专题2.3 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向..................2 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向.....................3 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值....................5 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系...............8 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点问题....................9 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题.................................12 【题型7】直通中考..........................................................16 【题型8】拓展延伸..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（21-22九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． 【答案】 下 【分析】根据的值，可得函数图象的开口方向，根据顶点式函数解析式，可得顶点坐标，对称轴． 解：抛物线中，， ∴开口向下，顶点坐标是，对称轴是直线． 故答案为：向下，，． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，时，图象开口向上，函数有最大值，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列关于二次函数的图像，说法正确的是 ．（填序号） ①图像开口向下；②顶点坐标；③当时，随的增大而减小；④对称轴是直线． 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数的图像与性质对各说法进行分析判断即可． 解：∵， ∴， ∴该函数图像开口向下，说法①正确； 由可知，该函数图像对称轴为，顶点坐标为，故说法④正确，说法②错误； ∵该函数图像对称轴为，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小，说法③正确． 综上所述，说法正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解； (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． （1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·期末）关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据的图象与性质解答． 解：在中， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， ∴选项A、B、C均不符合题意； 令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键． 把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案． 解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为， 则，， 代入得：， ， ， 则最小值是， 故答案为：． 【变式1】（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质得出关于m的方程，解方程即可； （3）先计算当时，x的值，画图象，根据图象可得结论． 解：（1）若，则， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （3）∵， 当时，， 解得：，， 如图所示，      由图象得：n的取值范围是． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式2】（2021·上海奉贤·一模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律以及图象性质，根据“左加右减，上加下减”进行计算，即可作答． 解：∵抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选：A 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点问题 【例5】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知抛物线的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．   (1)求抛物线和直线AD的解析式； (2)求线段PN的最大值； (3)当的面积是的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，; (2)PN的最大值为; (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用顶点式写出二次函数解析即可； （2）设点P的坐标为，则点N的坐标为，则，根据二次函数的性质即可求得； （3）求得的面积，进而求得的面积为5，然后根据列出关于m的方程，解方程即可求得P点的坐标． 解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为，即； 令，则，解得或， ∴A（﹣5，0），，令，则， ∴， 设直线AD的解析式为， 则，解得 ∴直线AD的解析式为：； （2）设点P的坐标为，则点N的坐标为 ∴， ∴PN的最大值为； （3）∵顶点C的坐标为，，， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， ∴， 解得：或，则点P的坐标为或 【点拨】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和三角形面积等知识，根据已知利用数形结合得出是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，求解即可． 解：二次函数 ，开口向下，A错误，不符合题意； 对称轴为：，B错误，不符合题意； 顶点坐标是，C正确，符合题意； ∵开口向下，顶点坐标是 ∴图象与x轴没有交点，D错误，不符合题意； 故选：C 【点拨】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及有关性质． 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是 . 【答案】1 【分析】已知函数解析式，可求出点A、B的坐标，再由三角形的面积公式直接解答； 解：由已知函数解析式得点A坐标为（1,0）； 由=2x2-4x+2得点B坐标为（0，2）， 所以中边OA=1，OB=2； 则的面积＝. 故答案为：1. 【点拨】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而进行计算． 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 【答案】(1)见解析; (2)①存在，；② 【分析】1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得；（2）①求出，代入求得，得到，当点M在上时，，最小，当时，，得到；②设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为． 解：（1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到； （2）①存在，理由： 当时， ， ∴， 代入， 得， ∴， ∴， 当点M在上时， ，最小， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ②设交x轴于点N，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点的横坐标为．    【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可． 解：由题意，该抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵四边形为正方形，点，点， ∴点的坐标为， 如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，    将代入得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． （1）的值为______； （2）若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； （3）若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析；(3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． （1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． （1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向..................2 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向......................2 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值....................3 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系...............4 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点问题....................4 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题..................................5 【题型7】直通中考...........................................................6 【题型8】拓展延伸...........................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（21-22九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列关于二次函数的图像，说法正确的是 ．（填序号） ①图像开口向下；②顶点坐标；③当时，随的增大而减小；④对称轴是直线． 【变式3】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·期末）关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 【变式1】（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 【变式2】（2021·上海奉贤·一模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点问题 【例5】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知抛物线的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．   (1)求抛物线和直线AD的解析式； (2)求线段PN的最大值； (3)当的面积是的面积的时，求点P的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是 . 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． （1）的值为______； （2）若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； （3）若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$