专题2.4 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.4 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．其图象的对称轴为直线 C．最小值为2 D．当时，y随x的增大而增小 4．（21-22九年级上·西藏拉萨·阶段练习）若抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（    ） A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3 5．（23-24九年级上·河南商丘·期中）现有一组抛物线∶，．．．这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 6．（22-23九年级上·福建三明·期末）若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（  ） A． B． C． D． 7．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 8．（2023·浙江杭州·一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为(　　) A．17 B．19 C．21 D．24 9．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数C：的图象向右平移1个单位，得到二次函数的图象，下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．的图象不经过第二象限 B．对称轴是 C．图象最低点的纵坐标是 D．的图象经过坐标原点 10．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，半径为，圆心，点是上动点，点在二次函数图象上运动，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图像的对称轴为 ． 12．（22-23九年级上·全国·单元测试）当k取实数时，抛物线的顶点所在的函数图象的表达式为 ． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是 ． 14．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 15．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 16．（21-22九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为 （用含的代数式表示）． 17．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）已知点在抛物线上（是实数），有以下说法： ①无论取何实数，的值都小于0； ②无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上运动； ③无法确定的值，值随的变化而变化； ④有最大值，其最大值为15； 正确的结论有 ． 18．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． (2)若点，都在二次函数图象上，求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示的抛物线是由抛物线经过平移而得到，这是抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A，顶点为P ， ． (1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式 (2)求抛物线对应的二次函数在时的最大值和最小值 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数(m是实数)． (1)当时，若点在该函数图象上，求n的值． (2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗? 为什么? (3)已知点，都在该二次函数图象上，是否存在m， 使得c存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)求平移后的抛物线顶点到轴的距离； (3)在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A A A C C D A 1．A 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．根据二次函数的顶点为即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选A． 2．D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质 ． 根据二次函数的性质得到抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，依次计算出点到对称轴的距离进行比较，即可得到答案 ． 【详解】解：∵抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大， ∵， ， ∴； 故选： D． 3．A 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由函数解析式可知其顶点坐标为，原说法正确，选项符合题意； B．由函数解析式可知其图象的对称轴为直线，原说法错误，选项不符合题意； C．∵，∴抛物线开口向下，∴函数有最大值为2，原说法错误，选项不符合题意； D．∵其图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增小，原说法错误，选项不符合题意． 故选：A． 4．A 【分析】根据抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同， ∴， 故选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可． 【详解】由题意可设这组抛物线的顶点为， A．将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意； B．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； C．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； D．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； 故选：A 6．A 【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，然后再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴点在平移后的抛物线上，故A选项符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故B选项不符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故C选项不符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：A 【点拨】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解析式是解题的关键． 7．C 【分析】由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果． 【详解】解：，都在抛物线上， ， ， ， ， 是不同的两个点， ， ， ， 在抛物线的图象上， ， ， ， ， ， 或． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键． 8．C 【分析】根据对称轴，结合即可求解． 【详解】解：设对称轴与交于点． .， ． 对称轴，．， ：：． ：：：： ． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查二次函数图象平移，二次函数图象性质．根据二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”，求出平移后函数解析式是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律得二次函数解析式为，再根据二次函数图象性质逐项判定即可． 【详解】解：∵将二次函数C：的图象向右平移1个单位，得到二次函数的图象， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，顶点在第四象限内，要经过第二象限，故A选项不符合题意； 二次函数的对称轴是直线，故B选项不符合题意； 二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴图象最低点的纵坐标是，故C选项不符合题意； 当时，， ∴二次函数的图象经过坐标原点，故D选项符合题意； 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，圆，熟练掌握二次函数图象及性质是解题关键． 设出点坐标，求出长度的最小值，进而可求出长的最小值． 【详解】解：设点， ， ， ， 有最小值为， 最小值为， 半径为， 的最小值为． 故选：． 11．直线 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，把解析式化为顶点式是解题的关键． 把解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数的图像的对称轴为：直线， 故答案为：直线． 12． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，令，，得出，即可求出结果． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， 令，， 则， ∴， ∴顶点所在的函数图象的表达式为：． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练求出抛物线的顶点坐标，准确计算． 13． 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为． 故答案为：，． 14．4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有， 解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．/ 【分析】由抛物线的对称性得到：，，则四边形的周长为等于的周长加上的长，由此得出答案即可． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， ， 由抛物线的对称性知， ∴四边形的周长为 的周长为， 即， ∴四边形的周长为， 即四边形的周长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点坐标，此题利用了抛物线的对称性，解题的关键在于把求四边形的周长转化为的周长加的长． 17．②④/④② 【分析】根据抛物线解析式得出顶点坐标，可得抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；根据顶点坐标得出抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；根据抛物线的对称轴求出，可得③错误；由得出，然后得出c关于m的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出有最大值为15，则④正确． 【详解】解：①∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误； ②由①得顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确； ③∵点在抛物线上， ∴对称轴为直线：， ∴，③错误； ④∵， ∴， ∴， ∴，即有最大值为15，④正确； 故答案为：②④． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 18． 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 19．(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解此题的关键． （1）由二次函数解析式得出顶点坐标为，设，，则，即可得解； （2）由二次函数的性质得出，从而得出，再将代入二次函数解析式即可得出答案． 【详解】（1）证明：由二次函数知，抛物线顶点坐标为 设，，则， ∴抛物线的顶点始终在直线上； （2）证明：由题可得，则 ∴， 把代入得， ∴． 21．(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及等腰直角三角形的性质是解答此题的关键． （1）抛物线由平移得到，设，再把代入可得到，故过P作轴于M，，，再根据P是抛物线顶点可知，故可得出，，由此可得出a的值，进而得出其抛物线的解析式； （2）根据（1）中抛物线的顶点坐标与解析式可知，抛物线对应的二次函数在  时，当时，y有最大值；当时y有最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线由平移得到，设往右平移a个单位，往上平移b个单位 ∴， ∵抛物线过，代入得， ， ∴顶点的坐标为 过P作轴于M， ，， ∵P是抛物线顶点， ∴， ∴，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵由（1）可知抛物线的顶点，解析式为， ∴其对称轴为． ∵在区间上，抛物线开口向下， ∴最大值出现在对称轴上，即处， 当，． 最小值出现在区间的端点上， 当时，； 当时，． 所以，在上，抛物线的最大值为1，最小值为． 22．(1) (2)小明说法对，理由见解析 (3)c存在最大值，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）当时，，再将代入函数解析式计算即可得解； （2）由题意得出二次函数的顶点为，从而得出当时，，即可得解； （3）由题意得出二次函数的对称轴为直线，二次函数的顶点为，则，求出，得到，从而出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：当时，， ∵若点在该函数图象上， ∴，即； （2）解：小明说法对，理由如下： ∵， ∴二次函数的顶点为， 当时，， ∴顶点在直线上， （3）解：∵点，都在该二次函数图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 由题意可得可得二次函数的顶点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴c存在最大值，最大值为． 23．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到平移后的二次函数表达式； （2）求出平移后的抛物线顶点，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值即可求解； （3）当时，即，解一元二次不等式即可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到； （2）解：由（1）知， 则顶点坐标为， 平移后的抛物线顶点到轴的距离为； （3）解：由（1）知， 抛物线开口朝上， 令，即， 解得：或， 即抛物线与轴的交点坐标为或， 当时，或． 【点拨】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 24．(1)见解析 (2)①存在，；② 【分析】1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得；（2）①求出，代入求得，得到，当点M在上时，，最小，当时，，得到；②设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为． 【详解】（1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到； （2）①存在，理由： 当时， ， ∴， 代入， 得， ∴， ∴， 当点M在上时， ，最小， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ②设交x轴于点N，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点的横坐标为．    【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$