专题04 动点与角度计算60道经典题型专项训练（9大题型+24道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题04 动点与角度计算60道经典题型专项训练（9大题型+24道拓展培优） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 几何图形中运动的问题 题型四 动角有关计算问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角n等分线的有关计算 【经典例题一 与线段动点有关问题】 【例1】如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 1．如图，点、、和线段都在数轴上，点、、、、起始位置所表示的数分别为、0、3、12、18；线段沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度移动，当点与点重合时停止运动，移动时间为秒． (1)当时，的长为______，当时，的长为______． (2)线段在运动过程中，用含有的代数式表示的长为______． (3)当时，的长为______，当时，的长为______． (4)线段在运动过程中，求的长（用含有的代数式表示） 【答案】(1)2，8 (2) (3)5，1 (4) 【分析】（1）根据路程=时间×速度，算出点C的位置，即可得AC的长； （2）先算出移动t秒后点C的位置，由题可知，当D与E重合， CD运动停止，即，解得，即可得； （3）算出时，点D的位置，即可得，算出时，点D位置，即可得； （4）先算出移动t秒后，点D的位置，由（2）得， CD运动停止，即可得． 【详解】（1）解：当时，CD未移动，则， 当时，此时C位置的数为：， 则． （2）解：移动t秒后点C位置的数为：， 由题可知，当D与E重合， CD运动停止， 即 解得， 则AC的长度为：（）． （3）解：当时，D的位置的数为：， 则； 当时，D位置的数为：， 则． （4）解：移动t秒后，D位置的数为：， 由（2）得， CD运动停止， ∴（）． 【点睛】本题考查了数轴上的动点，解题的关键是掌握绝对值和列代数式． 2．如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 【答案】（1）2 cm；（2）2.5cm． 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案； （2）根据题意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的长． 【详解】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm， ∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm， ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm； （2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s， ∴BD＝3CM． 又∵MD＝3AC， ∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM， ∴AMAB＝2.5cm． 【点睛】本题考查关于线段的计算等知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 3．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．    （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是　 　； （2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数　 　表示的点重合； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 【答案】（1）1；（2）﹣4或6；（3）5；（4）﹣1009.5，1011.5 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）对点P的位置分情况讨论如下：①点P在点A左边，则有点P到点A的距离为3，进而求解即可；②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；③点P在点B右边，则有点P到点B的距离为3，进而求解即可； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可． 【详解】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P为线段AB的中点， ∴点P对应的数为1； 故答案为：1； （2）∵点P到点A、点B的距离之和为10， 对点P的位置分情况讨论如下： ①点P在点A左边， ∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4， ∴点P到点A的距离为3， ∴x＝﹣4； ②点P在线段AB上，不符合题意，舍去； ③点P在点B右边， ∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4， ∴点P到点B的距离为3， ∴x＝6； ∴综上所述：x＝﹣4或6； 故答案为：﹣4或6； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1， ∵﹣3到1的距离为4， ∴5到1的距离也为4， ∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1， ∴点M到1的距离为1010.5， ∴M对应的数为﹣1009.5， ∵点N到1的距离为1010.5， ∴N点对应的数为1011.5． 故答案为：﹣1009.5，1011.5． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段中点，熟练掌握数轴上的动点问题及线段中点是解题的关键． 【经典例题二 线段动点中求定值问题】 【例2】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 1．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4； (2)当经过秒或后A，B相距2个单位长度； (3)当时，为定值，定值为44． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）求出，的值可得结论． （2）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （3）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． （2）设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度． （3）∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 2．如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 【答案】(1)4，8 (2)①或8；②定值为6，当时，为定值 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）①若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； ②根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为4，8； （2）解：由（1）可知：，， ∵M，N分别为线段的中点， ∴， ∴若6秒后，在点左边时， 由， 即， 解得：， 若6秒后，在点右边时， 则， 即， 解得：， ②运动秒后，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，为定值． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 3．如图，数轴的原点为O，点A、点B表示的有理数分别为a，b，，且，请根据题意回答下列问题： (1)______，______． (2)若点A以每秒1个单位长度的速度往左运动，同时，点O和点B分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t， ①用含t的式子表示t秒后线段，的长度（点O不再是原点）； ②在运动过程中，的值是否变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出这个定值． 【答案】(1)；5 (2)①，；②的值不发生变化，为定值5，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，数轴上两点的距离计算，整式的加减计算： （1）求出即可得到答案； （2）①由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为，点O表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据（2）①所求求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：；5； （2）解：①由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为，点O表示的数为， ∴，； ②的值不发生变化，为定值5，理由如下： ， ∴的值不发生变化，为定值5． 【经典例题三 几何图形中运动的问题】 【例3】如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 1．知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 2．如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．    (1)当点P在上运动时，t为何值，能使？ (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由； (3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论； （3）根据题意可得：，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）运动时间是t（s）时，， 若，则， 解得：； （2）点Q停止运动时，用的时间为秒， 此时点P运动的路程为，， ∴点P不能追上点Q； （3）当P、Q均在射线上，它们相距1cm时， 根据题意得：， 即， 解得：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键． 3．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 【经典例题四 动角有关计算问题】 【例4】附加题：如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． (1)运动开始前，如图1，　　，　　； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51． (2) (3)当或33时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识和角的有关计算，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况讨论，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 射线，分别平分和， ，． 故答案为：39，51． （2）解：：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转， ， 射线平分， ， ， ， 解得：． 故当时，射线平分． （3）存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：（不合题意，舍去）； ③当停止运动，继续旋转时，总共旋转时，， ． 综上所述：当或33时，． 1．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角． (1)若，请直接写出的4倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的2倍角； (3)如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出即可； （3）设，则，得到；根据，求得，于是结论可得． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴图中的所有2倍角有：； （3）∵是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，把一个含角的三角板的直角顶点放置在直线上，过作直线，使，若，平分，将三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转得到三角形，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转得到直线，设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)当直线平分时，求旋转时间的值． 【答案】(1)60° (2)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解． （1）根据角平分线的定义求出，再根据平角的定义即可求解； （2）分边在直线上方时，边在直线下方，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ． 下面分两种情况说明． 如解图①，当边在直线上方时， 此时． ． ． ． ∵直线平分， ∴． 即． 解得． 如解图②，当边在直线下方时， 此时平分， ∴． ． ∵． ∴． 解得． ∵， ∴或． 3．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 【经典例题五 三角板中角度计算问题】 【例5】（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，的度数会发生改变，见解析 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）结合角平分线的定义以及，进行求解即可； （2）设，则，，同法（1）进行求解即可； （3）分，和，三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）设，则，， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ； （3）的度数会发生改变． 当时， 如图，设，则，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； 当时，如图， 设，则， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当时，如图2，， 综上所述，当时，的度数会发生改变． 1．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，边和边重合摆成图1的形状，则______度； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当是多少度时，？请说明理由；（） 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 【答案】 （1）105 （2）或 （3），，， 【分析】本题考查的是角的和差运算，熟练的画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由角的和差关系可得答案； （2）分两种情况画出图形，再利用角的和差运算可得答案； （3）分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图， ∵，，， ∴； （3）如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上：为或或或． 2．如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数；（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线有关的角的计算，平角．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． （1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求； （3）利用已知可求，然后利用（1）中的方法求得的度数． 【详解】（1）解： ，， ． 平分， ． ； （2）解：，， ． 平分， ． ． （3）解：由题意：． 平分， ． ． 3．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④，⑤中，小彬同学利用一副三角板能画出来的角是_________；（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小彬想起了图形的运动方式有多种．如图1，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线EF上，固定三角板不动，如图2，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③⑤（2）①②或 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，一元一次方程的应用，理清角度之间的关系，是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：①③⑤； （2）①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②当在的左侧时，如图 ①， 则，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时，如图②，则，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当或时，存在． 【经典例题六 几何图形中角度计算问题】 【例6】学习了数学实验手册七上钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动设转动的时间为秒，，请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分 【答案】(1)①36； (2)①在与第二次重合前，时，的值为或或； 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，相遇问题；根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）①根据路程速度时间，可分别算出和运动的角度再作差即可；根据题意画出图形找到等量关系，建立等式再求解即可； （2）①根据题意分析需要分类讨论，第一次相重合，第一次重合后且在的右侧，第二次相遇前且在的左侧，分别列式计算即可；先分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，再根据题意画出图形进行分析列等式，进行求解． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴，即：， 故答案为：． 如图，由题意可知，，， ， ， ∴，即，解得：， 故答案为：． （2）解：由题意可知，，， ①分情况讨论： （I）第一次重合前，如图，可得， 即，解得； （II）第一次重合后，且在的右侧时，如图，可得，， 即，解得； （III）第一次重合后，第二次重合前，且在的左侧时，如图，可得，， 即，解得； 综上，在与第二次重合前，时，的值为或或； 分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，如图所示， 第一次重合时，， 第二次重合时，， 第三次重合时，，，重合， 第四次重合时，． （I）第一次重合后，第二次重合前，如图所示， 此时，即，解得； （II）当第二次重合后，第三次重合前，从第二次重合后，记时间为，如图所示， 此时，即，解得， 则，此时和与重合，不符合题意，舍去； （III）第三次重合后，第四次重合前，记时间为，此时，，不存在使． 故答案为：． 1．如图，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关知识，解此题的关键是掌握角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义求出，再由角的和差关系可得结论； （2）同（1）的思路可得结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与α有关，与β无关，，理用见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）解：同理（1），， ，， ； （3）解：与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 3．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【经典例题七 实际问题中角度计算问题】 【例7】．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 【答案】(1)， (2)7点05 (3)在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． （1）按照题干步骤，3点整，时针与分针所成角度是；9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动，时针转动，列算式即可求解； （2）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间，再转化为美妙时刻即可求解； （3）设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，根据等量关系“分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值”分时针和分针垂直包含2种情况 和分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：3点整，时针与分针所成角度是； 9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动的角度，，时针转动的角度，，，所以9点30分时，时针与分针所成角度是． 故答案为：，； （2）解：六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转， 所以到达下一个美妙时刻需要时间分钟，所以下一个美妙时刻是7点05分． （3）解：设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，由题意得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或； ①当最终差值为时：， 解得：； ②当最终差值为时：， 解得：． 答：在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直． 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或． 【分析】（1）根据内半角的定义解答即可； （2）根据内半角的定义解答即可； （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵是的内半角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴旋转的角度为时，是的内半角． （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， ∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2， ∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， ∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4， ∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．已知：如图，在内部有（）． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，平分，平分，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值． 【答案】（1）170°；（2）65°；（3）19 【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可； （2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可； （3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC =∠AOD+∠COD+∠BOD   =∠AOB+∠COD =150°+20°=170° （2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC ∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85° ∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65° （3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) ° ∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) ° 又∵∠BOM=∠AON ∴70-t=（15+t） ∴t=19 【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． 3．材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） 【答案】知识应用：100°；拓广探索：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【分析】知识应用： 根据题干中的思路先求出时针转过的度数，然后再求出分针转过的度数，然后让大的度数减小的度数即可得出答案； 拓广探索： 根据材料可以确定张老师出门时时针转过的角度比分针转过的角度多，而张老师回家时分针转过的角度比时针转过的角度多，据此可列出两个方程，分别解方程即可． 【详解】知识应用： 解:7:20时针转过的度数为， 分针转过的度数记为， ∴7:20时针与分针的夹角为 拓广探索： 设张老师7点分出门，由题意列方程得 解得 设张老师7点分回家，由题意列方程得 解得 答：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【点睛】本题主要考查钟表中的角度问题，理解材料中给出的计算角度的方法并掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【经典例题八 角平分线的有关计算】 【例8】【初步学习】我们在学习角的时候往往借助于钟表来研究角的相关问题． （1）观察图1，我们可知当钟表3点时，此时时针和分针所成的角度是（　　） A．    B．    C．   D． （2）若下午上课开始时间为14时20分，则此时时针和分针的夹角是 ； 【深度探究】如图2所示是一块手表，我们可以理解成如图3的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，时间正好是，时针分针形成夹角恰好为． （3）若作射线，使，求的度数． （4）如图所示．自之后的一小时以内，经过多少分钟，射线、射线、射线中某一条射线是另两条射线组成的角（小于平角）的角平分线？ 【答案】（1）A；（2）50；（3）或；（4）分钟或分钟或分钟 【分析】本题考查了钟面角，角平分线的定义，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图1，直接得出答案即可； （2）当时间为14时20分时，从指针指向12点位置起，分针走过的角度为，时针走过的角度为，据此即可得到答案； （3）由题意可得，，，分两种情况讨论：在内部和在内部，分别求解即可； （4）设经过的时间为，分别求出射线与射线重合时、射线与射线重合时的时间，再分三种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：由图1可知，当钟表3点时，时针和分针所成的角度是， 故选：A； （2）解：当时间为14时20分时，从指针指向12点位置起，分针走过的角度为，时针走过的角度为， 即此时时针和分针的夹角是， 故答案为：50； （3）解：由题意可知，，， ， 如图①，当在内部时，此时； 如图②，当在 内部时，此时； 综上可知，的度数为或； （4）解：设经过的时间为， ， 当射线与射线重合时，， 当射线与射线重合时，， ①当时，此时射线在的内部，，， ， 此时射线平分，则， ， 解得：； ②当时，此时射线在的内部，，， 若射线平分，则， ， 解得：； ③当时，此时射线在的内部，，，， ， 若射线平分，则， ， 解得：； 综上可知，经过分钟或分钟或分钟时，射线、射线、射线中某一条射线是另两条射线组成的角（小于平角）的角平分线． 1．已知，    (1)如图1，平分，平分，若，则是 　 　； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． (3) 若分别平分和，，则的度数是 　 　（直接填空）． 【答案】(1)15 (2) (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角度之间的和差关系，进行分类讨论． （1）根据角平分线的性质求出，求出最后根据即可求解； （2）根据已知得所求，而，，最后根据，即可求解； （3）分析两种可能性，当或至少有一个在内部时，当和都在外部时． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵平分和， ∴，， ∴； （3）解：①当或至少有一个在内部时，如下图， 则 ； ②当和都在外部时，如下图， 则， 综上的度数为或． 故答案为：或． 2．已知、共顶点O，平分，平分． (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，解题的关键是∶ （1）利用角平分线定义求出，利用角的和差关系求出，然后再利用角平分线的定义求解即可； （2）设，利用角的和差关系求出，利用角平分线定义求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故的度数为； （2）解∶∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故的度数为． 3．如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键． （1）证明，求解，结合，可得，求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案； （3）如图，分两种情况讨论，当在内部时，当在外部时，由题意可得：，，再利用建立方程可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 平分， ， （2）解：平分， ， 平分， ， （3）解：如图，当在内部时， 由题意可得，，， ， ， ， 解得：； 当在外部时， ，， ， ， ， 解得：， 综上，当或时， 【经典例题九 角n等分线的有关计算】 【例9】综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 1．将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【答案】(1) (2)①；②8或17或26或29 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出旋转前，则当与重合时，旋转的角度为150度，即可得到； （2）①先求出，进而得到，则；②分当时， 当时， 当时，分别求出 ，进而求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转前， ∴当与重合时，旋转的角度为150度， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∴； ②当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或或， 故答案为：8或17或26或29． 2．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 【答案】(1)是 (2)，，， (3)或或 【分析】（1）若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】（1）解：若为的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”； 故答案为：是． （2）解：由题意得： ∵，射线为的“幸福线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； ④当时，则有：，； 综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，； （3）解：∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（舍去）， ②，即， ③，即； ④，即（舍去）； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴，， 是的“幸福线”，则有以下三类情况： ①，即（不符合题意，舍去）， ②，即（不符合题意，舍去）； ③，即； ④，即不存在； 综上可知，或或． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 3．如图，射线在的内部（的度数大于且小于），图中共有三个角：，，．若这三个角中有两个角的度数之比为，则称射线为的“虚学线”． (1)的角平分线 的“虚学线”，的一条三等分线 的“虚学线”；（填“是”或“不是”） (2)射线为的“虚学线”，若，求的度数； (3)已知，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与重合时，旋转停止．设旋转时间为（单位：秒），射线为的平分线，射线，，中，若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”，直接写出所有的值． 【答案】(1)不是；是 (2)，，或 (3)或或或 【分析】（1）根据角平分线、三等分线的定义，结合题意，即可求解； （2）根据定义，分；；三种情况讨论，结合图形即可求解； （3）分相遇前后两种情况，结合“虚学线”的定义，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：的角平分线不是的“虚学线”，的一条三等分线是的“虚学线”； 故答案为：不是；是； （2）解：∵射线为的“虚学线”， ， ①， ∴； ②, ③ ∴ ∴， ④ 则 综上所述，的度数为，,或； （3）解：∵，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转， ∴，， 当，即，解得：， 即，相遇， 当与重合时，， ∴当相遇前，即时， ∴，, ∴， 如图所示， ①当时， 解得：； ②当时， 解得：； ③当时， 解得：（舍去）； ④当时， 解得：； 当相遇后，即时，如图， ∴，, ∴， ①当时， 解得：； ②当时， 解得：； ③当时， 解得：（舍去）； ④当时，， 解得：（舍去）， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，理解题中新定义，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 1．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 【答案】(1)8 (2)当时，；当时，． (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题． （2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题． （3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6， 所以． （2）解：因为点是的中点， 所以， 则点表示的数是2． 当时， ． 当时， ． （3）解：设运动的时间为， 则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为， 所以点所表示的数为． 因为中点为， 所以点所表示的数为， 所以，，， 所以． 2．如图，已知数轴上有A，B，C三点，B，C两点在数轴上表示的数分别为4和6，点A在数轴上表示的数为a，且原点O为线段的中点． (1)求a的值． (2)若点P从原点O出发，匀速向左运动，若，求出此时点P在数轴上对应的数． (3)若动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动，设点M在数轴上表示的数为m，点N在数轴上表示的数为n，运动的时间为t秒，若，求t和m，n的值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，或，， 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段中点问题，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解题是关键． （1）由题意可知，即可求解； （2）设点表示的数为，得，，根据，得，求解即可得答案； （3）由题意可知，，点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数，得，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数为6， ∴， 又∵原点O为线段的中点， ∴， ∴点在数轴上表示的数为，即：； （2）∵点在数轴上表示的数为4， 设点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 即：或 解得：或， 即：此时点在数轴上对应的数为或； （3）由题意可知，， 点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数， ∴， ∵， ∴，即：或， 解得：或， 当时，，； 当时，，； 综上，，，或，，． 3．如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系式建立方程， （1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形求解即可； （3）用t表示、的长，代入化简即可解决问题； 【详解】（1），，， 设经过时两点相遇， 根据题意，得， 解得， 所以经过后两点相遇； （2），， ，， 点P，Q的运动时间为 ，， 或40 Q的运动速度为或 （3）设运动时间为ts， ，， ， ∵、分别是、的中点， ，； ． 4．如图，点为数轴原点，点A和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点A所表示的数大7． (1)当点A所表示的数是时，点所表示的数是________； (2)点是线段上一点（不与点A、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，求所有满足条件的点所表示的数． 【答案】(1)5 (2)①；②或 【分析】本题主要考查数轴及线段的和差关系，熟练掌握数轴及线段的和差关系是解题的关键； （1）由点B表示的数比点A所表示的数大7可列式进行求解； （2）①设，则有，则有，然后问题可求解；②由题意可分当点A、B分别在点O的右侧时，当点A、B分别在点O的左侧时，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点B表示的数为5； 故答案为5； （2）解：①如图，设，则有， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 所以点P所表示的数是3； ②由题意可分：当点A、B分别在点O的右侧时，如图所示， ∵，且， ∴， ∴， 所以点P所表示的数是18； 当点A、B分别在点O的左侧时，如图所示， 同理可得； 所以点P所表示的数是； 当点A、B分别在点O的两侧时，当时，就不满足；故不符合题意； 综上所述：点P表示的数为18或． 5．如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)27 (2) (3)或 (4)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，即可得到答案； （3）根据、两点之间的距离为3时，列方程或，求解即可； （4）由题意可知其中一个点是另外两个点的中点，分三种情况：①是的中点时；②是的中点；③是的中点；分别求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：27． （2）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒， 当点、两点之间的距离为3时，或， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当点、两点之间的距离为3时，或； （4）当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，即：其中一个点是另外两个点的中点， ①是的中点时，得，解得； ②是的中点，得，解得； ③是的中点，得，解得； 综上，或或． 6．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A 左侧一点，且， 动点 P 从 A 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点 B 表示的数是_________；点 P 表示的数是____________（用含 t 的代数式表示） (2)动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 点 P、Q 同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q？ (3)若 M 为 的中点，N 为的中点，在点 P 运动的过程中，线段的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 的长． 【答案】(1)； (2) (3)不变化； 【分析】（1）根据已知可得点表示的数为；点表示的数为； （2）设点运动秒时追上，根据题意可列出方程，解方程可得出的值； （3）分①当点在点A、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，③当点运动到点时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：点A表示的数为在A点左边，， 点表示的数是， 动点从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是； （2）解：如图，设点运动t秒时，在点处追上点， 则， ， ， 解得：， 点运动11秒时追上点； （3）解：线段的长度不发生变化，都等于11；理由如下： 由题意可知：为的中点，为的中点，， 故， 故①当点在线段上运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ③当点运动到点时： ， 线段的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，用到的知识点是数轴上两点之间的距离关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论； 7．如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离， （1）根据，点O是线段上的一点，．即可得出答案； （2）设的长是，当点在线段上，线段上，线段的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，当点P与点Q重合时，即，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案； 正确理解题意，弄清题中量的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∵， 解得，， 故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ， ， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 8．【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为， 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)______，______； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段AP的中点时则点对应的数为______； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1?（列一元一次方程解应用题）； (4)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过______后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？（请直接写出答案．） 【答案】(1)， (2)， (3)经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1 (4)经过或或后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质，解决本题的关键是根据懂点的运动方向和速度表示动点所表示的数． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据线段中点坐标公式即可求解； （3）设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1，秒后，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：，由题意列出方程，解方程即可得出答案； （4）根据动点的运动分三种情况讨论其中一个点是另外两个点的中点即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 若点为线段的中点，则点对应的数， 若为线段AP的中点时，则， 解得：， 故答案为：，； （3）解：设经过秒后，点到线段中点的距离恰好是1， 秒后，点的位置为：，点的位置为：， 点的位置为：， 由题意得：， 解得：或， 经过或秒后，点到线段中点的距离恰好是1； （4）解：设经过秒后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点， 秒后，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：， 当点是的中点时，则， 解得：； 当点是的中点时，则， 解得：； 当点是的中点时，则， 解得：； 综上所述，经过或或后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点． 9．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为 (3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解． （3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴， 又∵， ， ∴M点为5，N点为， 故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵， ∴中点所对应的数也为1， ∵， ， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴． ∴， ∴． ∴为，为． （3）解：存在，理由： ∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴， ∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令， ∴， ∴， ∴． ． 当表示的数为65时，， 解得：． 又∵和关于1对称， ∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 10．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，，是三角板的两条直角边，平分． (1)如图1，若，则________； 若，则________（用含的代数式表示）； (2)将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的计算．正确使用角平分线的计算是解题的关键． （1）①利用角的和差可求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）设，则，利用角平分线的性质得到，进而可求得，从而得到． 【详解】（1）解：若， ， ． 平分， ． ； 若 ， ． 平分， ． ． 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 设，则， 平分， ， ∵， ， ∴． 11．阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图， ，平分 _________________． ， ______________________． 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： (1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图中的度数． (2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出一种情况对应的图形，并求的度数． 【答案】(1)45，，110； (2)正确，图见解析，． 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可得到，再根据结合图形即可求得； （2）同理（1）结合图形即可得出． 【详解】（1）解：如图， ，平分， ． ， ． 即． 故答案为：45，，110； （2）解：正确．所画图形为： ，平分， ． ， ． 12．如图，平分，平分． (1)计算求值：若，，求的度数； (2)拓展探究：若，求的度数？ (3)问题解决：若． ①用含x的代数式表示y； ②如果，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了和角平分线有关的计算，根据图形得出各个角度之间的数量关系是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义得出，，最后根据即可解答； （2）设，则，根据角平分线的定义得出，，最后根据即可解答； （3）①设，则，根据角平分线的定义得出，，最后根据，即可得出结论；②由①可得，则即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：①设， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴，即． ②由①可得， ∵， ∴ 解得 ． 13．已知：如图，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力． （1）先求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）与（1）类似，先求出，根据角平分线的定义求出，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 14．已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可； 【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； ②由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； （2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， ． 15．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 16．阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）不变；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）根据，把代入，求出即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，得出，根据，即可证明结论； （3）根据角平分线定义得出，根据，得出，，，求出即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 即； （2）与的数量关系保持不变；理由如下： 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以， 因为， 所以； （3）因为射线平分， 所以， 因为， 所以， ， ， 所以 ， 即． 17．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习： 时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从到，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．故时，时针与分针所成角度是．    问题解决： (1)当时，时针与分针所成角度是____________； (2)如图1，盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有____________个美妙时刻． 【答案】(1)75° (2)7.5分钟 (3)22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角平分线，关键是注意分类讨论． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度分针转动的角度时针转动的角度）； （2）设经过分钟，第一次平分，因为平分，可得，即，可解得的值； （3）先算相邻两次成花费的时间，可得24小时有几个时针和分针所成角度时形成一条直线． 【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为， 分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ， 故答案为：75； （2）解：设经过分钟，第一次平分， 平分， ， 即， 解得：， 答：经过分钟，第一次平分； （3）解：相邻两次成之间，分针比时针多走，花费的时间（分）， 24小时分， （次）， 故答案为：． 18．如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了几何中，角度的计算，平角的定义，关于三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据，由代入计算即可； （3）同理（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：平角为， 以O点为顶点且小于平角的角有等， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ． 19．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，则是多少度？ (2)如果，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，再根据，即可求解； （）设，则，列出方程即可求解； 此题考查了角平分线的定义，角度和差和一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即：； （2）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的度数为． 20．如图，，以O为顶点，为一边画，分别平分与．    (1)如图1，若射线在内部，锐角，则____； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)45； (2)； (3)的度数为或 【分析】本题主要考查角平分线的定义和角度之间的关系， （1）根据角平分线的定义计算出和，即可求得； （2）设，则，根据角平分线定义得和，即可求得； （3）根据角平分线定义得和，再分图①和图②两种情况根据角之间的关系求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，平分与， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （3）解：如图①所示，∵平分，平分， ∴，， ∴．    如图②所示，∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 综上，的度数为或．    21．如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据角平分线定义可知，，，再根据计算，即得答案． 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ； （2）解：、分别是，的平分线， ，， ， ， ． 同理：， ． 22．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据和的度数可以得到的度数； （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数； （3）先求出，再根据代入数据计算即可得解． 【详解】（1），， ； 故答案为：； （2），是的角平分线， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ． 23．新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)若，请直接写出的倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的倍角； (3)如图2所示，若是的倍角，是的倍角，且，求的度数． 【答案】(1) (2)、 (3) 【分析】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出即可； （3）设，则，得到；根据，求得，于是结论可得． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴图中的所有2倍角有：； （3）∵是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，当边和边重合时，______度； （2）如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时，？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 【答案】（1）（2）或（3）为或或或 【分析】（1）由角的和差关系可得答案， （2）分两种情况画出图形，再利用角的和差运算可得答案， （3）分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案， 本题考查的是角的和差运算，熟练的画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：105； （2）如图， ∵，，即：， ∴， 如图， ∵， ∴， 综上，当或时，； （3）如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 动点与角度计算60道经典题型专项训练（9大题型+24道拓展培优） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 几何图形中运动的问题 题型四 动角有关计算问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角n等分线的有关计算 【经典例题一 与线段动点有关问题】 【例1】如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，点、、和线段都在数轴上，点、、、、起始位置所表示的数分别为、0、3、12、18；线段沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度移动，当点与点重合时停止运动，移动时间为秒． (1)当时，的长为______，当时，的长为______． (2)线段在运动过程中，用含有的代数式表示的长为______． (3)当时，的长为______，当时，的长为______． (4)线段在运动过程中，求的长（用含有的代数式表示） 2．如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 3．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．    （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是　 　； （2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数　 　表示的点重合； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 【经典例题二 线段动点中求定值问题】 【例2】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 1．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2．如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 3．如图，数轴的原点为O，点A、点B表示的有理数分别为a，b，，且，请根据题意回答下列问题： (1)______，______． (2)若点A以每秒1个单位长度的速度往左运动，同时，点O和点B分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t， ①用含t的式子表示t秒后线段，的长度（点O不再是原点）； ②在运动过程中，的值是否变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出这个定值． 【经典例题三 几何图形中运动的问题】 【例3】如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    2．如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．    (1)当点P在上运动时，t为何值，能使？ (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由； (3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm． 3．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【经典例题四 动角有关计算问题】 【例4】附加题：如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． (1)运动开始前，如图1，　　，　　； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角． (1)若，请直接写出的4倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的2倍角； (3)如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 2．如图，把一个含角的三角板的直角顶点放置在直线上，过作直线，使，若，平分，将三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转得到三角形，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转得到直线，设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)当直线平分时，求旋转时间的值． 3．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【经典例题五 三角板中角度计算问题】 【例5】（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 1．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，边和边重合摆成图1的形状，则______度； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当是多少度时，？请说明理由；（） 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 2．如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数；（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）． 3．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④，⑤中，小彬同学利用一副三角板能画出来的角是_________；（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小彬想起了图形的运动方式有多种．如图1，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线EF上，固定三角板不动，如图2，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 几何图形中角度计算问题】 【例6】学习了数学实验手册七上钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动设转动的时间为秒，，请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分 1．如图，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含α的式子表示） 2．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 3．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【经典例题七 实际问题中角度计算问题】 【例7】．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 2．已知：如图，在内部有（）． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，平分，平分，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值． 3．材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） 【经典例题八 角平分线的有关计算】 【例8】【初步学习】我们在学习角的时候往往借助于钟表来研究角的相关问题． （1）观察图1，我们可知当钟表3点时，此时时针和分针所成的角度是（　　） A．    B．    C．   D． （2）若下午上课开始时间为14时20分，则此时时针和分针的夹角是 ； 【深度探究】如图2所示是一块手表，我们可以理解成如图3的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，时间正好是，时针分针形成夹角恰好为． （3）若作射线，使，求的度数． （4）如图所示．自之后的一小时以内，经过多少分钟，射线、射线、射线中某一条射线是另两条射线组成的角（小于平角）的角平分线？ 1．已知，    (1)如图1，平分，平分，若，则是 　 　； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． (3) 若分别平分和，，则的度数是 　 　（直接填空）． 2．已知、共顶点O，平分，平分． (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若，，求的度数． 3．如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 【经典例题九 角n等分线的有关计算】 【例9】综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    1．将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 2．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） (1)角的三等分线___________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数； (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值． 3．如图，射线在的内部（的度数大于且小于），图中共有三个角：，，．若这三个角中有两个角的度数之比为，则称射线为的“虚学线”． (1)的角平分线 的“虚学线”，的一条三等分线 的“虚学线”；（填“是”或“不是”） (2)射线为的“虚学线”，若，求的度数； (3)已知，射线从出发，绕点以每秒按顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与重合时，旋转停止．设旋转时间为（单位：秒），射线为的平分线，射线，，中，若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”，直接写出所有的值． 1．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 2．如图，已知数轴上有A，B，C三点，B，C两点在数轴上表示的数分别为4和6，点A在数轴上表示的数为a，且原点O为线段的中点． (1)求a的值． (2)若点P从原点O出发，匀速向左运动，若，求出此时点P在数轴上对应的数． (3)若动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动，设点M在数轴上表示的数为m，点N在数轴上表示的数为n，运动的时间为t秒，若，求t和m，n的值． 3．如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 4．如图，点为数轴原点，点A和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点A所表示的数大7． (1)当点A所表示的数是时，点所表示的数是________； (2)点是线段上一点（不与点A、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，求所有满足条件的点所表示的数． 5．如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 6．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A 左侧一点，且， 动点 P 从 A 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点 B 表示的数是_________；点 P 表示的数是____________（用含 t 的代数式表示） (2)动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 点 P、Q 同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q？ (3)若 M 为 的中点，N 为的中点，在点 P 运动的过程中，线段的长度 是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 的长． 7．如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________； (2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 8．【知识背景】数轴上，点表示的数为，则两点的距离，的中点表示的数为， 【知识运用】已知数轴两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为． (1)______，______； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段AP的中点时则点对应的数为______； (3)若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点到线段中点的距离恰好是1?（列一元一次方程解应用题）； (4)若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过______后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？（请直接写出答案．） 9．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 10．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，，是三角板的两条直角边，平分． (1)如图1，若，则________； 若，则________（用含的代数式表示）； (2)将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 11．阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图， ，平分 _________________． ， ______________________． 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： (1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图中的度数． (2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出一种情况对应的图形，并求的度数． 12．如图，平分，平分． (1)计算求值：若，，求的度数； (2)拓展探究：若，求的度数？ (3)问题解决：若． ①用含x的代数式表示y； ②如果，试求的度数． 13．已知：如图，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 14．已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 15．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 16．阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 17．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习： 时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从到，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．故时，时针与分针所成角度是．    问题解决： (1)当时，时针与分针所成角度是____________； (2)如图1，盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有____________个美妙时刻． 18．如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 19．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，则是多少度？ (2)如果，那么是多少度？ 20．如图，，以O为顶点，为一边画，分别平分与．    (1)如图1，若射线在内部，锐角，则____； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 21．如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 22．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 23．新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)若，请直接写出的倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的倍角； (3)如图2所示，若是的倍角，是的倍角，且，求的度数． 24．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，当边和边重合时，______度； （2）如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时，？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$