第五章 一元一次方程 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

第五章 一元一次方程 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，①中不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合要求； ②中是一元一次方程，故符合要求； ③中是一元一次方程，故符合要求； ④中最高次数为2，故不是一元一次方程，故不符合要求； ⑤中含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求； 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原选项变形错误，不符合题意； B、若，则，原选项变形错误，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，符合题意； D、若，且时，则，，选项变形错误，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级上·云南红河·期中）我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据女生人数+男生人数=总人数，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 4．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知式子是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的值，多项式及一元一次方程的定义．由题意可得：，把代入方程，求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵式子是关于的一次多项式， ∴， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设设共有位客人住店，根据客房数相等列方程即可． 【详解】解：设共有位客人住店， 根据题意，得， 解得， 所以这批住店的客人共63人． 故选：B． 6．（2024七年级上·河南·专题练习）一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去分母，再整理得出关于a的方程，然后求出解即可． 【详解】去分母，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得． 故选：A． 7．（2024七年级上·吉林·专题练习）下列方程变形中，变形正确的同学是（   ） A．小明 B．小红 C．小英 D．小聪 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 分别根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1分别解答即可． 【详解】因为方程，移项，得，所以A不符合题意； 因为方程，去分母，得，所以B不符合题意； 因为方程，系数华为1，得，所以C符合题意； 因为方程，去括号，得，所以D不符合题意． 故选：C． 8．（2024七年级上·吉林·专题练习）若方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．先求出的解，再将解的相反数代入求m即可． 【详解】解： 解得：， 同理解方程 解得：． 因为两个方程的解互为相反数， 所以， 解得． 故选：C． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第9个方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察一系列方程找到规律，第个方程为，解为，代入即可求解， 本题考查了规律型题目，解题的关键是：总用含的式子表示出来． 【详解】解：第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； … 依此类推，第个方程为，解为， 所以第9个方程是，解为， 故选：D． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别求得三次购物的优惠金额，进而得出第三次购物应付款超过200元，设为元，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：第一次购物付款153元，则优惠了（元）； 第二次购物付款220元，则优惠了（元）； 第三次购物优惠了（元）， 所以第三次购物应付款超过200元， 设为元，则， 解得， 则第三次购物实际付款（元）， 所以三次购物实际付款共（元）． 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了解一元一次方程．利用等式的性质1“等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），所得结果仍然是等式”；等式的性质2：“等式两边同时乘或除以同一个不是零的数（或代数式），所得结果仍然是等式”判断即可． 【详解】解：①等式两边同时乘以10去分母，利用了“等式的性质2”； ②在方程的两侧同时加上，利用了“等式的性质1”； ④在方程的两边同时除以3，利用了“等式的性质2”； ③合并同类项，不是利用等式的性质； 故答案为：③． 12．（24-25七年级上·云南红河·期中）若是关于x的方程的解，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 根据方程的解的定义可得，解方程即可求出m的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在一块长为16米，宽为米的长方形草地上，要修建两条宽为2米的长方形小路，若修建后的草地面积（图中阴影部分）为修建前草地面积的，则修建后的草地面积为 平方米． 【答案】168 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意直接建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：利用平移的性质得，修建后的草地长为米，宽米的长方形， 根据题意，得， 解得， 所以修建后草地面积为（平方米）． 故答案为：168． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则关于x的方程的解为；⑤若，则关于x的方程的解为．其中错误的是 ．（请填写序号） 【答案】③/3 【分析】本题考查了等式性质和一元一次方程的解法，根据等式性质判定①②③；由解一元一次方程判断． 【详解】解：①若，等式两边同时乘以得：；故①正确； ②若，，等式两边同时除以得：；故②正确； ③若，则，当，有；故③错误， ④因为是关于x的方程，故；若，即， ∴原方程可化为，即，解得故④正确， ⑤是关于x的方程，故；解得：，又∵，即，故；故⑤正确． 综上所述：③错误． 故答案为：③． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25七年级上·北京·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 18．（2024七年级上·吉林·专题练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小凡同学的解题过程： 解方程：． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)请你仔细阅读，你认为小凡同学哪些步骤运算错误？并说明理由； (2)请把正确的解题过程写在横线上，并在括号内填上对应步骤的理论依据． 正确解法： 去分母：________（________）； 去括号：________； 移项：________（________）； 合并同类项：________； 系数化为1：________． 【答案】(1)第②步方程右边去括号时变号错误，第③步移项时未完全变号 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解方程的依据是等式的基本性质，注意移项时要改变符号． （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1）解：小凡同学的解题错误在： 第②步方程右边去括号时变号错误， 第③步移项时未完全变号； （2）解：正确过程如下： 去分母：（等式的性质2或等式两边乘同一个数，结果仍相等）； 去括号：； 移项：（等式的性质1或等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等）； 合并同类项：； 系数化为1：． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和解一元一次方程的步骤是解题关键．先求出的解，再代入中，求出m的值即可． 【详解】解： 所以． ∵关于的方程与的解相同， 所以， 所以． 20．（2024七年级上·吉林·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． 解方程：． 解：（1）若，则原方程可化为一元一次方程，解得； （2）若，则原方程可化为一元一次方程，解得． 所以原方程的解为或． 仿照上面的解题方法，解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去绝对值，再根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得答案． 【详解】解：移项，得． ①若，则原方程可化为一元一次方程，解得； ②若，则原方程可化为一元一次方程，解得， 所以原方程的解为或． 21．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设还需要x天才能完成，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据总费用=每天的施工费×施工天数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要x天完成，依题意，得：， 解得：，所以还需要9天才能完成． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 23．（24-25七年级上·广西贺州·期中）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时·辆） 8元/（小时·辆） （参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费） 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次沙糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【答案】(1)A型车从某县到甲地的时间为10小时； (2)这批砂糖橘共有 32吨 (3)单独安排A 型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设 A 型车从某县到甲地的时间为 x 小时，则 B 型车从某县到甲地的时间为小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有 y 吨，根据单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【详解】（1）解：设 A 型车从某县到甲地的时间为 x 小时，则 B 型车从某县到甲地的时间为小时，依题意，得 ， 解得：． 答：A型车从某县到甲地的时间为10 小时 （2）解：设这批砂糖橘共有 y 吨，依题意，得 ， 解得： ． 答：这批砂糖橘共有 32 吨； （3）解：A 型车为（辆）； B 型车为（辆）…4 （吨），即： （辆）； 运输 32 吨砂糖橘，A 型车需要 4 辆，B 型车需要 5 辆， 某县到甲地的距离为：（千米）． 安排 A 型车的总费用∶（元） 安排 B 型车的总费用：（元） 因为，所以单独安排A 型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000 元． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是________；（请填写序号） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)② (2) (3)， 【分析】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键； （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【详解】（1）因为方程①的解是，而，故①不是“友好方程”； 因为方程②的解是，而，故②是“友好方程”； 因为方程③的解是，而，故③不是“友好方程”； 故答案为：②． （2）因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 又方程的解是， 所以，即， 解得； （3）因为的解为， 所以，即， 因为， 所以； 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 综上所述，，． 25．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为______时，的中点所对应的数为5． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）2（2）6（3）①②存在，，7 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，然后根据的中点所对应的数为5，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， 点N是的中点， 的中点N所对应的数为：， 故答案为：； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为． ， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为5； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； ②存在； 由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为 ∴，， ∴， ∴表示数到数11和4之间的距离之和， ∴当时，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·云南红河·期中）我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知式子是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024七年级上·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 6．（2024七年级上·河南·专题练习）一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 7．（2024七年级上·吉林·专题练习）下列方程变形中，变形正确的同学是（   ） A．小明 B．小红 C．小英 D．小聪 8．（2024七年级上·吉林·专题练习）若方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第9个方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 12．（24-25七年级上·云南红河·期中）若是关于x的方程的解，则m的值为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在一块长为16米，宽为米的长方形草地上，要修建两条宽为2米的长方形小路，若修建后的草地面积（图中阴影部分）为修建前草地面积的，则修建后的草地面积为 平方米． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则关于x的方程的解为；⑤若，则关于x的方程的解为．其中错误的是 ．（请填写序号） 16．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25七年级上·北京·期中）解下列方程： (1) (2) 18．（2024七年级上·吉林·专题练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小凡同学的解题过程： 解方程：． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)请你仔细阅读，你认为小凡同学哪些步骤运算错误？并说明理由； (2)请把正确的解题过程写在横线上，并在括号内填上对应步骤的理论依据． 正确解法： 去分母：________（________）； 去括号：________； 移项：________（________）； 合并同类项：________； 系数化为1：________． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的方程与的解相同，求的值． 20．（2024七年级上·吉林·专题练习）阅读下列解题过程，并解答问题． 解方程：． 解：（1）若，则原方程可化为一元一次方程，解得； （2）若，则原方程可化为一元一次方程，解得． 所以原方程的解为或． 仿照上面的解题方法，解方程：． 21．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 23．（24-25七年级上·广西贺州·期中）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时·辆） 8元/（小时·辆） （参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费） 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次沙糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 24．（2024七年级上·全国·专题练习）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是________；（请填写序号） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 25．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为______时，的中点所对应的数为5． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$