精品解析：重庆市礼嘉中学校2024-2025学年度上学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年度礼嘉中学初2023级上期中期考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题．本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，每题只有一项符合题目要求．请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； B. 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线； C. 若，则； D. 有一个角等于的三角形是等边三角形； 6. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. C. D. 7. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5或1 8. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（ ） A. 7 B. 21 C. 23 D. 35 9. 如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（ ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式式有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个等腰三角形顶角的度数为_____． 13. 已知，则的值_______． 14. 式子，，的最简公分母是__________． 15. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 16. 如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为___________． 17. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 18. 对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为的倍数，十位数字和个位数字之和为的倍数，我们称这样的四位数为“成倍数”．例如：四位数，因为，，所以是“成倍数”；四位数，因为，，不是的倍数，所以不是“成倍数”．若是“成倍数”，其中，，，，且都是整数，记，；最小的“成倍数”为______；若是的倍数，则满足条件的的最小值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 按题目要求计算或因式分解： （1）计算： ①； ②； （2）因式分解：； （3）约分： 20. 先化简，専求值： ，其中、满足． 21. 在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； （2）证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 22. 小礼同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小礼同学共调查了多少名居民的年龄，扇形统计图中a，b各等于多少？ （2）补全条形统计图； （3）若该辖区年龄在岁的居民约有1400人，请估计年龄在60岁以上的居民的人数． 23. 如图，在中，是边上一点，交于点E，F为延长线上一点，连接交于点G．已知，． （1）求证；； （2）若，，求的度数． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标：___________； （2）将向下平移三个单位长度得到，若点是原的边上一点，经过两次图形变换后，点在边上的对应点为，则的坐标为___________． （3）在轴上找一点，使值最大，并求出的面积．（在图形中标出点M，保留作图痕迹） 25. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个A模型和4个B模型． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 26. （1）如图1，在中，，，，的角平分线交于点E，交于点F．若，求的长． （2）如图2，和都是等边三角形．点在内，为的中点，连、、，若，且．求证：； （3）如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度礼嘉中学初2023级上期中期考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题．本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，每题只有一项符合题目要求．请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算和同底数幂的乘法运算等知识点，直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别判断，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据所添加的条件进行逐一判断即可求解； 【详解】解：， ， ， 又， 添加，则无定理，无法证明， 故选项A符合题意； 添加， 则， ， 故选项B不符合题意； 添加， 则， ， ，故选项C不符合题意； 添加， 则， ， 故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，直接利用关于y轴对称点的性质得出的值，进而得出答案，熟练掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解决此题的关键． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； B. 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线； C. 若，则； D. 有一个角等于的三角形是等边三角形； 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，不等式的性质，等边三角形的判定等知识点，利用线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、不等式的性质、等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握相关判定与性质是解决此题的关键． 【详解】A、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，符合题意； B、等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，故原命题错误，不符合题意； C、若 ，当时， 不成立，故原命题错误，不符合题意； D、有两个角都等于的三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意； 故选：A． 6. 若，，则的值为（ ） A. 21 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算等知识点，应用同底数幂的除法法则和幂的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ∵，， ∴原式， 故选：C． 7. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5或1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴， 解得或， 故选：D． 8. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（ ） A. 7 B. 21 C. 23 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 9. 如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等边三角形判定与性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题关键．先证，证出，再证是等边三角形，从而证明即可求出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，O是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选∶C． 10. 已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（ ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴ ∵， ∵当时，， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ， 设， ∴， ∵ ， ∴， ∴要使， ∴， ∵是整数，，而不是整数， ∴不存在整数使得，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案，正确把握分式的定义是解题关键． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个等腰三角形顶角的度数为_____． 【答案】36°或90° 【解析】 【分析】分顶角的度数是底角的两倍和底角的度数是顶角的两倍，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形的顶角度数为x， 当等腰三角形顶角的度数是底角的两倍时，则， 解得； 当等腰三角形底角的度数是顶角的两倍时，则， 解得， 故答案为：36°或90°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 13. 已知，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 14. 式子，，的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．先确定2、3、6的最小公倍数，再取、的最高次幂，然后把它们的积作为最简公分母． 【详解】解：式子的最简公分母是． 故答案为：． 15. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接，由题意知，，，，由，可求，周长为，当三点共线时，的值最小，然后求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，为的中点，为的垂直平分线上一点， ∴，， ∵是的中线，，为的中点， ∴， ∵， ∴， 周长为， 当三点共线时，的值最小，为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 17. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据不等式组有且只有3个整数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据的解是正整数，确定a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵该不等式组有且只有3个整数解， ∴该不等式组的三个整数解为3，2，1， ∴， 解得， 由可得， ∵关于y的一元一次方程的解是正整数， ∴或10， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：18． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 18. 对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为的倍数，十位数字和个位数字之和为的倍数，我们称这样的四位数为“成倍数”．例如：四位数，因为，，所以是“成倍数”；四位数，因为，，不是的倍数，所以不是“成倍数”．若是“成倍数”，其中，，，，且都是整数，记，；最小的“成倍数”为______；若是的倍数，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了对新定义“成倍数”的理解与运用，以及根据给定条件求满足要求的数，整式的运算，二元一次方程的整数解等知识点，根据的取值范围，和新定义讨论即可找出最小的“成倍数”，先根据“成倍数”的定义求出与，再根据是的倍数这一条件求出满足条件的的最小值即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．对新定义“成倍数”的理解与运用是解题的关键． 【详解】解：∵，要使最小，应取最小的值， ∴当时，， ∵的取值范围是，要使最小，， ∴， ∵，，要使最小，，， ∴，千位数字和百位数字之和为，是的倍数，十位数字和个位数字之和为，不是的倍数，所以不是“成倍数”， 当，时，，千位数字和百位数字之和为，是的倍数，十位数字和个位数字之和为，不是的倍数，所以不是“成倍数”， 当，时，，千位数字和百位数字之和为，是的倍数，十位数字和个位数字之和为，不是的倍数，所以不是“成倍数”， 当，时，，千位数字和百位数字之和为，是的倍数，十位数字和个位数字之和为，不是的倍数，所以不是“成倍数”， 当，时，，千位数字和百位数字之和为，是的倍数，十位数字和个位数字之和为，是的倍数，所以最小的“成倍数”为； ∵，，，， ∴当时， ， ∵是“成倍数” ， ∴是的倍数，是的倍数， 当时， ∴或或，； 当时， ∴，； 当， ∴，； 当， ∴，； ，； ，； 当， ∴，； ∵是的倍数， ∴此时，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 按题目要求计算或因式分解： （1）计算： ①； ②； （2）因式分解：； （3）约分： 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，整式的运算，因式分解和分式的化简： （1）①先进行开方，乘方，去绝对值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可； ②先进行乘法运算，再合并同类项即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）将分子，分母进行因式分解后，约去公因式即可． 【小问1详解】 解：①原式； ②原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式． 20. 先化简，専求值： ，其中、满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，非负数等知识点，先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，再代入化简后的式子进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴原式． 21. 在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； （2）证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质， （1）利用基本作图．过C点作的垂线即可； （2）先根据角平分线的性质得到．再证明得到，然后利用得到； 熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 小礼同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小礼同学共调查了多少名居民的年龄，扇形统计图中a，b各等于多少？ （2）补全条形统计图； （3）若该辖区年龄在岁的居民约有1400人，请估计年龄在60岁以上的居民的人数． 【答案】（1）， （2） 补图如下： （3）840人 【解析】 【分析】本题考查了统计图的实际应用，用样本估计总体，中等难度，从统计图中得到有用信息是解题关键． （1）根据岁的居民所占百分比求出总人数，再得各段的百分比，从而求出a，b的值； （2）求出岁的人数，然后补全统计图即可； （3）根据年龄在岁的居民所占比重求出总人数，乘以年龄在60岁以上的居民的占比即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （名）， ， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：岁的居民有（人）， 【小问3详解】 解：根据题意得： 总人数为：（人）， （人）． 答：估计年龄在60岁以上的居民人数为840人． 23. 如图，在中，是边上一点，交于点E，F为延长线上一点，连接交于点G．已知，． （1）求证；； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，再利用三角形的外角，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标：___________； （2）将向下平移三个单位长度得到，若点是原的边上一点，经过两次图形变换后，点在边上的对应点为，则的坐标为___________． （3）在轴上找一点，使值最大，并求出的面积．（在图形中标出点M，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 如图，延长交y轴于点，连接， 【解析】 【分析】本题主要作图−轴对称变换、平移变换、最短路线问题，三角形三边关系等知识点 （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）由轴对称的性质和平移的性质可得答案； （3）如图，延长交y轴于点，则点M为所求，进而利用网格可求得的面积； 熟练掌握轴对称、平移的性质的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得，点经过一次变换后对应点的坐标为， ∴经过两次变换后，点Q的对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∴当M，A，B时，，此时有最大值， ∴点M即为所求， 由图知，． 25. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个A模型和4个B模型． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元； （2）购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元； 【小问2详解】 设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数，∴m可以为，，，∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1：购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元． 26. （1）如图1，在中，，，，的角平分线交于点E，交于点F．若，求的长． （2）如图2，和都是等边三角形．点在内，为的中点，连、、，若，且．求证：； （3）如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【答案】（1）28 （2）如图，延长到K，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和与角平分线的性质求得，利用角所对直角边是斜边的一半得出，利用等边三角形的性质得出，进而即可得解； （2）如图中，延长到K，使得，连接，证明，推出，，，再证明，进而即可得出结论； （3）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点H在线段上时，的值最小，再由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵， 的角平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）作，使，连接，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点H在线段上时，的值最小， ∵等边边长的最小， ∴，的值最小， 如图所示， ∴， ∴， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为 ． 【点晴】本题主要考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $