专题02 实数（10基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（陕西专用）

专题02 实数 无理数 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：是分数，是整数，是有限小数， 是无理数， 故选：A． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在实数0，，，中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的判断，无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是无限不循环小数，是无理数，符合题意； B. 是有理数，不合题意； C. 是有理数，不合题意； D. 0是有理数，不合题意． 故选：A 3．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）在实数0、、、、、0．1010010001中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：在实数0、、、、、0．1010010001中，无理数有，，，共个， 故选：C． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）下列实数0，，，，，，， （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了算术平方根，无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴0，，，，是有理数，，， （每两个1之间依次多一个2）是无理数， 故选：C． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在，，1.414，，，3.25，0中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无理数定义是求解本题的关键． 根据无理数的概念判断即可．无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 3.25，1.414是有限小数，属于有理数；，是分数，属于有理数； 无理数有，共1个． 故选：A． 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟知无理数的定义．无理数为无限不循环小数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式．根据无理数、有理数的定义即可求解． 【详解】解：有理数为：，，； 无理数为：，（相邻两个之间的个数逐次加），共个； 故选：B． 平方根、算数平方根、立方根的定义 1．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）64的平方根是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方根的意义，即可解答． 【详解】解：64的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 2．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）的算术平方根是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，正数的平方根中那个正的平方根是算术平方根， 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 3．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0或1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据立方根及平方根与算术平方根的求法依次判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，选项错误，不符合题意； B、，的平方根是，选项错误，不符合题意； C、， 的算术平方根是，选项正确，符合题意； D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查立方根及平方根与算术平方根的求法，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．0的立方根是0 D．8的立方根是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、0的立方根是0，故选项正确，符合题意； D、8的立方根是2，故选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义回答即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是6． 故答案为：6． 6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：的立方根是； 的平方根是． 故答案为：；． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若一个数的平方根是，那么这个数的立方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵这个数的平方根为， ∴这个数为， 而的立方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和立方根．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方，根据开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． 8．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）已知的立方根是，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】由的立方根是，得，解这个方程即可求解． 【详解】解：∵的立方根是， ∴ 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握已知一个数的立方根求这个数的解法是解题的关键． 实数及相关定义 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）和数轴上的点一一对应的数是（    ） A．有理数 B．无理数 C．实数 D．无限小数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】实数与数轴 【分析】根据实数和数轴上的点一一对应作答即可. 【详解】解：和数轴上的点一一对应的数是实数； 故选：C. 【点睛】本题考查了实数与数轴，属于应知应会题目，熟知实数和数轴上的点一一对应是解题的关键. 2．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【分析】本题主要考查了相反数，熟练掌握只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选A． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 4．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】实数的性质、相反数的定义 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，关键是掌握和绝对值的性质． 根据数轴图可知，再根据化简式子即可． 【详解】解：根据数轴图可知， ∴． 故答案为：． 二次根式的定义及最简二次根式 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）要使二次根式有意义，则x的值不可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 四个选项中，只有D选项不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式的被开方数是非负数． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下面各式中，是最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：∵，，， ∴，，都不是最简二次根式． 是最简二次根式． 故选：B． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）要使二次根式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得， x的值可以是大于等于的任意一个数， 故答案为：2（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．根据二次根式有意义的条件，求出的值，代入代数式进行求解即可．解题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若，则的平方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求一个数的平方根 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∵20的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 实数（二次根式）的大小比较 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小：5 （填入“＞”或“＜”号）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查二次根式化简估值，实数比较大小．根据题意先将，再和实数比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在0、、、、这五个数中，最小的实数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先化简，，再比较大小即可，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的实数是， 故答案为： 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】实数的大小比较 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）比较大小：2 4 【答案】＜ 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案． 【详解】解：2=，4=， ∵28＜32， ∴＜， ∴2＜4． 故答案为＜． 【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小： 4（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较 【分析】根据平方法比较实数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查实数比较大小．熟练掌握平方法比较大小，是解题的关键． 7．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）比较大小： （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】> 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】利用作差法比较大小，即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：> 【点睛】本题考查实数的比较大小，作差法是常见的方法，掌握方法是解题的关键． 8．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）写出一个比6大的无理数： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】无理数、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，无理数的定义，只需要写出一个比6大的无理数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 实数运算 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握实数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】化简绝对值、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】 本题考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，绝对值是解题的关键．先分别计算有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则、绝对值的性质及立方根是解题的关键．先计算算术平方根、绝对值和立方根，再进行实数的加减混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算根号、去绝对值和乘方，最后再计算加减法即可． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级上·陕西延安·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 7．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】先根据负整数指数幂运算法则、立方根定义、绝对值意义、算术平方根定义进行化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则、立方根定义、绝对值意义、算术平方根定义． 二次根式运算 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的减法可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法运算可判断A，根据二次根式的性质与化简可判断B，C，D，从而可得答案． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及化简，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的计算法则，一一判断即可解题． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能进行合并，所以A项错误，不符合题意． B、，所以B项错误，不符合题意． C、，所以C项错误，不符合题意． D、，所以D项正确，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】A 、不能合并，故选项不符合题意； B、根据二次根式加法法则，故选项不符合题意； C、根据二次根式除法法则，故选项不符合题意； D、根据二次根式乘法法则，故选项符合题意． 故选：D． 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式加减运算法则，先利用二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 8．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘法法则计算，化简二次根式，再根据二次根式加减法则计算． 【详解】解： ． 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了化简绝对值及二次根式的化简与计算，根据绝对值意义和二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】解： ． 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式、算术平方根的定义，绝对值的意义进行计算，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了立方根及二次根式的运算，根据立方根的定义，二次根式的性质先化简，再进行合并即可得到结果，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 13．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解：原式 ． 14．（22-23八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先化简各式，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质，零指数幂的法则，二次根式的运算法则，是解题的关键． 15．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除，最后进行二次根式的加减法即可； （2）先利用乘法分配律化简，再计算二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，能够熟练掌握运算顺序时解决本题的关键． 16．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的加减乘法运算的运算法则”是解本题的关键． 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键． 利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 算数平方根的非负性应用 1．（20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）已知，则（    ） A． B．25 C．32 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】负整数指数幂、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：有绝对值、算术平方根的非负性可知： ， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，两个大于等于0的数或式子相加为0，则这两个数或式子均必须为0． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若x，y为实数．且，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据算术平方根及偶次方根的非负性列出二元一次方程组，利用加减消元法解方程求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】，， 解得 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 无理数大小估值 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）估计介于（   ）． A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和之间 D．和之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的范围，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟知夹逼原则是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）若，其中m是正整数，则m的值是 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出，，再根据，且是正整数即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，且是正整数， ， 故答案为：3． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若无理数的值介于两个连续整数和之间，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握一些常用的平方数是解题的关键． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若，且为整数，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质，被开方数越大，值越大，由此即可求解． 【详解】解：∵，且为整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的知识，掌握二次根式的性质，化简是解题的关键． 5．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）已知是64的负的平方根，是的整数部分，则的立方根为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】根据平方根的定义得到-2m=-8，求出m；根据估算求出n，再根据立方根的定义求出答案． 【详解】解：∵是64的负的平方根， ∴-2m=-8，解得m=4； ∵6<<7，是的整数部分， ∴3n=6，解得n=2， ∴mn=， ∴的立方根为2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，正确掌握平方根的定义及立方根的定义是解题的关键． 实数、二次根式简单实际应用 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，如果一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、实数的大小比较 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，， ， ③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得， 由于， 所以蚂蚁爬行的最短路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 2．（20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 ． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】立方根的实际应用 【分析】直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为5cm的正方体的体积为：5×5×5=125（cm3）， ∵一个正方体，它的体积是棱长为5cm的正方体体积的8倍， ∴这个正方体的体积为：125×8=1000（cm3）， ∴这个正方体的棱长是10cm． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理，算术平方根．熟练掌握勾股定理，算术平方根是解题的关键．由题意知，小正方形的边长为，则直角三角形的另外一条直角边的长度为，根据大正方形的边长为直角三角形的斜边长，利用勾股定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小正方形的边长为， ∴直角三角形的另外一条直角边的长度为， 由勾股定理得，直角三角形的斜边长即大正方形的边长为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 ． 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为、，则斜边长为： ， ∵直角三角形的周长为60， ∴， 解得：， ∴斜边长为． 故答案为：26． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在中，，，，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方），解题的关键是直接根据勾股定理列式计算即可．也考查二次根式的计算与化简． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴的长为． 算数平方根、平方根、立方根综合应用 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为3 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概率，立方根的概念，求一个数的算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，再根据立方根的定义得到，则，则，再由算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 的立方根是3， ， ， ， 的算术平方根为3． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义，即可得到，然后即可求得a的值；同理可以得到，即可得到b的值，进而求得答案． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知是的一个平方根，2是的立方根，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查平方根、立方根、以及算术平方根的定义，根据相关概念列出等式求解，即可解题． 【详解】解： 是的一个平方根， ，解得． 2是的立方根， ，解得， ， 的算术平方根为2． 4．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平方根的应用、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义求出，进而求出，再根据立方根的定义求出，然后求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：一个正数的平方根是与， ， 解得， ，， ， ∵的立方根是，， ， ， 的算术平方根． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义求未知数的值，熟记平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据题意可求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】的平方根是 ， 的立方根是3， ， ， 解得：， 的算术平方根是 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知一个正数的两个平方根分别是 和 的立方根是3． 求 的算术平方根． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质求出a、b，从而得到的算术平方根，准确计算是解题的关键． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别是 和 ， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴，； ∴， ∴的算术平方根为2． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知实数a的两个平方根分别为和，b是的整数部分．求：的立方根． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，立方根．熟练掌握平方根，无理数的估算，立方根是解题的关键． 由题意知，，可得，进而可求，根据无理数的估算可求，然后根据的立方根为，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根为， ∴的立方根为4． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案，正确得出a，b，c的值是解题关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为4． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)的平方根 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，， ， 的整数部分3， ， ，，； （2），，， ， 的平方根． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∵b的算术平方根为2，c是8的立方根， ∴， ∴． 根据已知条件化简求值 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当，，求代数式的值． 【答案】31 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了求代数式的值，由已知条件可得，，将代数式化为，然后代入运算即可求解；掌握整体代换法求代数式的值是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 原式 ． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和公式是解决此题的关键． （1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再进行实数的加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可； （3）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）∵， 3．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，，求的值． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的运算，涉及了完全平方公式．根据题意可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】解：，， ，， ． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式分解因式、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值， （1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可； （2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可； 【详解】（1）原式， （2）∵， ∴原式 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键． （1）根据，得到，进而得到，整体代入求值即可； （2）根据，推出，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 数轴表示无理数 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了绝对值的几何含义：数轴上两点之间的距离，以及两点间距离的计算：两个点在数轴上对应数的差的绝对值叫做两点间的距离，解题的关键在于正确计算． 【详解】数轴上点所表示的数分别是， ， 点到点的距离相等， ， 点表示的数为，且点表示的数为正数，在的右侧， 点的数为：， 故选：C． 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点C对应的数是-4，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．- B． C．-4.2 D．-4.5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】由勾股定理得AB=，再由作图得AD=AB=，然后由点D在点A的左侧即可得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数是0，点C对应的数是-4， ∴AC=4， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB=90°， 由勾股定理得：AB=， ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D， ∴AD=AB=， ∵点D在点A的左侧， ∴点D表示的数为：-， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出AB的长是解题的关键． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图所示，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理求出线段的长，结合数轴即可． 【详解】解：点到数轴的线段交于点． 由图可知点到数轴的距离为，点距离点的横向距离为． 在中， 点表示的数为 故答案为：． 4．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）尺规作图：在下面数轴上作出对应的点，保留必要的作图痕迹．（不要求写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】根据构建直角三角形，然后用直尺和圆规在数轴作图即可． 【详解】解：如图， 利用数轴的特点作 截取，而， ∴ 再在数轴上在原点的左边作， ∴对应的数即为 【点睛】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握“利用勾股定理在数轴上确定对应的点”是解本题的关键． 新定义运算及流程图计算 1．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先根据平方差公式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义运算及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦·秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．若的三条边长分别为a，b，c，且，，，那么的面积是多少？ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】利用求出p，再利用即可求出的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴的面积是． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解题的关键． 3．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减中的无关型问题、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得； （2）解：， 的值与无关， ，解得， ． 4．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 5．（22-23八年级上·陕西延安·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解． (1)已知与是的一个平方差分解，求； (2)已知是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可； （2）通过因式分解得，根据“明礼崇德数”的定义，列出的方程求得即可． 【详解】（1）解：与是的一个平方差分解， ； （2）解：当时，为“明礼崇德数”，理由如下： ， 当时，为“明礼崇德数”， 此时， 故当时，为“明礼崇德数”． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的运用，解题的关键是理解新定义的意思． 分母有理化 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简： ， ； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 2．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值； (3)的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】分母有理化 【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）， （2）原式， （3）原式， ， ， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． 实数（二次根式）运算与其他综合探究 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】二次根式的应用、最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 无理数 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在实数0，，，中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D．0 3．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）在实数0、、、、、0．1010010001中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）下列实数0，，，，，，， （每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在，，1.414，，，3.25，0中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 平方根、算数平方根、立方根的定义 1．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）64的平方根是（    ） A． B． C． D．8 2．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）的算术平方根是（    ） A．4 B． C．2 D． 3．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0或1 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．0的立方根是0 D．8的立方根是 5．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是 6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若一个数的平方根是，那么这个数的立方根是 ． 8．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）已知的立方根是，则 ． 实数及相关定义 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）和数轴上的点一一对应的数是（    ） A．有理数 B．无理数 C．实数 D．无限小数 2．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ．    二次根式的定义及最简二次根式 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）要使二次根式有意义，则x的值不可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下面各式中，是最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）要使二次根式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若，则的平方根是 ． 实数（二次根式）的大小比较 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小：5 （填入“＞”或“＜”号）． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在0、、、、这五个数中，最小的实数是 ． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“”，“”或“”）． 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）比较大小：2 4 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小： 4（填“”“”或“”） 7．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）比较大小： （填“>”，“<”或“=”）． 8．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）写出一个比6大的无理数： ．（写出一个即可） 实数运算 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算： ． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：． 5．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）计算：． 6．（23-24八年级上·陕西延安·期末）计算：． 7．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： 二次根式运算 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）计算的结果是 ． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：. 8．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 13．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 14．（22-23八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 15．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）化简： (1) (2) 16．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算 (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 算数平方根的非负性应用 1．（20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）已知，则（    ） A． B．25 C．32 D． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若x，y为实数．且，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 无理数大小估值 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）估计介于（   ）． A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和之间 D．和之间 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）若，其中m是正整数，则m的值是 ． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若无理数的值介于两个连续整数和之间，则 ． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）若，且为整数，则的值为 ． 5．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）已知是64的负的平方根，是的整数部分，则的立方根为 ． 实数、二次根式简单实际应用 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，如果一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 ． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根号） 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 ． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在中，，，，求的长． 算数平方根、平方根、立方根综合应用 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，求的算术平方根． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 3．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知是的一个平方根，2是的立方根，求的算术平方根． 4．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 6．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知一个正数的两个平方根分别是 和 的立方根是3． 求 的算术平方根． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知实数a的两个平方根分别为和，b是的整数部分．求：的立方根． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 根据已知条件化简求值 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当，，求代数式的值． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 3．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，，求的值． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 数轴表示无理数 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，数轴上点A对应的数是0，点C对应的数是-4，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．- B． C．-4.2 D．-4.5 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图所示，，数轴上点表示的数是 ． 4．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）尺规作图：在下面数轴上作出对应的点，保留必要的作图痕迹．（不要求写作法） 新定义运算及流程图计算 1．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则 ． 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦·秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．若的三条边长分别为a，b，c，且，，，那么的面积是多少？ 3．（22-23八年级上·陕西商洛·期末）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 4．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 5．（22-23八年级上·陕西延安·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解． (1)已知与是的一个平方差分解，求； (2)已知是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 分母有理化 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简： ， ； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 2．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值； (3)的值． 实数（二次根式）运算与其他综合探究 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$