2b(x－3) ； (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2 . 例2 (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2 = y(x＋1)·1 ＋ y(x＋1)·y(x＋1) = y(x＋1)[1＋y(x＋1)] 随堂练习 1.把下列各式因式分解： (1)x(a＋b)＋y(a＋b) ； (2)3a(x－y)－(x－y)； (3)6(p＋q)2－12(q＋p)； 解:(1)x(a＋b)＋y(a＋b) =(a＋b)(x＋y). (2)3a(x－y)－(x－y) =(x－y)(3a－1). (3)6(p＋q)2－12(q＋p) = 6(p＋q)·(p＋q)－6(p＋q)·2 = 6(p＋q)(p＋q－2). (4)2a(m＋n)3－4a2(m＋n)2 = 2a(m＋n)2·(m＋n)－2a(m＋n)2·2a = 2a(m＋n)2(m＋n－2a). (4)2a(m＋n)3－4a2(m＋n)2 . (2) y－x = (x－y)； (6) －s2＋t2 = (s2－t2)； (4) (b－a)2 = (a－b)2； (8)(x－y)5 = (－x＋y)5； (10)(x－y)2n＋1 = (y－x)2n＋1 . (1) 2－a = (a－2)； (3) b＋a = (a＋b)； (5) －m－n = (m＋n)； (7) (b－a)3 = (a－b)3； (9) (x－y)2n = (y－x)2n； 请在下列各式等号右边填入“＋”或“－”号,使等式成立. － － ＋ ＋ － － － 做一做 － ＋ － 只有符号不同的多项式的关系的判断: (1)当相同字母前的符号都相同时, 则两个多项式相等. 如: a－b 和－b＋a , 即 a－b = －b＋a . (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a－b 和 b－a , 即 a－b = －(b－a). (3)(x－y)2n＋1= －(y－x)2n＋1 ；(x－y)2n = (y－x)2n . 规律总结 = 6(m-n)2·(m-n)-6(m-n)2·2 把下列各式因式分解 例3 例题学习 随堂练习 把下列各式因式分解： (4)a(m－2)＋b(2－m)；(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2 . 解：(4) a(m－2)＋b(2－m) = a(m－2)－b(m－2) = (m－2)(a－b). (5) 2(y－x)2＋3(x－y) =2(x－y)2＋3(x－y) =(x－y)·2(x－y)＋(x－y)·3 =(x－y)[2(x－y)＋3] =(x－y)(2x－2y＋3). (6)mn(m－n)－m(n－m)2 =mn(m－n)－m(m－n)2 =m(m－n)·n－m(m－n)·(m－n) =m(m－n)[n－(m－n)] =m(m－n)(2n－m). 习题4.3 2.先因式分解，再计算求值： (1)4x(m－2)－3x(m－2)2,其中x = 1.5,m = 6. (2)(a－2)2－6(2－a) ,其中a =－2. (2)(a－2)2－6(2－a) =(2－a)2－6(2－a) =(2－a)·(2－a)－(2－a)·6 =(2－a)(2－a－6) =(2－a)(－4－a). 将a = －2代入(2－a)(－4－a)中, 原式 = (2＋2)(－4＋2)=－8. 解:(1)4x(m－2)－3x(m－2)2 = x(m－2)∙4－x(m－2)∙3(m－2) = x(m－2)[4－3(m－2)] = x(m－2)(4－3m＋6) = x(m－2)(10－3m). 将x=1.5,m=6代入x(m－2)(10－3m)中, 原式 = 1.5×(6－2)×(10－3×6) = －48. 3.某大学由三块草坪，第一块草坪的面积为(a＋b)2 m2,第二块草坪的面积 为a(a＋b) m2,第三块草坪的面积为(a＋b)b m2,求这三块草坪的总面积. 解：(a＋b)2 ＋ a(a＋b) ＋ (a＋b)b = (a＋b)·(a＋b) ＋ (a＋b)·a ＋ (a＋b)·b = (a＋b)(a＋b＋a＋b) = (a＋b)(2a＋2b) = (a＋b)·2(a＋b) = 2(a＋b)2 . 答：三块草坪的总面积为2(a＋b)2 m2 . 习题4.3 课堂小结 1.怎样正确找到多项式各项的公因式？ (1)看系数；(2)看单独的字母；(3)看多项式. 2.怎样判断两个多项式相等或互为相反数？ (1)当两个多项式中所有相同字母的符号均相同时(只是字母位置不同)， 两个多项式相同. (2)当两个多项式中所有相同字母的符号均相反时，两个多项式互为 相反数. 3.当多项式相同或互为相反数时，它们的同指数幂有什么关系？ (1)当多项式相等时，它们的相同指数幂也相等. (2)当多项式互为相反数时，它们的偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数. 即(x－y)2n = (y－x)2n，(x－y)2n+1 = －(y－x)2n+1(n为非负整数). 随堂检测 1.先因式分解，再计算求值. (1)x(3x＋y)(x－y)－x(x－y)2，其中x = 2,y =－2. 解:(1)x(3x＋y)(x－y)－x(y－x)2 = x(3x＋y)(x－y)－x(x－y)2 = x(x－y)·(3x＋y)－x(x－y)·(x－y) = x(x－y)[(3x＋y)－(x－y)] = x(x－y)(3x＋y－x＋y) = x(x－y)(2x＋2y) = 2 x(x－y)(x＋y) . 将x = 2,y =－2代入2x(x－y)(x＋y)中， 原式=2×2×(2＋2)×(2－2)= 0 . (2)m(m＋n)(m－n)－m(m＋n)2,其中m＋n = 1,mn =－2. 解:(2)m(m+n)(m-n)-m(m+n)2 = m(m+n)·(m-n)-m(m+n)·(m+n) = m(m+n)[(m-n)-(m+n)] = m(m+n)(m-n-m-n) = m(m+n)(-2n) = -2mn(m+n). 将m+n=1，mn=-2代入-2mn(m+n)中， 原式=-2×（-2）×1=4. 解：(2x-y)3-(2x-y)2·(x-3y) =(2x-y)2·(2x-y)-(2x-y)2·(x-3y) =(2x-y)2[(2x-y)-(x-3y)] =(2x-y)2(2x-y-x+3y) =(2x-y)2(x+2y). 将2x-y = 3,x+2y = 4代入(2x-y)2(x+2y)中， 原式=32×4=36. 随堂检测 作 业 教材98页习题4.3第 1题 13 再 见 14 $$