专题01 认识方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题01 认识方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 1．下列式子中，方程的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在①；②；③；④；⑤（a，b为常数）中，是方程的为 ．（填序号） 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 【经典例题二 列方程】 【例2】如图，等量关系不成立的是（     ） A． B． C． D． 1．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 3．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】在方程，，，中，一元一次方程的个数为 (    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 3．已知是关于的一元一次方程． 求的值． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．3 1．已知一元二次方程的一个根m，则的值是（   ） A．2020 B． C．2023 D．2025 2．已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 3．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】若是方程的解，则的值是（ ） A．1 B． C．2 D．1或2 1．已知是关于x的一元一次方程的解， 则A的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 3．已知方程的解是，求代数式的值． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 3．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 1．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．利用等式的性质解方程： (1) (2)． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 4．小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是，则这个被涂黑的常数是（    ） A． B．12 C．3 D． 5．下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 7．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 8．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 9．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 10．一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 11．利用等式的性质解方程：． 12．若是关于的一元一次方程的解，求，的值． 13．已知是关于的一元一次方程，求、的值． 14．利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 15．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 认识方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫方程”逐个判断即可得到答案，熟记方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①不是等式，不是方程，不符合题意； ②是方程，符合题意； ③是方程，符合题意； ④不含未知数，不是方程，不符合题意； ⑤是方程，符合题意； 综上所述，②③⑤是方程， 故选：A． 1．下列式子中，方程的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 【详解】解：方程为：②③④，有个， 故选B． 2．在①；②；③；④；⑤（a，b为常数）中，是方程的为 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，据此逐项分析，找出满足条件的一项即可选择． 【详解】①，含未知数但不是等式，所以不是方程； ②，是等式但不含未知数，所以不是方程； ③是含有未知数的等式，所以是方程； ④是含有未知数的等式，所以是方程； ⑤（a，b为常数），不含有未知数，不是方程． 综上，是方程的为③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查方程的定义．注意：方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数的不是方程，含未知数但不是等式的也不是方程． 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 【答案】①、④、⑤、⑦、⑧． 【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断即可． 【详解】②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【点睛】此题考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【经典例题二 列方程】 【例2】如图，等量关系不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是看清题意，根据图形列出等式，逐项进行判断即可． 【详解】解：由图列出方程等量关系式，，故B不符合题意； ，把左边的x移到右边，就变为，故A不符合题意； ，把左边的移到右边，右边x移到左边，就变为，故C不符合题意； ，把左边的x移到右边，就变为，等量关系不成立，故D符合题意． 故选：D． 1．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关键语句：“实践组的人数是宣传组的两倍”列出方程即可． 【详解】解：设从宣传组调x人到实践组， 由题意得： 故选：D 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程；关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数． 2．临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 3．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】在方程，，，中，一元一次方程的个数为 (    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，熟知“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解： ，是一元一次方程； ，移项可得：，  因为方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以它是一元一次方程． ，含有两个未知数，不是一元一次方程； 综上所述：一元一次方程只有3个， 故选：B． 1．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：是一元一次方程，故①符合题意； 含有两个未知数，不是一元一次方程，故②不符合题意； 是一元一次方程，故③符合题意； 未知数的最高次数为，不是一元一次方程，故④不符合题意； 是一元一次方程，故⑤符合题意； 等号左边是分式，不是一元一次方程，故⑥不符合题意； 故选：A 2．已知方程是一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：由方程是一元一次方程，可知：， 解得：； 故答案为5． 3．已知是关于的一元一次方程． 求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值，根据一元一次方程的定义求出的值，得到原方程，再解方程求出，然后代入所求式子进行计算即可，熟练掌握一元一次方程的概念求得的值是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ∴， 又∵， ∵， ∴，代入得： 解得:． 原式， ， ． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．直接利用方程的解的定义代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 1．已知一元二次方程的一个根m，则的值是（   ） A．2020 B． C．2023 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，求代数式的值，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．根据题意得出，将其代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根m， ∴，则， ∴， 故选：B． 2．已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】2018 【分析】先根据方程解的定义得到关于的等式，再整体代入求值．本题考查了一元一次方程，掌握方程解的意义及整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】解：把代入关于的一元一次方程，得， 整理，得． ． ． 故答案为：2018． 3．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解,是方程的解； (2)是方程的解；不是方程的解． 【分析】（1）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； （2）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； 【详解】（1）把代入原方程； 左边， 右边． ∵， ∴不是该方程的解． 把代入方程，得 左边， 右边． ∵， ∴是该方程的解； （2）把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴是原方程的解； 把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴不是原方程的解． 【点睛】本题考查方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】若是方程的解，则的值是（ ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键，因为是方程的解，所以把代入方程左右两边相等，即可得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解∶将代入方程， 可得 解得∶， 故选∶． 1．已知是关于x的一元一次方程的解， 则A的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程的解，使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，将方程的解代入方程解方程即可． 【详解】将代入方程，得， 解得， 故选：D． 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 先根据一元一次方程的解求出与的关系，再代入求解即可； 【详解】解： 是关于的方程的解， 即， ， ， 故答案为： 3．已知方程的解是，求代数式的值． 【答案】462 【分析】将代入一元一次方程，求得，再代入代数式计算，即可得到答案． 【详解】解：方程的解是， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了方程的解，代数式求值，解题关键是理解方程的解的定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； B、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； C、若，则，原式变形一定正确，符合题意； D、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； 故选：C． 1．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考出来等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．根据等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，两边都乘以2，得，故本选项错误，不符合题意. B、，当时，，故本选项错误，不符合题意； C、，等号两边都减y加3，得，故本选项正确，符合题意； D、，当时，，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 【答案】 等式的性质1 等式的性质2 等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．分析题意，回忆等式的性质；根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，对（1）进行分析；根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等，对（2）（3）进行分析． 【详解】解：（1）由，得，依据是等式的性质1； （2）由，得，依据是等式的性质2； （3）由，得，依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质1；等式的性质2；等式的性质2． 3．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案； （2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案； （3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得； （3）解：， ，， ， 解得． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 1．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论； （2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论； （3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论； （4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论． 【详解】（1）解：两边同时加5，得． （2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得． （3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得． （4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得． 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 2．利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （2）根据等式性质2求解，再检验即可； （3）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （4）根据等式性质1、2求解，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边加上6得：，即， 方程两边除以4得：， 则是方程的解； （2）解：方程两边除以得：， 则是方程的解； （3）解：方程两边减去得：，即， 两边除以5得：， 则是方程的解； （4）解：方程两边减去得：，即， 则是方程的解． 【点睛】本题考查运用等式性质解方程，熟练掌握等式性质是解题的关键． 3．利用等式的性质解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时加上，然后再除以5即可． 【详解】（1）解：， 等式两边同减去5得：， 即； （2）解：， 等式两边同加上得：， 等式两边同除以5得：． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可； 【详解】解：A.当x=-2时，，故不符合题意； B. 当x=-2时，，故不符合题意； C. 当x=-2时， ，故不符合题意； D. 当x=-2时，，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析. 【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为： ∵x=2是方程ax﹣4=0的解， ∴把x=2代入得：2a﹣4=0， 解得：a=2， 将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 【答案】x=110 【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案． 【详解】解：第1个方程是x+=3，解为x=2×1=2； 第2个方程是=5，解为x=2×3=6； 第3个方程是=7，解为x=3×4=12； … 可以发现,第n个方程为=2n+1， 解为n(n+1) ． ∴第10个方程=21的解为：x=10×11=110． 故答案为x=110． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 【答案】见解析 【详解】试题分析： 我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“，其中为正整数”，而其解为：. 试题解析： （1）猜想得：的解为，验证如下： 当时，原方程左边==方程是右边，∴是原方程的解； 当时，原方程左边==方程右边， ∴是原方程的解；即猜想是正确的； （2）一般情形：方程的解为. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫一元一次方程，据此即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中含有个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．如果，那么下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，故正确，不合题意； 、∵， ∴，故正确，不合题意； 、∵， ∴，故正确，不合题意； 、∵， ∴，故错误，符合题意； 故选：． 3．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：， 解得：， 由表可知：当时，， 故选：C． 4．小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是，则这个被涂黑的常数是（    ） A． B．12 C．3 D． 【答案】B 【分析】设被污染的常数是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数是a， 把代入得：， 整理得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立， ∴若，则； ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴若，则，故②正确； ∴若，则，故③正确； ∴若，当时，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 6．若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根一元一次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为的整式方程为一元一次方程． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 7．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查方程的解和代数式求值，把代入，整理得，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入，得， 整理，得， 所以， 故答案为：2026． 8．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 9．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了此题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根据解为整数，为整数，求出值，进行计算即可，正确的求出方程的解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 10．一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 【答案】 【分析】根据一列方程的形式可知：方程的解是等式左边两个式子分母的商，所以方程第一个分数的分母为解的2倍且分子就是x，第二个分数的分母就是2，而分子是x减去解的数值与1的差，根据此规律可知，当解是x=n时，方程应该是，据此就可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：当解是x=n时，方程应该是， 当n=2022时，方程为，化简整理得. 故答案是：． 【点睛】本题考查的是探究规律、分析总结规律的能力，能够根据题意找出式子的规律是解答本题的关键． 11．利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质直接解答即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时减得，， 即， 等式两边同时乘以得，， 即． 12．若是关于的一元一次方程的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解．只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整理式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义得到：，由此可以求得的值．再根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，求解即可得n值． 【详解】解：因为方程是关于的一元一次方程， 所以，所以． 将代入原方程中，得， 解得． 13．已知是关于的一元一次方程，求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一般地，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一—次方程， ∴， ∴． 14．利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （2）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （3）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得a的值即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时加2，得：，即：， 方程两边同时加，得：，即：， 方程两边同时除以12，得：，即：； （2）解：， 方程两边同时减1，得：，即：， 方程两边同时减x，得：，即：， 方程两边同时除以2，得：，即：； （3）解：， 方程两边同时加3，得：，即：， 方程两边同时乘2，得：，即：． 【点睛】本题考查由等式的性质解方程．掌握等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键． 15．已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$