专题01 勾股定理（9基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（陕西专用）

专题01 勾股定理 勾股数（树）问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下面各组数中，是勾股数的是（     ） A．2，4，6 B．6，8， C．3，4，5 D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B． C． D．8，15，17 4．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41 5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（    ） A． B．13 C．或13 D．14 6．（19-20八年级上·陕西宝鸡·期末）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为，…按此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 用勾股定理解直角三角形 1．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．6 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（  ）    A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·陕西西安·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，则的长度为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，如果，那么四边形的面积是（    ） A． B．4 C．2 D．3 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，，，若边上的高等于3，则边的长为 ． 7．（20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，CD=10．则AD的长为 ． 8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在中，，求的长． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点B在上，，，，求的长为多少？    勾股定理与平面直角坐标系 1．（22-23八年级上·陕西·期末）已知点，那么的周长是 ． 2．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到y轴的距离为3，则点P到坐标原点的距离为 ．（结果保留根号） 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若平分交y轴于点D，则点D的坐标为 ． 勾股定理与网格问题 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（    ） A．5 B．2 C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（    ） A． B．2 C．1 D．2 3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段，，，，其中能构成一个直角三角形三边的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图：每个小方格的边长为1，以格点为顶点，画一个面积为10的正方形． 勾股定理与阴影面积问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，分别以，为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，．以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．8 C．16 D．25 5．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则的值为 6．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 ． 7．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 勾股定理与弦图 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则 ． 2．（21-22八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则的值为 ． 勾股定理的简单应用 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道，如图，为了测量隧道的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道的延长线上取了点D，测量得知，，米，米，请你求出隧道的长． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）某校师生与消防员一起进行消防演练，消防员搬来一架梯子（米）靠在教学楼顶处，底端落在地面处进行救援，然后移动梯子使顶端落在教学楼下一层的处，而底端向外移动了10米到处（米）．已知，点分别在线段上，测量得米．求这座教学楼的高度．    3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 6．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 7．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为．试求出秋千荡出的水平距离的长．    8．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m） 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 勾股定理逆定理 1．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是 ． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，处修一条小路．已知米，米，米，，求四边形的面积． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 4．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，五边形ABCDE是某学校的一块空地，校方计划沿AC、AD修两条小路，并在△ACD内种植某种草皮，经测量，△ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形，且∠B＝∠E＝90°，米，米，CD＝30米．求种植草皮部分（△ACD）的面积． 勾股定理与全等三角形 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 3．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）如图，点、、在同一条直线上，于点，于点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 勾股定理与几何计算 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 2．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，CD=，AD与BE交于点F，连接CF，则AD的长为 ． 4．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是 ．（填正确结论的序号） 5．（19-20八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为边上一动点，作如图所示的使得，且，连接，则的最小值为 ． 勾股定理与折叠问题 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形沿着折叠，使得点D恰好落在边上的处，若，，则的面积为 ． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上F处，折痕交于点E，已知，，则 ． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求，的度数； (2)若，求． 勾股定理与最短路径问题 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是（    ）    A． B．20 C． D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米    A．16 B． C．15 D．14 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是 ．（结果保留根号） 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 7．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为 ． 10．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 勾股定理列方程解实际问题 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？ 5．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地下边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿着D→A→C的路径测量得所经过的路程为18米，小红说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来，请说明理由． 6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 勾股定理与几何综合 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 （1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 （2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 勾股数（树）问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下面各组数中，是勾股数的是（     ） A．2，4，6 B．6，8， C．3，4，5 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：A中，不是勾股数，故不符合要求；   B中，不是勾股数，故不符合要求； C中，是勾股数，故符合要求； D中不是正整数，不是勾股数，故不符合要求； 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．6，8，10 D．10，20，24 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键．判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A：，不是勾股数，不符合题意， B：，但不是整数，因此不是勾股数，不符合题意； C：，是勾股数，符合题意； D：，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B． C． D．8，15，17 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 4．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴5，15，20这三个数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴9，40，41这三个数是勾股数，符合题意； 故选D． 5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（    ） A． B．13 C．或13 D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边，a=，三边是整数，能构成勾股数，符合题意； ②12为最长边，a=，不是正整数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 6．（19-20八年级上·陕西宝鸡·期末）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为，…按此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题、以弦图为背景的计算题 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2=CD2，DE=CE， ∴S2+S2=S1． 观察，发现规律：S1=12=1，S2=S1=，S3=S2=，S4=S3=，…， ∴Sn=． 当n=5时，S5==. 故选A.     【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn=，属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 7．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 【答案】66 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解： 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2， S1=42+52，S2=32+42， 于是S3=S1+S2， 即可得S3=16+25+9+16=66． 故答案是：66． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键． 用勾股定理解直角三角形 1．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理即可直接求出答案． 【详解】∵在中，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD． 【详解】解：∵AB=2，BC=AB， ∴BC=1， ∴AC=， ∵CE=BC=1， ∴AD=AE=ACCE=， ∴BD=ABAD=2（）=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长． 3．（21-22八年级上·陕西西安·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形面积求出CD的长． 【详解】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12， ∴AB=13， ∴×AC×BC=×CD×AB ∴5×12=13CD， 解得：CD=， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积，熟练利用三角形面积求出是解题关键． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，则的长度为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：，， ， ， ， 则在中，， 故选：D． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，如果，那么四边形的面积是（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】由勾股定理解，得出，再直接求正方形的面积即可． 【详解】解：在中， ，， ，即， 解得或（负值舍去）， 四边形是正方形， ∴四边形的面积． 故选B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，掌握“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”是解题的关键． 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在中，，，若边上的高等于3，则边的长为 ． 【答案】7或1 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】中，分锐角和钝角两种：①是锐角时，根据勾股定理计算和的长可得的值；②如图2，是钝角时，同理得：，，根据代入可得结论． 【详解】解：如图，有两种情况： ①当是锐角时， 是的高， ， 由勾股定理得：， ， ； ②当是钝角时，，， ， 综上所述，的长为7或1； 故答案为：7或1． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题． 7．（20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，CD=10．则AD的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】如图，利用勾股定理得到：a2+d2=62，c2+d2=82，b2+c2=102，将三个等式相加，求得a2+b2的值即可． 【详解】解：如图，∵AC⊥BD， ∴由勾股定理得到：a2+d2=62①， c2+d2=82②， b2+c2=102③， 由①+②+③得：a2+b2+2（c2+d2）=62+82+102， 即a2+b2+2×82=62+82+102， ∴a2+b2=72， ∴AD2=72， ∴AD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中，方程思想在解题过程中的巧妙应用． 8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）在中，，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，如图， 所以． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点B在上，，，，求的长为多少？    【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 得， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 勾股定理与平面直角坐标系 1．（22-23八年级上·陕西·期末）已知点，那么的周长是 ． 【答案】4+4/ 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】根据点的坐标得到OA=OB=2，OC=4，利用勾股定理求出AC和BC长，得出周长． 【详解】解：∵A（0，-2）B（0，2）C（4，0）， ∴OA=OB=2，OC=4, ∴AB=OA+OB=4， BC= , 同理AC= ， ∴△ABC的周长为：4+=4+， 故答案为4+． 【点睛】本题考查在平面直角坐标系中求两点之间距离，构造直角三角形利用勾股定理是解决问题的关键． 2．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到y轴的距离为3，则点P到坐标原点的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】根据P点坐标特征，求得a的值，于是可得P点坐标，再由两点距离公式求得OP即可； 【详解】解：∵点P到y轴的距离为3， ∴|2a+1|=3， ∵点P在第三象限， ∵2a+1＜0， ∴2a+1=-3， ∴a=-2， ∴点P坐标（-3，-3）， ∴点P到坐标原点的距离=， 故答案为：； 【点睛】本题考查了坐标的特征，勾股定理，掌握两点距离的计算方法是解题关键． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若平分交y轴于点D，则点D的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】分别求出点A的坐标、点B的坐标，以及的长度；在x轴的负半轴上取点C，使，连接，然后根据平分可证明，可得；最后设点D的坐标为，在中，根据勾股定理，求出b的值，即可求出点D的坐标． 【详解】解：对于，当时，；当时， ∴ 在中，； 在x轴的负半轴上取点C，使，连接，如图 ∵平分 ∴ 又 ∴ ∴ 设点D的坐标为， ∴ 又 在中， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,构造直角三角形是解答本题的关键． 勾股定理与网格问题 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，先求出，再根据，即可得出答案． 【详解】解：根据网格可得：， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（    ） A． B．2 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】解：由图可知：，， ∵，     ∴， 解得：． 故选：D． 3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段，，，，其中能构成一个直角三角形三边的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据网格图，分别求出，，，，再根据勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形． 【详解】∵由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1 ∴， ， ， ， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故答案选：C 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．根据网格图找出四条线段的长度是本题的关键． 4．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图：每个小方格的边长为1，以格点为顶点，画一个面积为10的正方形． 【答案】画图见解析 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】直接利用勾股定理结合网格即可画出符合题意的正方形． 【详解】如图，正方形ABCD即为所求面积为10的正方形． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，正确的应用勾股定理是解题的关键． 勾股定理与阴影面积问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，分别以，为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：D． 3．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求出，再求半圆的面积即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是289和225， ∴， ∵， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为：； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 4．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，．以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．8 C．16 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理求得边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，． 故． 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”，熟练的利用勾股定理求解是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则的值为 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：20． 6．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即S1+S2=S3．据此可求S2． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和， 又∵S1=8，S3=17， ∴正方形S2的面积=17-8=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方． 7．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 勾股定理与弦图 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意得，利用三角形的面积公式求得，由，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 2．（21-22八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则的值为 ． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：a2+b2=34，（b-a）2=4，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解． 【详解】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4， ∴a2+b2=34，（b-a）2=4， ∴4×ab=34-4=30， ∴2ab=30， ∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=4+60=64， ∴a+b=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键． 勾股定理的简单应用 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道，如图，为了测量隧道的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道的延长线上取了点D，测量得知，，米，米，请你求出隧道的长． 【答案】隧道的长为480米 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，勾股定理．根据三角形的外角的性质，求，利用勾股定理求出的长即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵， ∴． ∵米，米， ∴米， 即隧道的长为480米． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）某校师生与消防员一起进行消防演练，消防员搬来一架梯子（米）靠在教学楼顶处，底端落在地面处进行救援，然后移动梯子使顶端落在教学楼下一层的处，而底端向外移动了10米到处（米）．已知，点分别在线段上，测量得米．求这座教学楼的高度．    【答案】40米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理得出的长，从而得出的长，再在中，有勾股定理求出的长即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，米， 在中，米， 米， 米， 在中，米， 这座教学楼的高度为米． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离． 【答案】90海里 【难度】0.94 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°， OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里）， 根据勾股定理得：海里， 即3小时之后两客轮之间的距离90海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 【答案】男子向右移动的距离为7米 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，米，米， 在中，米. （米）， 在中，米， （米）. 即男子向右移动的距离为7米. 5．（22-23八年级上·陕西西安·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）；（2）海港受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为小时． 【难度】0.65 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形， ∴∠ACB=90°； （2）海港受台风影响， 过点作，   是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时） 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 6．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中，，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为．试求出秋千荡出的水平距离的长．    【答案】秋千荡出的水平距离的长为 【难度】0.85 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 答：秋千荡出的水平距离的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，数形结合求出，， 8．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m） 【答案】小鸟至少飞行m． 【难度】0.85 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m， 过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形， 连接AB， ∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m， 在Rt△AEB中，AB=(m)， 故小鸟至少飞行m． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出直角△AEB，并且根据勾股定理正确的计算AB是解题的关键． 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 勾股定理逆定理 1．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的长，在Rt△ADC中，利用等面积法即可求得DE的长． 【详解】根据题意，画出图形，如图， ∵AD是的中线， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ， ∵， ∴ 解得，， 故填：． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进行求解． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，处修一条小路．已知米，米，米，，求四边形的面积． 【答案】平方米 【难度】0.85 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得四边形的面积． 【详解】解：在中，，米，米， 则：（米）， 在中，米，米，米， 则：，， ， 是直角三角形，且， 故（平方米）， 四边形的面积是平方米． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 答：这块可绿化的空地的面积为． 4．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，五边形ABCDE是某学校的一块空地，校方计划沿AC、AD修两条小路，并在△ACD内种植某种草皮，经测量，△ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形，且∠B＝∠E＝90°，米，米，CD＝30米．求种植草皮部分（△ACD）的面积． 【答案】600平方米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，分别利用勾股定理求出AC与AD的长，由勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，即可求出种植草皮部分（△ACD）的面积． 【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠B＝∠E＝90°， ∴米，米， ∴米，米． ∵CD＝30米， ∵ ∴． ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴（平方米）． 即种植草皮部分（△ACD）的面积为600平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理的内容，会熟练应用是解题的关键． 勾股定理与全等三角形 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用直接证明即可得到结论； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程即可得出答案． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）在中，由勾股定理，得， 由（1）知， ∴， ∴， 设的长为x，则， 在中，由勾股定理，得， 解得． ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 2．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）由即可证明； （2）由全等三角形的性质得，，再由点是的中点，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 3．（21-22八年级上·陕西渭南·期末）如图，点、、在同一条直线上，于点，于点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】(1)由“AAS”可证△ABC≌△BED； (2)由全等三角形的性质可求AB=BE=10，由勾股定理可求BD的长，又为直角三角形，用勾股定理即可求解AD的长度． 【详解】（1）(1) AC⊥BC，BD⊥DE， ∠ACB=∠BDE=90°， 在△ABC和△BED中， △ABC≌△BED(AAS)； （2）△ABC≌△BED， AB=BE=10， ED=6，BE=10， ， 在中，，且， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和勾股定理的熟练运用是解答本题的关键． 勾股定理与几何计算 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，设交于点，交于点，证明，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 连接，设交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴ ∴     又∵， ∴ 又∵， 解得：，， ， 过点作于点， 设 ∴ 即， 解得： ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 2．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题． 【详解】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝， ∴S△ADE＝5， 由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°， ∴•(AF+DF)•BF＝5， ∴•(4+DF)•2＝5， ∴DF＝1， ∴DB＝＝＝， 设点F到BD的距离为h， 则•BD•h＝•BF•DF， 即：， ∴h＝， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 3．（19-20八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，CD=，AD与BE交于点F，连接CF，则AD的长为 ． 【答案】2+ 【难度】0.65 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得BE是AC的垂直平分线，可得AF=FC，再证明△ACD≌△BFD可得DF=DC=，进而可得结果． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAD=45°， ∴∠DBA=45°， ∴AD=BD， ∵AB=BC， BE⊥AC， ∴AE=EC ∴BE是AC的垂直平分线， ∴AF=CF， ∵∠CAD+∠ACD=90° ∠FBD+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠FBD ∴△ACD≌△BFD(ASA) ∴DF=CD= ∴FC==2 ∴AD=AF+FD=2+． 故答案为2+． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是综合利用等腰三角形的性质和勾股定理． 4．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是 ．（填正确结论的序号） 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA）， 结合 可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP， 可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④； 【详解】解：在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE= ， ∴∠APB=135°，故①正确． ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135°， ∴∠APB=∠FPB， 又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF， 在△APH和△FPD中， ， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴PH=PD， ，故②正确， ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH=S△EPD， ∴S△APH=S△AED，故③正确， 若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH， ∵DH∥BE， ∴∠CDH=∠CBE=∠ABE， ∴∠CDE=∠ABC， ∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（19-20八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为边上一动点，作如图所示的使得，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC≌△DAM（SAS），进而得出当MD⊥BC时，CE的值最小，转化成求DM的最小值，通过已知值计算即可． 【详解】解：如图所示，在AB上取AM=AC=2， ∵，， ∴∠CAB=45°， 又∵， ∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°， ∴∠EAC =∠DAB， ∴在△EAC与△DAB中 AE=AD，∠EAF =∠DAB，AC =AM， ∴△EAC≌△DAM（SAS） ∴CE=MD， ∴当MD⊥BC时，CE的值最小， ∵AC=BC=2， 由勾股定理可得， ∴ ， ∵∠B=45°， ∴△BDM为等腰直角三角形， ∴DM=BD， 由勾股定理可得 ∴DM=BD= ∴CE=DM= 故答案为： 【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静． 勾股定理与折叠问题 1．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【详解】∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD ∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF 设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形沿着折叠，使得点D恰好落在边上的处，若，，则的面积为 ． 【答案】45 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】过点E作，根据勾股定理求出，，设，则，根据勾股定理求出，再求出和，即可解得． 【详解】解：过点E作， 设，则， ， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， 设，则 ， 根据勾股定理可得： 解得， ， ∴ -故答案为：45． 【点睛】此题考查折叠问题和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理，列方程，求出直角三角形的边长． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形折叠，使顶点D恰好落在边上F处，折痕交于点E，已知，，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】 先根据长方形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，再解方程得到的长． 【详解】 解：四边形为长方形， ，，， 由折叠可知， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求，的度数； (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵把长方形纸片沿折叠， ∴， ∴； （2）∵把长方形纸片沿折叠， ∴， ∵， ∴， ∴． 勾股定理与最短路径问题 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是（    ）    A． B．20 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，勾股定理，如图，分三种情况把长方体剪开，分别根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1，把长方体剪开，使其右面和正面组成一个长方形，    ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ∴，， 在中，根据勾股定理得：； 如图2，把长方体剪开，使其右面和上面组成一个长方形，    ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ∴，， 在中，根据勾股定理得：； 如图3，把长方体剪开，使其正面和下面组成一个长方形，    ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ∴， 在中，根据勾股定理得：； ∵，， ∴， ∴蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：C． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为； 【详解】展开后图形是：    因为底面周长为，高，故， 故绕礼盒侧面2周后彩带最短为， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，关键是能理解题意知道求出那一条线段长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出的长即可； 【解答】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 故选：C． 【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线． 4．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米    A．16 B． C．15 D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接，    ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米） ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】由于纸箱为正方体，且A、B两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、B即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 此题主要考查了平面展开图最短路径问题,以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键． 【详解】如图： 因为，， 所以． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）． 故答案为：10． 7．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图： ∴， ∴这图金属丝的长度至少为， 故答案为：13． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈， ∴展开后，， 由勾股定理得： 故答案为：． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 10．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】25米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：AD=π•=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15， 在Rt△ADE中，AE===25． 故他滑行的最短距离约为25米． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 勾股定理列方程解实际问题 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 【答案】5米 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米， ∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴机器人跑步5米与乐乐相遇． 2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离． 【答案】千米． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】此题考查勾股定理的应用，设千米，则千米，利用勾股定理得到，根据E到A，D两个村庄距离相等得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设千米，则千米， ∵于点B，于点C， ∴， ∴， ∵E到A，D两个村庄距离相等， ∴，     ∴， 即， 解得：， 答：此时E到B的距离为千米． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？ 【答案】旗杆第二次是在离地面米处断裂的 【难度】0.85 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】如解图所示，利用勾股定理求出AB，即可求出旗杆的长，然后设OC=xm，则CD=（24－x）m，利用勾股定理列出方程即可求出结论． 【详解】解：如下图所示 由题意可知：OA=，OB=，OD= ∴AB== ∴旗杆的长为OA＋AB=24m 设OC=xm，则CD=（24－x）m ∵ ∴ 解得： 答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的． 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键． 5．（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地下边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿着D→A→C的路径测量得所经过的路程为18米，小红说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来，请说明理由． 【答案】能，米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】设BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：Rt△ABC中，∠B=90°， 设BC=a米，AC=b米，AD=x米， 则9+a=x+b=18， ∴a=9，b=18-x， 又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2=b2， ∴（9+x）2+92=（18-x）2， 解得：x=3，即AD=3米， ∴AB=AD+DB=3+9=12（米），BC=9米，AC=15米， ×9×12＝×15h， 解得：h=， 答：这个直角三角花台底边上的高为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练正确勾股定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 【答案】尺 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸尺． 答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺． 勾股定理与几何综合 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 （1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 （2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”． 【答案】（1）；（2）的边的“中偏度值”为6或． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及应用，解答本题的关键是明确题意． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，即可求解； （2）分两种情况：当当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）作的中线，高线，如图， ，，， ， ， ， ， ， 为斜边上的中线，， ， 则的边的“中偏度值”为； （2）①当在外部时， 作的中线，如下图：   ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为； ②当在内部时， 作的中线，如下图：   ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【难度】0.4 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$