精品解析：上海市杨浦区2024—2025学年八年级上学期数学期中考试

2024学年第一学期期中质量调研卷八年级数学学科 （时间：100分钟 分值：基础100分+附加50分） 一、填空题（每题2分，共28分） 1. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据分母不等于0，且二次根式有意义的条件列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 2. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 3. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 4. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入中进行计算即可得到的值． 【详解】解：将代入，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，计算过程中进行分母有理化是解题的关键． 5. 解不等式：的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算． 根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 即． 故答案为： 6. 点、在反比例函数的图象上，若，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由且可知，当时，y随x的增大而减小可推出即可求解． 【详解】∵，且， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线两支分别位于一、三象限，此时在每个象限内，y随x的增大而减小”是解题关键． 7. 等式成立的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 要使有意义， 则， 解得：， 故答案为：． 8. 是方程的一个根，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】把x=a代入方程x2-6x+5=0来求a2-6a的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x=a是方程x2-6x+5=0的一个根， ∴a2-6a+5=0， 解得a2-6a=-5， ∴-10 故答案为：-10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 9. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设降价的百分率为，则第一次下调后的价格为，第二次下调的价格为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 10. 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】可以利用完全平方公式与平方差公式，将进行因式分解即可． 【详解】解： ， ． 【点睛】此题考查了在实数范围内因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解答此题的关键． 11. 如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，取最大整数是________. 【答案】-1. 【解析】 【分析】方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2-4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围从而确定结果. 【详解】解：∵， 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得k＜1，又∵k≠0， ∴实数k取最大整数是-1； 故填：-1. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 13. 等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 14. 点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ___________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的判定和性质；当旋转方式为顺时针旋转时，过点A作轴于点D，过点B作于点E，得出，则，通过证明，得出，把代入得，求解即可；当旋转方式为逆时针旋转时，过点A作轴于点D，过点B作交于点E，得出，则，通过证明，得出，把代入得，求解即可． 【详解】解：如图所示，当将线段绕点A顺时针旋转得到时，过点A作轴于点D，过点B作于点E， ∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：或（舍去）， 如图所示，当将线段绕点A逆时针旋转得到时，过点A作轴于点D，过点B作交延长线于点E， ∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：或（舍去）， 综上所述，或． 故答案为：或． 二、选择题（每题3分，共12分） 15. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由与不能合并，则A选项错误； B.由，故B选项符合题意； C. 由，故C选项不符合题意； D.由，故D项不符合题意． 故选：B． 16. 下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】因为只含一个未知数并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程，所以 ①是一元二次方程； ②当时，不是一元二次方程； ③化简后没有二次项，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； ⑤不是整式，所以不是一元二次方程． 故一元二次方程有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解定义． 17. 已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么它和函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性判断出k0,再由函数的性质即可判定图形所过象限. 【详解】解：∵y=kx中，y随x的增大而减小， ∴k0, ∴的图像经过二四象限,的图像经过二四象限, 故选D. 【点睛】本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数增减性与系数的关系是解题关键. 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（ ） A. 方程是半根方程 B. 方程是半根方程 C. 若，则方程是半根方程 D. 若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．根据题意解得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 三、简答题（每题6分，共30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 20. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先去括号，移项合并同类项得，再运用因式分解法进行方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得 22. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：移项得：， 将二次项系数化为1得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程：1、把原方程化为一般形式；2、方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、进一步通过直接开平方法求出方程的解． 23. 已知，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键． 四、解答题（第24，25，26题每题7分，第28题9分，共30分） 24. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求出取值范围即可； （2）由且m为非负整数，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根． 即有两个不相等的实数根． ∴． 解得； 【小问2详解】 ∵且m为非负整数， ∴或0． 当时，原方程为 ． 解得，，它的根都是整数，符合题意； 当时，原方程为． 解得，， ∴它的根都是不整数，不符合题意；． 综上所述，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键． 25. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米 【解析】 【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2-x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2-x）=140，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2-x）=140， 解得：x1=20，x2=14， ∵这堵墙的长为18米， ∴x=20不合题意舍去， ∴x=14， 宽为：×（32+2-14）=10（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 26. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点， （1）求a、k的值 （2）连接，求的面积 （3）P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是利用函数的解析式求出点坐标． （1）先根据反比例函数的图象求出a，在根据点B的坐标求出k的值即可； （2）过点B作，垂足为E，先根据正比例函数的图象求出点C的坐标 ，再根据点C和点A的横坐标相等和点A在反比例函数的图象上求出点A的坐标，即可求出和的长度，即可求出三角形的面积； （3）过点P作，垂足为F，根据三角形的面积求出的值，根据两种情况展开讨论，结合正比例函数的图象就可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为E， 设点，， ∵正比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，, ∴； 【小问3详解】 解；如下图所示，过点P作，垂足为F，设, ∵， ∴， ∴， 当P在C点上方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， 当P在C点下方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 27. （1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）矩形的周长存在最小值；最小值为16，此时 【解析】 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，二次根式的运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）分别计算出左右两边，即可比较大小； （2）利用完全平方公式可得，即可得出答案； （3）设，，根据矩形的性质表示出矩形的周长为，再利用（2）中的结论可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，，； （2）， ， 故答案为：； （3）矩形的周长存在最小值；理由如下： 设，， 轴，轴， ，， 四边形的周长为， ， ， 当时，即时， 矩形的周长最小值为16，此时． 拓展部分：满分50分（第28题20分，第29题30分） 28. 如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． （1）求正比例函数的解析式； （2）已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正比例函数的解析式为 （2）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论． （1）先利用三角形面积公式得到点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：点的横坐标为4，，轴 ∴， ∴， ∴， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 正比例函数的图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在直线上（除点外）存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 当，点在点的上方时，如图， 则； 点在点的下方时，； 当时， ， 点与点重合， 此时点不符合题意； 当时， ，， ， ， ， ， ， 则； 综上分析可知，的长为或或． 29. 已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点．   （1）请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． （2）在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． （3）在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】（1）点，点，点 （2）三角形的面积不变， （3）存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【小问1详解】 解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； 【小问2详解】 解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； 【小问3详解】 解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示：    此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示：    此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中质量调研卷八年级数学学科 （时间：100分钟 分值：基础100分+附加50分） 一、填空题（每题2分，共28分） 1. 函数的定义域是_____________． 2. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 3. 方程的根是________． 4. 如果，那么________． 5. 解不等式：的解集是____________． 6. 点、在反比例函数的图象上，若，则k的取值范围是______． 7. 等式成立的条件是________． 8. 是方程的一个根，那么______. 9. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______． 10. 在实数范围内因式分解：______． 11. 如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，取最大整数是________. 13. 等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是________． 14. 点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ___________________． 二、选择题（每题3分，共12分） 15. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么它和函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是 （　　） A. B. C. D. 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（ ） A. 方程是半根方程 B. 方程是半根方程 C. 若，则方程是半根方程 D. 若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 三、简答题（每题6分，共30分） 19. 计算：． 20. 计算：； 21. 解方程： 22. 用配方法解方程：． 23. 已知，求的值． 四、解答题（第24，25，26题每题7分，第28题9分，共30分） 24. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 25. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 26. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点， （1）求a、k的值 （2）连接，求的面积 （3）P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 27. （1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 拓展部分：满分50分（第28题20分，第29题30分） 28. 如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． （1）求正比例函数的解析式； （2）已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 29. 已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点．   （1）请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． （2）在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． （3）在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $