专项1 三角形的三线与面积问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第一章 三角形
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.87 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 1 三角形的三线与面积问题 1.△ ���中,�� = 6,��边上的高�� = 3,�� = 2,则△ ���的面积是( ) A.6 B.12 C.6或 12 D.以上都不对 2.如图,已知��是∠���的平分线,�� ⊥ ��,若�△��� = 12cm2,则△ ���的面积等于 ( ) A.24cm2 B.30cm2 C.36cm2 D.48cm2 3.如图,在△ ���中,�� = �� = 8,△ ���的面积是 24,点�为��的中点,点�为线段�� 上的动点,点�为边��上的动点,则�� + ��的最小值为 . 4.如图,在△ ���中,点�是线段��的中点,点�将线段��分成��: �� = 2: 5,若四边形���� 的面积是 22,则△ ���的面积是 . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 5.已知如图,��是△ ���的角平分线,且�� ⊥ ��于点�. (1)如图 1,求证:�� = ��; (2)如图 2,∠��� = 30°,点�在��上,连接��并延长交��于点�,��交��的延长线于点�, ∠��� = ∠���,连接��,�� = 2,△ ���的面积是△ ���的面积的2 3 ,求��的长. 6.【数学经验】三角形的中线,角平分线,高是三角形的重要线段,我们知道,三角形的 3 条 高所在直线交于同一点. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 (1)①如图 1, △ ���中, ∠� = 90°,则△ ���的三条高所在的直线交于点 ;②如图 2, △ ���中, ∠��� > 90°,已知两条高��,��,请你仅用一把无刻度的直尺(仅用于过任意 两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出 △ ���的第三条高.(不写画法,保留作图 痕迹). 【综合应用】 (2)如图 3,在 △ ���中,∠��� > ∠�,��平分∠���,过点 B作��边上的高线��交�� 于点 E. ①若 ∠��� = 86°,∠� = 36°,则 ∠��� = ; ②请写出∠���与∠���,∠�之间的数量关系,并说明理由. 【拓展延伸】 (3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,如果两个三角形的高相同,则它们的面 积比等于对应底边的比,如图 4,点 M是��上一点,则有 �△��� �△��� = �� �� .如图 5,△ ���中,点 M是��上一点且 �� = 1 4 ��,点 N是��的中点,若△ ���的面积是 m,请直接写出四边形 ����的面积 .(用含 m的代数式表示) 7.如图,四边形����面积为 11 cm2,�� = 2��,�� = 3��,则△ ���的面积等于( ) 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 A.36 cm2 B.40 cm2 C.44 cm2 D.48 cm2 8.如图,在等腰三角形���中,�� = �� = 4,点�为��的中点,连结��. 以��为边向左作 △ ���,且∠��� = 90°,��∥��.连结��,记△ ���和△ ���的面积分别为�1和�2,则 3 2 �1 − �2的最大值是( ) A.4 B.6 C.4 2 D.8 9.如图,△ ���中,�� = �� = 3,∠���的角平分线�� ⊥ ��于�,�为��的中点,则图中 两个阴影部分面积之差的最大值( ) A.1.5 B.3 C.4.5 D.9 10.如图;在△ ���中,△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都相等.若��: �� = 3: 2, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 △ ���的面积为 728.(注:符号“△”表示“三角形”三个字) (1)线段��与线段��的比值�� �� = ; (2)△ ���的面积是 . 11.【问题情境】如图 6,��是△ ���的中线,△ ���与△ ���的面积有怎样的数量关系?小 明同学经过思考,给出以下解答: 在图中过 A作�� ⊥ ��于点�. ∵ ��是△ ���的中线, ∴ �� = 1 2 ��. ∴ �△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 ⋅ 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �△��� 据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积. 【深入探究】 (1)如图,点�在△ ���的边��上,点�在��上. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 ①若�是��的中点,求证:�△��� = �△���; ②若�� = 2��,则�△���:�△��� = . 【拓展延伸】 (2)如图,�在��上,�在��上,且�� = 2��,��:�� = 2: 1,求��与��的数量关系. 12.已知△ ���中,∠��� = 90°,�� = ��,�为边��上一点,点�在��延长线上,连接��、��. (1)如图 1,已知�� = 2��,�� = ��,当�� = 12时,求△ ���的面积; (2)如图 2,过点�作��的垂线,分别交��、��于点�、�,过点�作�� ⊥ ��交��于�,连接��, 求∠���的度数; (3)如图 3,当点�在��上运动,且∠���始终为 90°时,过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,则 �△���−�△��� �△��� 的值是否发生改变?若不变,求出这个值;若发生改变,说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 13.数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等,这种方法被称为“面积法”.已知等边 △ ���,点�是平面上任意一点,设点�到△���边��、��边的距离分别为��、��,△ ��� 的��边上的高为��.回答以下问题: (1)如图(1),若点�在三角形的��边上,��、��、��存在怎样的数量关系?请给出证明过 程. (2)如图(2),当点�在△ ���内,已知�� = 10,求�� + �� + ��的值. (3)如图(3),当点�在△ ���外,请直接写出��与��、��、��的数量关系,不用证明. 14.在一个三角形中,如果一个角是另一个角的 2倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角 形”.如,三个内角分别为 120°,  40°,  20°的三角形是“智慧三角形”. (1)如图 1,在△ ���中,∠� = ∠� = 45°,在 BC上取一点 D,连接 AD,∠��� = ∠���.求 证:△ ���是“智慧三角形”. (2)如图 2,在△ ���中,在 AB、AC、BC上分别取点 F、点 E、点 D,连接 DE、DF,∠��� = ∠���,∠��� =∠���,∠��� = 45°.求证:�� ⊥ ��. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 (3)如图 3,在(2)的条件下,△ ���的面积为 25,�� = 2 5 ��,延长 DE、BA交于点 G,且 E为 DG的中点,连接 BE、AD交于点 I.求四边形 EIDC的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 1 三角形的三线与面积问题 1.【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形面积的计算,熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键.根据题 意得出��的长度,再利用三角形面积公式求出△ ���的面积即可,注意分类讨论. 【详解】解:当��在△ ���内部时, ∵�� = 6, �� = 2, ∴�� = �� − �� = 4, 又��边上的高�� = 3, ∴△ ���的面积是1 2 × 4 × 3 = 6; 当��在△ ���外部时, ∵�� = 6, �� = 2, ∴�� = �� + �� = 8, 又��边上的高�� = 3, ∴△ ���的面积是1 2 × 8 × 3 = 12; 综上,△ ���的面积是 6或 12, 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 2.【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS) 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定,解题的关键是熟练运用三角形的 角平分线和全等三角形的判定.延长��交��于点 C,根据题意,易证△ ��� ≌△ ��� ASA , 因为△ ���和△���同高等底,所以面积相等,根据等量代换便可得出�△��� = 2�△��� = 24cm2. 【详解】解:如图所示,延长��,交��于点 D, , ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = ∠��� = 90°, ∵��是∠���的角平分线, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△���中, ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� , ∴△ ��� ≌△ ��� ASA , ∴�� = ��, ∴�△��� = �△���, ∵△ ���和△���同底等高, ∴�△��� = ����, ∴�△��� = ���� + �△��� = �△��� + �△���, ∴�△��� = 2�△��� = 24cm2, 故选:A. 3.【答案】6 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质、与三角形的高有关的计算问题、垂线段最短 【分析】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,垂线段最短,过点�作�� ⊥ �� 于�,由等腰三角形三线合一可得��为��的垂直平分线,即得�� = ��,进而得�� + �� = �� + ��,即可得�� + ��的最小值即为垂线段��的长,利用三角形面积求出��即可求解,得 出�� + ��的最小值为垂线段��的长是解题的关键. 【详解】解:过点�作�� ⊥ ��于�, ∵�� = �� = 8, ∴�� ⊥ ��, ∴��为��的垂直平分线, ∴�� = ��, ∴�� + �� = �� + ��, ∴�� + ��的最小值即为垂线段��的长, ∵△ ���的面积是 24, ∴ 1 2 × 8 × �� = 24, ∴�� = 6, ∴�� + ��的最小值为 6, 故答案为:6. 4.【答案】18 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接��,设�△��� = �,�△��� = �,由题意可知�四边形���� = � + � = 22,结合中点 及��: �� = 2: 5,可得�△��� = �△��� = �,�△��� = �△��� = 1 2 �△���,�△��� = 5 2 �△��� = 55 + 5 2 �,�△��� = 3 2 �△��� = 3 2 �,进而�△��� = �△��� + �四边形���� = 3 2 � + 22 = 1 2 �△���,整理得 3 2 � + 22 = 1 2 55 + 5 2 � ,求出�,�的值即可求得△ ���的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 【详解】解:连接��,设�△��� = �,�△��� = �, ∵四边形����的面积是 22, ∴�四边形���� = � + � = 22, ∵点�是线段��的中点, ∴�△��� = �△��� = �,�△��� = �△��� = 1 2 �△���, 则�△��� = �△��� + �四边形���� = 22 + �, ∵��: �� = 2: 5,则��: �� = 2: 3 ∴�△��� = 2 5 �△���,�△��� = 2 3 �△���, 即:�△��� = 5 2 �△��� = 55 + 5 2 �,�△��� = 3 2 �△��� = 3 2 �, 则�△��� = �△��� + �四边形���� = 3 2 � + 22 = 1 2 �△���, ∴ 3 2 � + 22 = 1 2 55 + 5 2 � , 解得:� = 12,� = 10, ∴�△��� = 3 2 �△��� = 3 2 � = 18, 故答案为:18. 【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积问题,利用等高求得面积之比是解决问题的关键. 5.【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三线合一证明、全等的性质和 SAS综合(SAS)、 与三角形的高有关的计算问题 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 【分析】(1)证明△ ��� ≌△ ���(ASA)即可得到结论; (2)过�作�� ⊥ ��于�,求出∠��� = 60° = ∠���,证明△ ��� ≌△ ���,得到 �△���: �△��� = 2: 3,得出�△���: �△��� = 1: 3,证明△��� ≌△ ���,得到�△���: �△��� = 1: 3, 从而得到��: �� = 1: 3,即可求解. 【详解】(1)证明:∵��是△ ���的角平分线, ∴∠��� =∠���, ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� =∠��� = 90°, 在△ ���和△ ���中, ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ ��� ≌△ ���(ASA), ∴�� = ��; (2)过�作�� ⊥ ��于�, ∵�� = ��,∠��� = 30°,�� ⊥ ��, ∴∠��� =∠��� = 60° ∴∠��� = 60° = ∠���, 在△ ���和△ ���中, ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ ��� ≌△ ���(ASA), ∴�� = ��. ∵�△���: �△��� = 2: 3, ∴�△���: �△��� = 2: 3, ∴�△���: �△��� = 1: 3, 在△ ���和△ ���中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�△���: �△��� = 1: 3, ∴ 1 2 �� ⋅ �� : 1 2 �� ⋅ �� = 1: 3, ∴��: �� = 1: 3, ∵�� = 2, ∴�� = 6. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角 形的面积等知识,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 6.【答案】(1)①�;②作图见解析部分;(2)①25°;②2∠��� = ∠��� −∠�;(3)9 20 �. 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题是四边形综合题目,考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三 角形内角和定理、三角形的面积等知识;本题综合性强,熟练掌握三角形的三条高交于一点和 三角形面积关系是解题的关键. (1)①由直角三角形三条高的定义即可得出结论; ②延长��、��交于点�,连接��,延长��交��于点�,则��为△ ���的第三条高; (2)①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠��� = 1 2 ∠��� = 29°,再由直角三角形的性 质得∠��� = 61°,即可求解; ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可; (3)连接��,由中线的性质得�△��� = �△���,同理�△��� = �△���,设�△��� = �△��� = �, 则�△��� = �△��� = 1 2 �,再求出�△��� = 3 4 �△��� = 3 8 �− 3 4 �,�△��� = 3 4 �△��� = 3 4 �,然后由 面积关系求出� = 3 10 �,即可解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 【详解】解:(1)①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点,∠� = 90°, ∴△ ���的三条高所在直线交于点�, 故答案为:�; ②如图 2,延长��、��交于点�,连接��,延长��交��于点�,则线段��为△ ���的第三条 高; (2)①∵∠��� = 86°,∠� = 36°, ∴∠��� = 58°, ∵ ��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 29°, ∵ �� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� = 90° − 29° = 61°, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 86° − 61° = 25°, 故答案为:25°; ②∠���与∠���,∠�之间的数量关系为:2∠��� = ∠��� −∠���,理由如下: ∵ �� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� = 90° −∠���, ∴∠��� = ∠��� −∠��� =∠��� +∠��� − 90°, ∵ ��平分∠���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, ∵∠��� = 180° −∠��� −∠���, ∴∠��� = 90° − 1 2 ∠��� − 1 2 ∠���, ∴∠��� = ∠��� +∠��� − 90° = ∠��� + 90° − 1 2 ∠��� − 1 2 ∠��� − 90° = 1 2 ∠��� − 1 2 ∠���, ∴ 2∠��� =∠��� −∠���, 即 2∠��� = ∠��� −∠�; (3)连接��,如图 5所示: ∵ �是��的中点, ∴ �△��� �△��� = �� �� = 1, ∴ �△��� = �△���, 同理:�△��� = �△���, 设�△��� = �△��� = �, ∵△ ���的面积是�, ∴ �△��� = �△��� = 1 2 �, ∴ �△��� = �△��� = 1 2 �− �, ∵ �� = 1 4 ��, ∴ �� �� = 1 3 , ∴ �△��� �△��� = �� �� = 1 3 , �△��� �△��� = �� �� = 1 3 , ∴ �△��� = 3�△���,�△��� = 3�△���, ∴ �△��� = 3 4 �△��� = 3 4 × ( 1 2 �− �) = 3 8 �− 3 4 �,�△��� = 3 4 �△��� = 3 4 �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∵ �△��� = �四边形���� + �△��� = �△��� + �△��� + �△���, 即: 3 4 � = 3 8 �− 3 4 � + � + �, 解得:� = 3 10 �, ∴ �四边形���� = �△��� + �△��� = 3 8 �− 3 4 × 3 10 �+ 3 10 � = 9 20 �. 故答案为: 9 20 � 7.【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】连接��,设�△��� = �,�△��� = �,根据已知得出 3� + � = 11①,进而得出 �△��� �△��� = �� �� = �+� 2 �+� = 1 2 ,可得 8� = �②,解方程组,即可求解. 【详解】解:如图所示,连接��, 设�△��� = �,�△��� = � ∵�� = 2�� ∴�△��� = 2�,�△��� = 2�, ∵�� = 3��, ∴ �△��� �△��� = 1 3 ,即 �+� 11+2� = 1 3 整理得 3� + � = 11① ∵�△��� = 2�,则�△��� = 11 − �△��� = 11 − 2� = 3� + � − 2� = � + � �△��� = �△��� + �△��� = 2� + 2� = 2 � + � ∴ �△��� �△��� = �� �� = �+� 2 �+� = 1 2 ∴ �△��� �△��� = �+11 3� = 1 2 即 �+ 3�+� 3� = 1 2 解得 8� = �② 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 联立①②得 � = 1 � = 8 ∴�△��� = �△��� + �△��� = 11 + � + 3� = 11 + 1 + 24 = 36, 故选:A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,三角形面积公式,得出 �� �� = 1 2 是解题的关键. 8.【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA(AAS) 综合(ASA或者 AAS)、根据三角形中线求长度 【分析】取��的中点�,连接��, ��,得出�△��� = 2�△���,进而证明△ ��� ≌△ ��� ASA 得出�△��� = �△��� = �2,结合已知条件得出�1 = 2�2,进而可得 3 2 �1 − �2 = �△���,即可求解. 【详解】解:如图所示,取��的中点�,连接��, ��, ∵∠��� = 90°, ∴�� = �� = ��, ∴�△��� = 2�△���, ∵�� = �� = 4,�为��的中点, ∴∠��� = ∠���,�� ⊥ �� ∵��∥�� ∴∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� 又∵�� = ��,�� = �� ∴�� ⊥ �� ∴∠��� = ∠��� = 90°, 在△ ���, △ ���中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� = 90° ∴△ ��� ≌△ ��� ASA ∴�△��� = �△��� = �2 又∵�△��� = �2 ∴�△��� = 2�△��� = 4�△��� = 4�2 ∵点�为��的中点, ∴�△��� = �△��� = 1 2 �△��� = �1 ∴�△��� = 2�1, ∴�1 = 2�2 ∴ 3 2 �1 − �2 = 3�2 − �2 = 2�2 = 2�△��� = �△��� ∴当�� ⊥ ��时,�△���取得最大值,即 3 2 �1 − �2的最大值是 1 2 × �� × �� = 1 2 × 4 × 4 = 8. 故选:D. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,全等三 角形的性质与判定,等腰三角形性质与判定,垂直平分线的性质与判定,得出�1 = 2�2是解题 的关键. 9.【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,首先证明两个阴影部 分面积之差= �△���,当�� ⊥ ��时,△ ���的面积最大.解题的关键是学会用转化的思想思 考问题. 【详解】解:延长��交��于点�.设��交��于点�. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 ∵ �� ⊥ ��, ∴∠��� = ∠��� = 90°, ∴∠��� +∠��� = 90°,∠� +∠��� = 90°, ∵∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠�, ∴ �� = ��, ∵ �� ⊥ ��, ∴ �� = ��, ∵ �� = ��, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� +∠� = 90°,∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠�, ∴ �� = �� = ��, ∵ �� = ��, ∴ �△��� = 1 4 �△���,�△��� = 1 4 �△���, ∵ �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△���, ∵ �� = �� = 3, ∴当�� ⊥ ��时,△ ���的面积最大,最大面积为1 2 × 3 × 3 = 4.5. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 10.【答案】 3 5 /0.6 14 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是比的应用,等底等高的两个三角形的面积之间的关系; (1)设△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都为 1份;可得△ ���的面积为 1.5份, △ ���的面积为 2.5份,再进一步解答即可; (2)如图,连接��,由��:�� = 3: 5,可得�△��� = 5 8 �△��� = 5 8 (份),�△��� = �△��� + �△��� = 1+ 5 8 − 3 2 = 1 8 (份),同理:�△��� = �△��� + �△���,�△��� = �△��� + �△���,可得��: �� = �△���: �△��� = 1 8 : 3 2 = 1 12 ,再进一步可得答案. 【详解】解:(1)设△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都为 1份; ∵��: �� = 3: 2, ∴�� = 1.5��, ∵△ ���与△ ���是以��,��为底边,而高相同, △ ���的面积为 1份, ∴△ ���的面积为 1.5份, ∴△ ���的面积为 2.5份, ∴�△��� = �△��� − �△��� = �△��� + �△��� + �△��� + �四边形���� − �△��� = 1 + 1 + 1 + 1 − 2.5 = 1.5, ∵△ ���与△���是以��, ��为底边,而高相同, ∴��: �� = �△���: �△��� = 1.5: 2.5 = 3: 5 = 3 5 ; 故答案为: 3 5 (2)如图,连接��, ∵��: �� = 3: 5, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 ∴�△��� = 5 8 �△��� = 5 8 (份), ∴�△��� = �△��� + �△��� = 1 + 5 8 − 3 2 = 1 8 (份), 同理:�△��� = �△��� + �△���,�△��� = �△��� + �△���, ��: �� = �△���: �△��� = 1 8 : 3 2 = 1 12 , ∴�阴影 = 1 13 �△��� = 1 13 (份), ∵△ ���的面积为 728, ∴�阴影 = 1 13 �△��� = 1 13 × 728 4 = 14, 故答案为:14 11.【答案】(1)①见解析,②2 (2)�� = 3�� 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用.熟练掌握等高(或同高)的两三 角形面积比等于底边之比是解题的关键. (1)①根据�是��的中点,则�△��� = �△���,�△��� = �△���,从而得�△��� − �△��� = �△��� − �△���,即可得出结论; ②根据�� = 2��,则�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,即�△��� − �△��� = 2�△��� − 2�△��� = 2 �△��� − �△��� ,得出�△��� = 2�△���,即可求 解. (2)连接��,根据�� = 2��,得�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,根据��:�� = 2: 1, 则�△���: �△��� = 2: 1,�△��� = 2�△���,设�△��� = �,�△��� = �,则�△��� = 2�,�△��� = 2�, �△��� = 3�,�△��� = 2� + �,根据�△��� = 2�△���,则�△��� = 3 2 �,从而求得�△��� = �△��� + �△��� + �△��� = � + 3 2 � + 2� = 7 2 � + �,再根据�△��� = 2�△���则 7 2 � + � = 2 2� + � 求得 � = 2�,则有�△��� �△��� = �3 2� = �3 2×2� = 1 3 ,所以 �� �� = �△��� �△��� = 1 3 ,即可得出�� = 3��. 【详解】解:(1)①∵�是��的中点, ∴�△��� = �△���,�△��� = �△���, ∴�△��� − �△��� = �△��� − �△���, ∴�△��� = �△���; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 ②∵�� = 2��, ∴�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���, ∴�△��� − �△��� = 2�△��� − 2�△��� = 2 �△��� − �△��� , ∴�△��� = 2�△���, ∴�△���: �△��� = 2: 1 = 2. (2)连接��, ∵�� = 2��, ∴�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���, ∵��:�� = 2: 1, ∴�△���: �△��� = 2: 1,�△��� = 2�△���, 设�△��� = �,�△��� = �,则�△��� = 2�,�△��� = 2�,�△��� = 3�,�△��� = 2� + �, ∵�△��� = 2�△���, ∴�△��� = 3 2 �, ∴�△��� = �△��� + �△��� + �△��� = � + 3 2 � + 2� = 7 2 � + �, ∵�△��� = 2�△���, ∴ 7 2 � + � = 2 2� + � , ∴� = 2�, ∴ �△��� �△��� = �3 2� = �3 2×2� = 1 3 , ∴ �� �� = �△��� �△��� = 1 3 , ∴�� = 3��. 12.【答案】(1)48 (2)45° (3)不发生改变,2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求面积 【分析】(1)由∠��� = 90°,�� = 2��,可得�△��� = 2 3 �△���,由�� = ��,可得�△��� = �△��� = 2 3 ⋅ 1 2 ⋅ �� ⋅ ��,计算求解即可; (2)由�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,可得∠��� = ∠���,由三角形内角和定理,对顶角相等可得 ∠��� = ∠���,证明△ ��� ≌△ ��� ASA ,则�� = ��,进而可得△���是等腰直角三角 形,∠��� = 45°; (3)如图,作�� ⊥ ��交��于点�,同理(2)可证,△ ��� ≌△ ��� ASA ,则�� = ��,△ ��� 是等腰直角三角形,�是��的中点,�△��� = 2�△���,由�△��� − �△��� = �△��� + �△��� − �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� = 2�△���,进而可求得 �△���−�△��� �△��� = 2,然后作答 即可. 【详解】(1)解:∵∠��� = 90°,�� = 2��, ∴�△��� = 2�△���, ∴�△��� = 2 3 �△���, ∵�� = ��, ∴�△��� = �△��� = 2 3 ⋅ 1 2 ⋅ �� ⋅ �� = 2 3 × 1 2 × 12 × 12 = 48, ∴△ ���的面积为 48; (2)解:∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��, ∴∠��� +∠��� = 90° =∠��� +∠���, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� +∠��� +∠��� = 180° = ∠��� +∠��� +∠���,∠��� = ∠��� ∠��� = 90° =∠���, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠���,�� = ��,∠��� =∠���, ∴△ ��� ≌△ ��� ASA , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 ∴�� = ��, ∵∠��� = 90°, ∴△���是等腰直角三角形, ∠��� = 45°; (3)解:如图,作�� ⊥ ��交��于点�, 同理(2)可证,△ ��� ≌△ ��� ASA , ∴�� = ��,△ ���是等腰直角三角形, ∵�� ⊥ ��, ∴�是��的中点, ∴�△��� = 2�△���, ∴�△��� − �△��� = �△��� + �△��� − �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� + �△��� − �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� = 2�△���, ∴ �△���−�△��� �△��� = 2 ∴ �△���−�△��� �△��� 的值不发生改变,值为 2. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,中线与面积,全等三角形的判定与性质,三角 形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的判定与性质,中线与面积,全等三角形的判定与 性质,三角形内角和定理是解题的关键. 13.【答案】(1)�� + �� = ��,证明见解析 (2)10 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 (3)�� + �� − �� = �� 【知识点】等边三角形的性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】(1)连结��,设�� = �,则�� = �� = �� = �,则�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��, �△��� = 1 2 � ⋅ ��,由�△��� + �△��� = �△���得到 1 2 � ⋅ �� + 1 2 � ⋅ �� = 1 2 � ⋅ ��,即可证明 �� + �� = ��; (2)连结��、��、��,则�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,由�△��� + �△��� + �△��� = �△���得到 1 2 � ⋅ �� + 1 2 � ⋅ �� + 1 2 � ⋅ �� = 1 2 � ⋅ ��,则�� + �� + �� = �� = 10; (3)连结��、��、��,则�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,�△��� = 1 2 � ⋅ ��,由�△��� + �△��� − �△��� = �△���得到 1 2 � ⋅ �� + 1 2 � ⋅ �� − 1 2 � ⋅ �� = 1 2 � ⋅ ��,则�� + �� − �� = ��. 【详解】(1)解:�� + �� = ��, 证明如下:连结��,如图(1)所示: 设�� = �, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = �� = �� = �, ∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�, ∴ �△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���, ∵ �△��� + �△��� = �△���, ∴ 1 2 ���+ 1 2 ��� = 1 2 ���, ∴ �� + �� = ��; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 19 (2)解:连结��、��、��,如图(2)所示: 设�� = �, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = �� = �� = �, ∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�, ∴ �△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���, ∵ �△��� + �△��� + �△��� = �△���, ∴ 1 2 ���+ 1 2 ��� + 1 2 ��� = 1 2 ���, ∴ �� + �� + �� = ��, ∵ �� = 10, ∴ �� + �� + �� = 10, ∴ �� + �� + ��的值为 10; (3)解:�� + �� − �� = ��, 理由如下:连结��、��、��,如图(3)所示: 设�� = �, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = �� = �� = �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 20 ∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�, ∴ �△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���,�△��� = 1 2 ���, ∵ �△��� + �△��� − �△��� = �△���, ∴ 1 2 ���+ 1 2 ��� − 1 2 ��� = 1 2 ���, ∴ �� + �� − �� = ��. 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的 相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法,正确地作出所需要的辅助线并 且列出相应的面积等式是解题的关键. 14.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)180 13 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积 【分析】(1)根据“智慧三角形”的概念证明即可; (2)根据平角定义、三角形内角和定理及三角形外角定理求出∠CAB的度数,即可证明结论 成立; (3)连接 GI、CG,分别过点 E、C、K作�� ⊥ ��,CK⊥DE,BJ⊥GD,垂足分别为点 H、 K、J,设�△��� = �△��� = 2�,�△��� = �△��� = 3�,从而得 �△��� �△��� = �△��� �△��� = 3 5 ,�△��� = 5, �△��� = �△��� = 3,设�△��� = � = �△���,得�△��� = � + 2, �△��� = �△��� − �△��� = 6 − 2�,由�△��� �△��� = 3 5 = 6−2� �+2 解得� = 24 13 ,即可求解. 【详解】(1)证明:∵∠� = ∠� = 45°,∠�+∠�+∠��� = 180°, ∴∠��� = 180° −∠� −∠� = 90°, ∵∠��� = ∠���,∠��� +∠��� +∠� = 180°,∠� = 45°, ∴∠��� = ∠���= 180°-45° 2 =67.5°, ∴∠BAD=∠ADC-∠B=67.5° − 45° = 22.5°, ∴∠B=2∠BAD, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 21 ∴△ ���是“智慧三角形”. (2)证明:∵∠BDE=∠BDF+∠EDF=∠C+∠CED,∠CDF=∠EDC+∠EDF=∠B+∠BFD, ∠��� =∠���,∠��� =∠���,∠��� = 45°,∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°, ∴∠BDE+∠CDF=45°+180°=∠C+∠CED+∠B+∠BFD=∠C+∠B+∠CDE +∠BDF=∠C+∠ B+180°-45°, ∴∠C+∠B=90°, ∴�� ⊥ ��; 在△ ���中,在AB、AC、BC上分别取点F、点E、点D,连接DE、DF,∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,∠��� = 45°. (3)解:连接 GI、CG,分别过点 E、C、K作�� ⊥ ��,CK⊥DE,BJ⊥GD,垂足分别为点 H、K、J, ∵�� = 2 5 ��, ∴设�△��� = �△��� = 2�,�△��� = �△��� = 3�, ∵ E为 DG的中点, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 22 ∴ �△��� �△��� = 1 2��⋅�� 1 2��⋅�� = �� �� = 1 2��⋅�� 1 2��⋅�� = �△��� �△��� = 3 5 , ∴�△��� = 5 8 �△��� = 5 4 �, ∵△ ���的面积为 25, ∴2� + 3� + 5 4 � = 25 , ∴� = 4 ∴�△��� = 5, �△��� = �△��� = 3 ∴�△��� − �△��� = 2 �△��� − �△��� = 2 设�△��� = � = �△��� ∴�△��� = � + 2, �△��� = �△��� − �△��� = 6 − 2� ∴ �△��� �△��� = 1 2��⋅�� 1 2��⋅�� = 3 5 = 6−2� �+2  � = 24 13 ∴�四���� = �△��� + �△��� = 3 × 4 + 24 13 = 180 13 【点睛】本题主要考查了新定义,直角三角形的判定及性质,三角形的内角和定理,三角形的 面积等知识,熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.

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专项1 三角形的三线与面积问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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