专题01 线段、射线、直线重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题01 直线、射线、线段重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 点与线的位置关系 题型四 直线、线段、射线的数量问题 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 线段的应用 题型七 两点确定一条直线 题型八 尺规作图（作线段） 题型九 线段的和与差问题 题型十 线段中点的有关计算 题型十一 线段n等分点的有关计算 题型十二 线段之间的数量关系 题型十三 与线段有关的动点问题 题型十四 两点之间线段最短 题型十五 两点间的距离 题型十六 最短路径问题 知识点一：线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 1．关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 1．下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 3．如图，有 A , B , C , D 四个点，按照下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段，在上取点 P ，使的值最小． 【经典例题三 点与线的位置关系】 【例3】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 1．下面说法与几何图形相符的是（    ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 2．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    3．如图，已知直线和点P． (1)用语句表述图中点P和直线的位置关系：______； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在线段的延长线上截取，使得；（保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，连接，请比较线段，的长短，并说明理由． 【经典例题四 直线、线段、射线的数量问题】 【例4】已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 1．如图，小金同学根据图形写出了三个结论：①图中共有6条线段；②图中共有1条直线；③图中射线与射线不是同一条射线．其中结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 3．阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 1．同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 【经典例题六 线段的应用】 【例6】如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 3．如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 1．下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 2．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 3．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【经典例题八 尺规作图（作线段）】 【例8】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   1．如图，已知线段，，，求作一条线段，使它等于．作法：①画射线；②在射线上顺次截取，；④在线段上截取．那么所求作的线段是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    3．如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 【经典例题九 线段的和与差问题】 【例9】如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\9．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，则（    ） A．6 B．3或7 C．3 D．7 1．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 3．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【经典例题十 线段中点的有关计算】 【例10】已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 1．已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 2．已知A，B，C是同一直线上的三点，若，，点M是线段AC的中点，则线段的长为 ． 3．如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【经典例题十一 线段n等分点的有关计算】 【例11】已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 1．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 3．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【经典例题十二 线段之间的数量关系】 【例12】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 1．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A．1 B．3 C．5或1 D．1或4 2．如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 3．如图，为线段上一点，为线段的中点． (1)若，，求线段的长． (2)延长到点，使．在图中完成作图，并写出图中所有相等的线段．（除外） 【经典例题十三 与线段有关的动点问题】 【例13】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．④⑤ D．①②④ 2．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 3．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【经典例题十四 两点之间线段最短】 【例14】下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 1．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 2．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    3．如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【经典例题十五 两点间的距离】 【例15】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 1．已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【经典例题十六 最短路径问题】 【例16】在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 1．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 1．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 2．过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 3．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 4．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 5．如图，把一根绳子对折成线段，点P在线段上，从点P处把绳子剪断，且，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C． D．或 6．如图，点为线段中点，点在线段上，，，则图中所有线段的和是 ．    7．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 8．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 9．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 10．已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 11．如图，已知A，B，C三点，根据下列要求画出图形． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)取的中点P，连接． 12．已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 13．如图，平面上有三点A、B、C，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并在线段的延长线上截取（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，取线段的中点E，若，求线段长的解法如下，请将过程填写完整． 解：因为 所以 因为点E是线段的中点 所以 （填写线段名称） （填写线段名称）＝             因为 （填写线段名称）＋ （填写线段名称） 所以 14．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为100． (1)请计算在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请计算点C对应的数． (3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，问：多少秒后，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 15．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线、射线、线段重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 题型二 画出直线、射线、线段 题型三 点与线的位置关系 题型四 直线、线段、射线的数量问题 题型五 直线相交的交点个数问题 题型六 线段的应用 题型七 两点确定一条直线 题型八 尺规作图（作线段） 题型九 线段的和与差问题 题型十 线段中点的有关计算 题型十一 线段n等分点的有关计算 题型十二 线段之间的数量关系 题型十三 与线段有关的动点问题 题型十四 两点之间线段最短 题型十五 两点间的距离 题型十六 最短路径问题 知识点一：线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【经典例题一 直线、射线、线段的联系与区别】 【例1】下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义． 【详解】解：（）两点确定一条直线，错误； （）射线是不可度量的，错误； （）线段和线段是同一条线段，正确； （）射线和射线是不同的射线，错误； （）直线和直线是同一条直线，正确； ∴错误的有个， 故选：． 1．关于线段的描述正确的有（    ）． ①线段与线段是同一条线段 ②线段有两个端点 ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线 ④画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确定③正确，根据线段的表示方法确定④． 【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确； ②线段有两个端点，正确； ③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确； ④画一条线段，原表述错误． 所以描述正确的有①②③，共3个． 故选：C． 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确； （2）直线和直线是同一条直线，正确； （3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系． 【经典例题二 画出直线、射线、线段】 【例2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 1．下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【答案】B 【分析】本题考查作图---尺规作图的定义，解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题 【详解】解：∵直线无法测量，故选项A错误； 延长线段到C是正确的，故选项B正确； 射线本身是以点O为端点，向着方向延伸，故选项C错误； 如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误； 故选：B 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 3．如图，有 A , B , C , D 四个点，按照下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段，在上取点 P ，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，解题关键是掌握两点之间，线段最短； （1）根据直线的定义画出即可； （2）根据射线的定义画出即可； （3）由两点之间，线段最短可得点P就是和的交点，据此解答． 【详解】（1）解：直线如图； （2）解：射线如图； （3）解：线段及点 P如图． 【经典例题三 点与线的位置关系】 【例3】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 1．下面说法与几何图形相符的是（    ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】B 【分析】利用点和直线的关系，结合图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、点不在直线上，故错误，不合题意； B、直线与都经过点，故正确，符合题意； C、不能表示成，故原说法错误，不合题意； D、直线和直线表示同一条直线，故原说法错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了点和直线的关系，直线的性质，注意仔细观察图形． 2．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 3．如图，已知直线和点P． (1)用语句表述图中点P和直线的位置关系：______； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在线段的延长线上截取，使得；（保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，连接，请比较线段，的长短，并说明理由． 【答案】(1)点P在直线外； (2)画图见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，画射线，作一条线段等于已知线段，两点之间线段最短的含义． （1）根据点与直线的位置关系可得答案； （2）先作射线，再作即可； （3）由两点之间线段最短可得，结合可得答案． 【详解】（1）解：点P在直线外； （2）解：如图； （3）∵，， ∴， ∴． 【经典例题四 直线、线段、射线的数量问题】 【例4】已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 【答案】B 【分析】此题关键是把复杂问题简单化，把问题转化成求在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 在、上分别取点M、N和点P、Q，连接，根据题意会发现：对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点恰好是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 【详解】 解：如图所示，对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以． 可以用乘法原理分2步计算： 第1步，确定线段，有（种） 第2步，确定线段，有（种） 根据乘法原理，共可产生个四边形 而已知没有三条线段相交于直线与外的一点，那么这些线段一共有1620个交点． 故答案为：B． 1．如图，小金同学根据图形写出了三个结论：①图中共有6条线段；②图中共有1条直线；③图中射线与射线不是同一条射线．其中结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】此题主要考查了线段、射线、直线的定义，准确识图，理解线段、射线、直线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：图中有线段，，，，，共6条， ∴结论①正确； 图中共有一条直线， ∴结论②正确； 图中射线可表示为射线， ∴图中射线与射线是同一条射线， ∴结论③不正确． 综上所述：正确的结论是①②． 故选：A． 2．如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 3．阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)； (2)①15场；②132元 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． （1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分， 所以需要安排种车票． 【经典例题五 直线相交的交点个数问题】 【例5】已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点个数问题，根据题意画图讨论其交点情况，即可解题． 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个， 故选：B． 1．同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线和平行线，解题的关键是注意进行分类讨论． 【详解】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点； ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 综上分析可知：交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 【答案】(1)点M在直线l外 (2)见解析 (3)见解析 (4)9 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据射线的定义即可画射线； （3）根据直线的定义即可画直线； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域． 【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外； 故答案为：M在直线l外； （2）解：如图1，射线即为所求； （3）解：如图1，直线即为所求； （4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 【经典例题六 线段的应用】 【例6】如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，分线段的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论； 【详解】解：若线段的端点恰好与整点重合，则厘米长的线段盖住个整点，个整点， 若线段的端点不与整点重合，则厘米的线段盖住个整点． ∴厘米的线段盖住或个整点． 故选：B． 2．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段长短的比较，理解题意，找出各线段的长度是解题的关键． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】设的长度为， ∵， ∴，，，， ∴， ∵再从图（二）的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴剪开后这三段的长度分别是： 的长度，即； 的长度的2倍，即； 图（二）中的长度，即， ∴此三段细线由小到大的长度比为：． 故答案为：． 3．如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)求线段的长（答案不唯一） 【分析】（1）以点为端点，根据图形即可求解； （2）根据线段的中点的性质即可求得； （3）根据线段的和与差即可求得； （4）根据题意即可得到，注意答案不唯一． 【详解】（1）根据图形，以点为端点的线段有：，，． （2）∵C是线段的中点，， ∴． （3）根据图形可得：． （4）可提问：求线段的长（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了线段的性质，线段中点的性质，线段的和差倍分运算等，熟练掌握线段的相关性质是解题的关键． 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【答案】D 【分析】题目主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意； C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意． 故选：D． 1．下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故选A． 2．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 3．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 【经典例题八 尺规作图（作线段）】 【例8】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 1．如图，已知线段，，，求作一条线段，使它等于．作法：①画射线；②在射线上顺次截取，；④在线段上截取．那么所求作的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的和差即可得． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了作线段，熟练掌握线段的和差是解题关键． 2．如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 3．如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是作线段的差，线段中点的含义，线段的和差运算，掌握线段的和差关系是解本题的关键． （1）作射线，在上截取，再在线段上截取，则， （2）先求解，结合为的中点，可得，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：如图所示线段即为所求； （2）解：如图， 由题意得，， ， 为的中点， ， ． 【经典例题九 线段的和与差问题】 【例9】如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\9．点A，B，C是直线l上三点，如果点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，则（    ） A．6 B．3或7 C．3 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差与线段中点的定义，解题的关键是掌握线段的和差与线段中点的定义．利用线段的和差与线段中点的定义计算． 【详解】解：如图，点为线段的中点，点为线段的中点．， ，， ； 如图，点为线段的中点，点为线段的中点．， ，， ． 的长为或． 故选：B． 1．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，分两种情况：点在点间和点在点间，然后画出图形，根据线段的和差、线段中点的定义分别解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 综上，为或， 故选：． 2．线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十 线段中点的有关计算】 【例10】已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案． 【详解】解：点分别是和的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键． 1．已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离．解答此题时，充分利用了两点间的中点的定义．分当点在上时，当点在的延长线上时两种情况讨论即可． 【详解】解：如图，当点在上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 当点在的延长线上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 故选：D． 2．已知A，B，C是同一直线上的三点，若，，点M是线段AC的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的性质是解题的关键．应考虑到位置关系的多种可能性，即可得到答案． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，此时， 点M是线段AC的中点， ； ②当点在线段上时，此时， 点M是线段AC的中点， ． 故答案为：或． 3．如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 【经典例题十一 线段n等分点的有关计算】 【例11】已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 1．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 2．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 3．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 【经典例题十二 线段之间的数量关系】 【例12】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 1．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A．1 B．3 C．5或1 D．1或4 【答案】C 【分析】分两种情况：当点在点的右侧时和当点在点的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系，计算即可． 【详解】解：如图，当点在点的右侧时， ∵，且， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵，且， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 故选：C 【点睛】本题考查了线段之间的数量关系，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想解答． 2．如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的中点计算，线段的和差计算，正确理解线段的中点是解题的关键，根据中点，线段的和差，依次计算即可． 【详解】∵，， ∴． ∵，是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，为线段上一点，为线段的中点． (1)若，，求线段的长． (2)延长到点，使．在图中完成作图，并写出图中所有相等的线段．（除外） 【答案】(1)4 (2)，， 【分析】本题主要考查了线段的有关计算，根据题意弄懂线段之间的关系是解题的关键． （1）将转化为再求解即可； （2）画出图形，由，再在两段线段上分别加上相等的线段，所得线段也相等即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 为线段的中点， ， ． （2）如图， 为线段的中点， ， ，， 即，， 图中相等的线段有：，，． 【经典例题十三 与线段有关的动点问题】 【例13】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据线段的和差即可得． 【详解】当点P在线段上时， 则，与题意不符，说法①错误； ， ， 点P可能在直线上，也可能在直线外， 则说法④⑤正确，说法②③错误； 综上，正确的说法是④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 2．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【经典例题十四 两点之间线段最短】 【例14】下列生活、生产现象： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上． 从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设． 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线． 高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可解答，正确区分两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：是根据两点确定一条直线，是根据两点之间，线段最短， 故选：． 1．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（　　） ①车站的位置设在C点好于B点； ②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样； ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处． A．①③ B．③④ C．②③ D．② 【答案】A 【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可． 【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意； ②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意； ③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意； ④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算． 2．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 【详解】解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 3．如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了线段、射线、直线的画法，两点之间，线段最短的应用，准确画图，知道线段和最小值的确定方法是解题的关键． （1）根据线段的特点，直线的特点画出，注意直线的双向伸展性； （2）先画射线，点是起始点，点是方向点，用圆规截取等长即可； （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点； 【详解】（1）根据题意作图如下：    （2）根据题意作图如下：    （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：    【经典例题十五 两点间的距离】 【例15】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ． 是线段的中点， ， ②当点在点的右侧时， ， 是线段的中点， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 1．已知线段，C是线段所在直线上一点．下列说法：①若C为线段的中点，则；②若，则C为线段的中点；③若，则点C一定在线段的延长线上；④线段与的长度和一定不小于．其中正确的说法是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查线段、中点，根据中点的定义可判断①②；举反例可判断③；根据线段的和差关系可判断④． 【详解】解：若C为线段的中点，则，故①正确； 若，且C在线段上时，则C为线段的中点，故②错误； 若，则点C可能在线段的延长线上，也可能在线段上，故③错误； ，线段与的长度和一定不小于，故④正确； 综上可知，正确的说法是①④， 故选D． 2．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 3．追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【经典例题十六 最短路径问题】 【例16】在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 【答案】D 【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案. 【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小， ∵, ∴, 解得BP=， 故选：D. 【点睛】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键. 1．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．      根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 3．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图： (1)作直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求； （3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． 1．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 2．过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可； 【详解】解：过2个点可以画：； 过3个点可以画：； 过n个点可以画：； 则过10个点可以画； 故选：C． 3．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 4．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 5．如图，把一根绳子对折成线段，点P在线段上，从点P处把绳子剪断，且，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差知识以及分类讨论思想，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点A和点B是对折点两种情况分别进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长； （2）当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图： ∵，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ， ， ∴绳子的原长． 故选：D． 6．如图，点为线段中点，点在线段上，，，则图中所有线段的和是 ．    【答案】40 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算，根据中点求出的长，进而求出的长，再将所有线段的长相加即可． 【详解】解：∵点为线段中点，， ∴，， ∴，， ∴所有线段的和为：， 故答案为：40． 7．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 故答案为：或． 8．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 9．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 10．已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 11．如图，已知A，B，C三点，根据下列要求画出图形． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)取的中点P，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了线段、射线、直线、线段的中点等知识点，掌握直线、射线、线段的定义区别与联系是解题的关键． （1）根据线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）先取的中点P，然后连接即可． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求． （2）解：如图：射线即为所求． （3）解：如图：直线即为所求． （4）解：如图：即为所求． 12．已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 13．如图，平面上有三点A、B、C，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并在线段的延长线上截取（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，取线段的中点E，若，求线段长的解法如下，请将过程填写完整． 解：因为 所以 因为点E是线段的中点 所以 （填写线段名称） （填写线段名称）＝             因为 （填写线段名称）＋ （填写线段名称） 所以 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；；； 【分析】本题考查直线，射线，中点的定义，线段的和差关系，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）按要求作图即可； （3）先根据求出，再根据中点的定义求出，即可求解． 【详解】（1）如图所示：直线，射线即为所求；    （2）解：如图所示：线段，        （3）解：因为， 所以， 因为点E是线段的中点， 所以 ，          因为， 所以， 故答案为：；；；；． 14．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为100． (1)请计算在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请计算点C对应的数． (3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，问：多少秒后，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【答案】(1)40 (2)28 (3)50秒或70秒 【分析】本题主要考查中点坐标、两点之间的距离和分类讨论思想的应用， （1）根据两点之间的距离和中点距离即可． （2）先求的两点的相遇时间，再求得点Q运动路程，即可求得点C对应的数． （3）分为相遇前和相遇后分别求解即可． 【详解】（1）解：点M对应的数为． （2）解：它们的相遇时间是（秒）， ∴相同时间点Q运动路程为：， ， ∴点C对应的数为28． （3）解：相遇前：（秒）， 相遇后：（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 15．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 学科网（北京）股份有限公司 $$