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1
专项 1 三角形的三线与面积问题
1.△ ���中,�� = 6,��边上的高�� = 3,�� = 2,则△ ���的面积是( )
A.6 B.12 C.6或 12 D.以上都不对
2.如图,已知��是∠���的平分线,�� ⊥ ��,若�△��� = 12cm2,则△ ���的面积等于
( )
A.24cm2 B.30cm2 C.36cm2 D.48cm2
3.如图,在△ ���中,�� = �� = 8,△ ���的面积是 24,点�为��的中点,点�为线段��
上的动点,点�为边��上的动点,则�� + ��的最小值为 .
4.如图,在△ ���中,点�是线段��的中点,点�将线段��分成��: �� = 2: 5,若四边形����
的面积是 22,则△ ���的面积是 .
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2
5.已知如图,��是△ ���的角平分线,且�� ⊥ ��于点�.
(1)如图 1,求证:�� = ��;
(2)如图 2,∠��� = 30°,点�在��上,连接��并延长交��于点�,��交��的延长线于点�,
∠��� = ∠���,连接��,�� = 2,△ ���的面积是△ ���的面积的2
3
,求��的长.
6.【数学经验】三角形的中线,角平分线,高是三角形的重要线段,我们知道,三角形的 3 条
高所在直线交于同一点.
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3
(1)①如图 1, △ ���中, ∠� = 90°,则△ ���的三条高所在的直线交于点 ;②如图 2,
△ ���中, ∠��� > 90°,已知两条高��,��,请你仅用一把无刻度的直尺(仅用于过任意
两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出 △ ���的第三条高.(不写画法,保留作图
痕迹).
【综合应用】
(2)如图 3,在 △ ���中,∠��� > ∠�,��平分∠���,过点 B作��边上的高线��交��
于点 E.
①若 ∠��� = 86°,∠� = 36°,则 ∠��� = ;
②请写出∠���与∠���,∠�之间的数量关系,并说明理由.
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,如果两个三角形的高相同,则它们的面
积比等于对应底边的比,如图 4,点 M是��上一点,则有 �△���
�△���
= ��
��
.如图 5,△ ���中,点
M是��上一点且 �� = 1
4
��,点 N是��的中点,若△ ���的面积是 m,请直接写出四边形
����的面积 .(用含 m的代数式表示)
7.如图,四边形����面积为 11 cm2,�� = 2��,�� = 3��,则△ ���的面积等于( )
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4
A.36 cm2 B.40 cm2 C.44 cm2 D.48 cm2
8.如图,在等腰三角形���中,�� = �� = 4,点�为��的中点,连结��. 以��为边向左作
△ ���,且∠��� = 90°,��∥��.连结��,记△ ���和△ ���的面积分别为�1和�2,则
3
2
�1 −
�2的最大值是( )
A.4 B.6 C.4 2 D.8
9.如图,△ ���中,�� = �� = 3,∠���的角平分线�� ⊥ ��于�,�为��的中点,则图中
两个阴影部分面积之差的最大值( )
A.1.5 B.3 C.4.5 D.9
10.如图;在△ ���中,△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都相等.若��: �� = 3: 2,
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5
△ ���的面积为 728.(注:符号“△”表示“三角形”三个字)
(1)线段��与线段��的比值��
��
= ;
(2)△ ���的面积是 .
11.【问题情境】如图 6,��是△ ���的中线,△ ���与△ ���的面积有怎样的数量关系?小
明同学经过思考,给出以下解答:
在图中过 A作�� ⊥ ��于点�.
∵ ��是△ ���的中线,
∴ �� = 1
2
��.
∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
⋅ 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�△���
据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.
【深入探究】
(1)如图,点�在△ ���的边��上,点�在��上.
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①若�是��的中点,求证:�△��� = �△���;
②若�� = 2��,则�△���:�△��� = .
【拓展延伸】
(2)如图,�在��上,�在��上,且�� = 2��,��:�� = 2: 1,求��与��的数量关系.
12.已知△ ���中,∠��� = 90°,�� = ��,�为边��上一点,点�在��延长线上,连接��、��.
(1)如图 1,已知�� = 2��,�� = ��,当�� = 12时,求△ ���的面积;
(2)如图 2,过点�作��的垂线,分别交��、��于点�、�,过点�作�� ⊥ ��交��于�,连接��,
求∠���的度数;
(3)如图 3,当点�在��上运动,且∠���始终为 90°时,过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,则
�△���−�△���
�△���
的值是否发生改变?若不变,求出这个值;若发生改变,说明理由.
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13.数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等,这种方法被称为“面积法”.已知等边
△ ���,点�是平面上任意一点,设点�到△���边��、��边的距离分别为��、��,△ ���
的��边上的高为��.回答以下问题:
(1)如图(1),若点�在三角形的��边上,��、��、��存在怎样的数量关系?请给出证明过
程.
(2)如图(2),当点�在△ ���内,已知�� = 10,求�� + �� + ��的值.
(3)如图(3),当点�在△ ���外,请直接写出��与��、��、��的数量关系,不用证明.
14.在一个三角形中,如果一个角是另一个角的 2倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角
形”.如,三个内角分别为 120°, 40°, 20°的三角形是“智慧三角形”.
(1)如图 1,在△ ���中,∠� = ∠� = 45°,在 BC上取一点 D,连接 AD,∠��� = ∠���.求
证:△ ���是“智慧三角形”.
(2)如图 2,在△ ���中,在 AB、AC、BC上分别取点 F、点 E、点 D,连接 DE、DF,∠��� =
∠���,∠��� =∠���,∠��� = 45°.求证:�� ⊥ ��.
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(3)如图 3,在(2)的条件下,△ ���的面积为 25,�� = 2
5
��,延长 DE、BA交于点 G,且
E为 DG的中点,连接 BE、AD交于点 I.求四边形 EIDC的面积.
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专项 1 三角形的三线与面积问题
1.【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查三角形面积的计算,熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键.根据题
意得出��的长度,再利用三角形面积公式求出△ ���的面积即可,注意分类讨论.
【详解】解:当��在△ ���内部时,
∵�� = 6, �� = 2,
∴�� = �� − �� = 4,
又��边上的高�� = 3,
∴△ ���的面积是1
2
× 4 × 3 = 6;
当��在△ ���外部时,
∵�� = 6, �� = 2,
∴�� = �� + �� = 8,
又��边上的高�� = 3,
∴△ ���的面积是1
2
× 8 × 3 = 12;
综上,△ ���的面积是 6或 12,
故选:C.
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2
2.【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)
【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定,解题的关键是熟练运用三角形的
角平分线和全等三角形的判定.延长��交��于点 C,根据题意,易证△ ��� ≌△ ��� ASA ,
因为△ ���和△���同高等底,所以面积相等,根据等量代换便可得出�△��� = 2�△��� =
24cm2.
【详解】解:如图所示,延长��,交��于点 D,
,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵��是∠���的角平分线,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = ��,
∴�△��� = �△���,
∵△ ���和△���同底等高,
∴�△��� = ����,
∴�△��� = ���� + �△��� = �△��� + �△���,
∴�△��� = 2�△��� = 24cm2,
故选:A.
3.【答案】6
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3
【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质、与三角形的高有关的计算问题、垂线段最短
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,垂线段最短,过点�作�� ⊥ ��
于�,由等腰三角形三线合一可得��为��的垂直平分线,即得�� = ��,进而得�� + �� =
�� + ��,即可得�� + ��的最小值即为垂线段��的长,利用三角形面积求出��即可求解,得
出�� + ��的最小值为垂线段��的长是解题的关键.
【详解】解:过点�作�� ⊥ ��于�,
∵�� = �� = 8,
∴�� ⊥ ��,
∴��为��的垂直平分线,
∴�� = ��,
∴�� + �� = �� + ��,
∴�� + ��的最小值即为垂线段��的长,
∵△ ���的面积是 24,
∴
1
2
× 8 × �� = 24,
∴�� = 6,
∴�� + ��的最小值为 6,
故答案为:6.
4.【答案】18
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】连接��,设�△��� = �,�△��� = �,由题意可知�四边形���� = � + � = 22,结合中点
及��: �� = 2: 5,可得�△��� = �△��� = �,�△��� = �△��� =
1
2
�△���,�△��� =
5
2
�△��� = 55 +
5
2
�,�△��� =
3
2
�△��� =
3
2
�,进而�△��� = �△��� + �四边形���� =
3
2
� + 22 = 1
2
�△���,整理得
3
2
� +
22 = 1
2
55 + 5
2
� ,求出�,�的值即可求得△ ���的面积.
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4
【详解】解:连接��,设�△��� = �,�△��� = �,
∵四边形����的面积是 22,
∴�四边形���� = � + � = 22,
∵点�是线段��的中点,
∴�△��� = �△��� = �,�△��� = �△��� =
1
2
�△���,
则�△��� = �△��� + �四边形���� = 22 + �,
∵��: �� = 2: 5,则��: �� = 2: 3
∴�△��� =
2
5
�△���,�△��� =
2
3
�△���,
即:�△��� =
5
2
�△��� = 55 +
5
2
�,�△��� =
3
2
�△��� =
3
2
�,
则�△��� = �△��� + �四边形���� =
3
2
� + 22 = 1
2
�△���,
∴
3
2
� + 22 = 1
2
55 + 5
2
� ,
解得:� = 12,� = 10,
∴�△��� =
3
2
�△��� =
3
2
� = 18,
故答案为:18.
【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积问题,利用等高求得面积之比是解决问题的关键.
5.【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三线合一证明、全等的性质和 SAS综合(SAS)、
与三角形的高有关的计算问题
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5
【分析】(1)证明△ ��� ≌△ ���(ASA)即可得到结论;
(2)过�作�� ⊥ ��于�,求出∠��� = 60° = ∠���,证明△ ��� ≌△ ���,得到
�△���: �△��� = 2: 3,得出�△���: �△��� = 1: 3,证明△��� ≌△ ���,得到�△���: �△��� = 1: 3,
从而得到��: �� = 1: 3,即可求解.
【详解】(1)证明:∵��是△ ���的角平分线,
∴∠��� =∠���,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� =∠��� = 90°,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
∴△ ��� ≌△ ���(ASA),
∴�� = ��;
(2)过�作�� ⊥ ��于�,
∵�� = ��,∠��� = 30°,�� ⊥ ��,
∴∠��� =∠��� = 60°
∴∠��� = 60° = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
∴△ ��� ≌△ ���(ASA),
∴�� = ��.
∵�△���: �△��� = 2: 3,
∴�△���: �△��� = 2: 3,
∴�△���: �△��� = 1: 3,
在△ ���和△ ���中,
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6
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�△���: �△��� = 1: 3,
∴
1
2
�� ⋅ �� : 1
2
�� ⋅ �� = 1: 3,
∴��: �� = 1: 3,
∵�� = 2,
∴�� = 6.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角
形的面积等知识,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
6.【答案】(1)①�;②作图见解析部分;(2)①25°;②2∠��� = ∠��� −∠�;(3)9
20
�.
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题是四边形综合题目,考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三
角形内角和定理、三角形的面积等知识;本题综合性强,熟练掌握三角形的三条高交于一点和
三角形面积关系是解题的关键.
(1)①由直角三角形三条高的定义即可得出结论;
②延长��、��交于点�,连接��,延长��交��于点�,则��为△ ���的第三条高;
(2)①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠��� = 1
2
∠��� = 29°,再由直角三角形的性
质得∠��� = 61°,即可求解;
②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可;
(3)连接��,由中线的性质得�△��� = �△���,同理�△��� = �△���,设�△��� = �△��� = �,
则�△��� = �△��� =
1
2
�,再求出�△��� =
3
4
�△��� =
3
8
�− 3
4
�,�△��� =
3
4
�△��� =
3
4
�,然后由
面积关系求出� = 3
10
�,即可解决问题.
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【详解】解:(1)①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点,∠� = 90°,
∴△ ���的三条高所在直线交于点�,
故答案为:�;
②如图 2,延长��、��交于点�,连接��,延长��交��于点�,则线段��为△ ���的第三条
高;
(2)①∵∠��� = 86°,∠� = 36°,
∴∠��� = 58°,
∵ ��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 29°,
∵ �� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° − 29° = 61°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 86° − 61° = 25°,
故答案为:25°;
②∠���与∠���,∠�之间的数量关系为:2∠��� = ∠��� −∠���,理由如下:
∵ �� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠���,
∴∠��� = ∠��� −∠��� =∠��� +∠��� − 90°,
∵ ��平分∠���,
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8
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∵∠��� = 180° −∠��� −∠���,
∴∠��� = 90° − 1
2
∠��� − 1
2
∠���,
∴∠��� = ∠��� +∠��� − 90° = ∠��� + 90° − 1
2
∠��� − 1
2
∠��� − 90° = 1
2
∠��� −
1
2
∠���,
∴ 2∠��� =∠��� −∠���,
即 2∠��� = ∠��� −∠�;
(3)连接��,如图 5所示:
∵ �是��的中点,
∴ �△���
�△���
= ��
��
= 1,
∴ �△��� = �△���,
同理:�△��� = �△���,
设�△��� = �△��� = �,
∵△ ���的面积是�,
∴ �△��� = �△��� =
1
2
�,
∴ �△��� = �△��� =
1
2
�− �,
∵ �� = 1
4
��,
∴ ��
��
= 1
3
,
∴ �△���
�△���
= ��
��
= 1
3
,
�△���
�△���
= ��
��
= 1
3
,
∴ �△��� = 3�△���,�△��� = 3�△���,
∴ �△��� =
3
4
�△��� =
3
4
× ( 1
2
�− �) = 3
8
�− 3
4
�,�△��� =
3
4
�△��� =
3
4
�,
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∵ �△��� = �四边形���� + �△��� = �△��� + �△��� + �△���,
即:
3
4
� = 3
8
�− 3
4
� + � + �,
解得:� = 3
10
�,
∴ �四边形���� = �△��� + �△��� =
3
8
�− 3
4
× 3
10
�+ 3
10
� = 9
20
�.
故答案为:
9
20
�
7.【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】连接��,设�△��� = �,�△��� = �,根据已知得出 3� + � = 11①,进而得出
�△���
�△���
= ��
��
=
�+�
2 �+�
= 1
2
,可得 8� = �②,解方程组,即可求解.
【详解】解:如图所示,连接��,
设�△��� = �,�△��� = �
∵�� = 2��
∴�△��� = 2�,�△��� = 2�,
∵�� = 3��,
∴
�△���
�△���
= 1
3
,即
�+�
11+2�
= 1
3
整理得 3� + � = 11①
∵�△��� = 2�,则�△��� = 11 − �△��� = 11 − 2� = 3� + � − 2� = � + �
�△��� = �△��� + �△��� = 2� + 2� = 2 � + �
∴
�△���
�△���
= ��
��
= �+�
2 �+�
= 1
2
∴
�△���
�△���
= �+11
3�
= 1
2
即
�+ 3�+�
3�
= 1
2
解得 8� = �②
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联立①②得
� = 1
� = 8
∴�△��� = �△��� + �△��� = 11 + � + 3� = 11 + 1 + 24 = 36,
故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,三角形面积公式,得出
��
��
= 1
2
是解题的关键.
8.【答案】D
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA(AAS)
综合(ASA或者 AAS)、根据三角形中线求长度
【分析】取��的中点�,连接��, ��,得出�△��� = 2�△���,进而证明△ ��� ≌△ ��� ASA
得出�△��� = �△��� = �2,结合已知条件得出�1 = 2�2,进而可得
3
2
�1 − �2 = �△���,即可求解.
【详解】解:如图所示,取��的中点�,连接��, ��,
∵∠��� = 90°,
∴�� = �� = ��,
∴�△��� = 2�△���,
∵�� = �� = 4,�为��的中点,
∴∠��� = ∠���,�� ⊥ ��
∵��∥��
∴∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠���
又∵�� = ��,�� = ��
∴�� ⊥ ��
∴∠��� = ∠��� = 90°,
在△ ���, △ ���中,
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11
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠��� = 90°
∴△ ��� ≌△ ��� ASA
∴�△��� = �△��� = �2
又∵�△��� = �2
∴�△��� = 2�△��� = 4�△��� = 4�2
∵点�为��的中点,
∴�△��� = �△��� =
1
2
�△��� = �1
∴�△��� = 2�1,
∴�1 = 2�2
∴
3
2
�1 − �2 = 3�2 − �2 = 2�2 = 2�△��� = �△���
∴当�� ⊥ ��时,�△���取得最大值,即
3
2
�1 − �2的最大值是
1
2
× �� × �� = 1
2
× 4 × 4 = 8.
故选:D.
【点睛】本题考查了三角形中线的性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,全等三
角形的性质与判定,等腰三角形性质与判定,垂直平分线的性质与判定,得出�1 = 2�2是解题
的关键.
9.【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,首先证明两个阴影部
分面积之差= �△���,当�� ⊥ ��时,△ ���的面积最大.解题的关键是学会用转化的思想思
考问题.
【详解】解:延长��交��于点�.设��交��于点�.
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12
∵ �� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°,∠� +∠��� = 90°,
∵∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠�,
∴ �� = ��,
∵ �� ⊥ ��,
∴ �� = ��,
∵ �� = ��,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠� = 90°,∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠�,
∴ �� = �� = ��,
∵ �� = ��,
∴ �△��� =
1
4
�△���,�△��� =
1
4
�△���,
∵ �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△���,
∵ �� = �� = 3,
∴当�� ⊥ ��时,△ ���的面积最大,最大面积为1
2
× 3 × 3 = 4.5.
故选:C.
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13
10.【答案】 3
5
/0.6 14
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查的是比的应用,等底等高的两个三角形的面积之间的关系;
(1)设△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都为 1份;可得△ ���的面积为 1.5份,
△ ���的面积为 2.5份,再进一步解答即可;
(2)如图,连接��,由��:�� = 3: 5,可得�△��� =
5
8
�△��� =
5
8
(份),�△��� = �△��� + �△��� =
1+ 5
8
− 3
2
= 1
8
(份),同理:�△��� = �△��� + �△���,�△��� = �△��� + �△���,可得��: �� =
�△���: �△��� =
1
8
: 3
2
= 1
12
,再进一步可得答案.
【详解】解:(1)设△ ���、△ ���、△ ���和四边形����的面积都为 1份;
∵��: �� = 3: 2,
∴�� = 1.5��,
∵△ ���与△ ���是以��,��为底边,而高相同,
△ ���的面积为 1份,
∴△ ���的面积为 1.5份,
∴△ ���的面积为 2.5份,
∴�△��� = �△��� − �△��� = �△��� + �△��� + �△��� + �四边形���� − �△��� = 1 + 1 + 1 + 1 −
2.5 = 1.5,
∵△ ���与△���是以��, ��为底边,而高相同,
∴��: �� = �△���: �△��� = 1.5: 2.5 = 3: 5 =
3
5
;
故答案为:
3
5
(2)如图,连接��,
∵��: �� = 3: 5,
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14
∴�△��� =
5
8
�△��� =
5
8
(份),
∴�△��� = �△��� + �△��� = 1 +
5
8
− 3
2
= 1
8
(份),
同理:�△��� = �△��� + �△���,�△��� = �△��� + �△���,
��: �� = �△���: �△��� =
1
8
: 3
2
= 1
12
,
∴�阴影 =
1
13
�△��� =
1
13
(份),
∵△ ���的面积为 728,
∴�阴影 =
1
13
�△��� =
1
13
× 728
4
= 14,
故答案为:14
11.【答案】(1)①见解析,②2
(2)�� = 3��
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用.熟练掌握等高(或同高)的两三
角形面积比等于底边之比是解题的关键.
(1)①根据�是��的中点,则�△��� = �△���,�△��� = �△���,从而得�△��� − �△��� = �△��� −
�△���,即可得出结论;
②根据�� = 2��,则�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,即�△��� − �△��� = 2�△��� −
2�△��� = 2 �△��� − �△��� ,得出�△��� = 2�△���,即可求 解.
(2)连接��,根据�� = 2��,得�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,根据��:�� = 2: 1,
则�△���: �△��� = 2: 1,�△��� = 2�△���,设�△��� = �,�△��� = �,则�△��� = 2�,�△��� = 2�,
�△��� = 3�,�△��� = 2� + �,根据�△��� = 2�△���,则�△��� =
3
2
�,从而求得�△��� = �△��� +
�△��� + �△��� = � +
3
2
� + 2� = 7
2
� + �,再根据�△��� = 2�△���则
7
2
� + � = 2 2� + � 求得
� = 2�,则有�△���
�△���
= �3
2�
= �3
2×2�
= 1
3
,所以
��
��
= �△���
�△���
= 1
3
,即可得出�� = 3��.
【详解】解:(1)①∵�是��的中点,
∴�△��� = �△���,�△��� = �△���,
∴�△��� − �△��� = �△��� − �△���,
∴�△��� = �△���;
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15
②∵�� = 2��,
∴�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,
∴�△��� − �△��� = 2�△��� − 2�△��� = 2 �△��� − �△��� ,
∴�△��� = 2�△���,
∴�△���: �△��� = 2: 1 = 2.
(2)连接��,
∵�� = 2��,
∴�△��� = 2�△���,�△��� = 2�△���,
∵��:�� = 2: 1,
∴�△���: �△��� = 2: 1,�△��� = 2�△���,
设�△��� = �,�△��� = �,则�△��� = 2�,�△��� = 2�,�△��� = 3�,�△��� = 2� + �,
∵�△��� = 2�△���,
∴�△��� =
3
2
�,
∴�△��� = �△��� + �△��� + �△��� = � +
3
2
� + 2� = 7
2
� + �,
∵�△��� = 2�△���,
∴
7
2
� + � = 2 2� + � ,
∴� = 2�,
∴
�△���
�△���
= �3
2�
= �3
2×2�
= 1
3
,
∴
��
��
= �△���
�△���
= 1
3
,
∴�� = 3��.
12.【答案】(1)48
(2)45°
(3)不发生改变,2
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、
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16
三角形内角和定理的应用、根据三角形中线求面积
【分析】(1)由∠��� = 90°,�� = 2��,可得�△��� =
2
3
�△���,由�� = ��,可得�△��� =
�△��� =
2
3
⋅ 1
2
⋅ �� ⋅ ��,计算求解即可;
(2)由�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,可得∠��� = ∠���,由三角形内角和定理,对顶角相等可得
∠��� = ∠���,证明△ ��� ≌△ ��� ASA ,则�� = ��,进而可得△���是等腰直角三角
形,∠��� = 45°;
(3)如图,作�� ⊥ ��交��于点�,同理(2)可证,△ ��� ≌△ ��� ASA ,则�� = ��,△ ���
是等腰直角三角形,�是��的中点,�△��� = 2�△���,由�△��� − �△��� = �△��� + �△��� −
�△��� − �△��� = �△��� − �△��� = �△��� = 2�△���,进而可求得
�△���−�△���
�△���
= 2,然后作答
即可.
【详解】(1)解:∵∠��� = 90°,�� = 2��,
∴�△��� = 2�△���,
∴�△��� =
2
3
�△���,
∵�� = ��,
∴�△��� = �△��� =
2
3
⋅ 1
2
⋅ �� ⋅ �� = 2
3
× 1
2
× 12 × 12 = 48,
∴△ ���的面积为 48;
(2)解:∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴∠��� +∠��� = 90° =∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠��� +∠��� = 180° = ∠��� +∠��� +∠���,∠��� = ∠���
∠��� = 90° =∠���,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,�� = ��,∠��� =∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
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17
∴�� = ��,
∵∠��� = 90°,
∴△���是等腰直角三角形, ∠��� = 45°;
(3)解:如图,作�� ⊥ ��交��于点�,
同理(2)可证,△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = ��,△ ���是等腰直角三角形,
∵�� ⊥ ��,
∴�是��的中点,
∴�△��� = 2�△���,
∴�△��� − �△��� = �△��� + �△��� − �△��� − �△���
= �△��� − �△���
= �△��� + �△��� − �△��� − �△���
= �△��� − �△���
= �△��� − �△���
= �△���
= 2�△���,
∴
�△���−�△���
�△���
= 2
∴
�△���−�△���
�△���
的值不发生改变,值为 2.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,中线与面积,全等三角形的判定与性质,三角
形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的判定与性质,中线与面积,全等三角形的判定与
性质,三角形内角和定理是解题的关键.
13.【答案】(1)�� + �� = ��,证明见解析
(2)10
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18
(3)�� + �� − �� = ��
【知识点】等边三角形的性质、与三角形的高有关的计算问题
【分析】(1)连结��,设�� = �,则�� = �� = �� = �,则�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅ ��,
�△��� =
1
2
� ⋅ ��,由�△��� + �△��� = �△���得到
1
2
� ⋅ �� + 1
2
� ⋅ �� = 1
2
� ⋅ ��,即可证明
�� + �� = ��;
(2)连结��、��、��,则�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅
��,由�△��� + �△��� + �△��� = �△���得到
1
2
� ⋅ �� + 1
2
� ⋅ �� + 1
2
� ⋅ �� = 1
2
� ⋅ ��,则�� +
�� + �� = �� = 10;
(3)连结��、��、��,则�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅ ��,�△��� =
1
2
� ⋅
��,由�△��� + �△��� − �△��� = �△���得到
1
2
� ⋅ �� + 1
2
� ⋅ �� − 1
2
� ⋅ �� = 1
2
� ⋅ ��,则�� +
�� − �� = ��.
【详解】(1)解:�� + �� = ��,
证明如下:连结��,如图(1)所示:
设�� = �,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = �� = �� = �,
∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,
∴ �△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,
∵ �△��� + �△��� = �△���,
∴ 1
2
���+ 1
2
��� = 1
2
���,
∴ �� + �� = ��;
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(2)解:连结��、��、��,如图(2)所示:
设�� = �,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = �� = �� = �,
∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,
∴ �△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,
∵ �△��� + �△��� + �△��� = �△���,
∴ 1
2
���+ 1
2
��� + 1
2
��� = 1
2
���,
∴ �� + �� + �� = ��,
∵ �� = 10,
∴ �� + �� + �� = 10,
∴ �� + �� + ��的值为 10;
(3)解:�� + �� − �� = ��,
理由如下:连结��、��、��,如图(3)所示:
设�� = �,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = �� = �� = �,
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20
∵ �� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��于点�,
∴ �△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,�△��� =
1
2
���,
∵ �△��� + �△��� − �△��� = �△���,
∴ 1
2
���+ 1
2
��� − 1
2
��� = 1
2
���,
∴ �� + �� − �� = ��.
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的
相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法,正确地作出所需要的辅助线并
且列出相应的面积等式是解题的关键.
14.【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)180
13
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积
【分析】(1)根据“智慧三角形”的概念证明即可;
(2)根据平角定义、三角形内角和定理及三角形外角定理求出∠CAB的度数,即可证明结论
成立;
(3)连接 GI、CG,分别过点 E、C、K作�� ⊥ ��,CK⊥DE,BJ⊥GD,垂足分别为点 H、
K、J,设�△��� = �△��� = 2�,�△��� = �△��� = 3�,从而得
�△���
�△���
= �△���
�△���
= 3
5
,�△��� =
5, �△��� = �△��� = 3,设�△��� = � = �△���,得�△��� = � + 2, �△��� = �△��� − �△��� = 6 −
2�,由�△���
�△���
= 3
5
= 6−2�
�+2
解得� = 24
13
,即可求解.
【详解】(1)证明:∵∠� = ∠� = 45°,∠�+∠�+∠��� = 180°,
∴∠��� = 180° −∠� −∠� = 90°,
∵∠��� = ∠���,∠��� +∠��� +∠� = 180°,∠� = 45°,
∴∠��� = ∠���= 180°-45°
2
=67.5°,
∴∠BAD=∠ADC-∠B=67.5° − 45° = 22.5°,
∴∠B=2∠BAD,
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21
∴△ ���是“智慧三角形”.
(2)证明:∵∠BDE=∠BDF+∠EDF=∠C+∠CED,∠CDF=∠EDC+∠EDF=∠B+∠BFD,
∠��� =∠���,∠��� =∠���,∠��� = 45°,∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°,
∴∠BDE+∠CDF=45°+180°=∠C+∠CED+∠B+∠BFD=∠C+∠B+∠CDE +∠BDF=∠C+∠
B+180°-45°,
∴∠C+∠B=90°,
∴�� ⊥ ��;
在△ ���中,在AB、AC、BC上分别取点F、点E、点D,连接DE、DF,∠��� = ∠���,∠��� =
∠���,∠��� = 45°.
(3)解:连接 GI、CG,分别过点 E、C、K作�� ⊥ ��,CK⊥DE,BJ⊥GD,垂足分别为点
H、K、J,
∵�� = 2
5
��,
∴设�△��� = �△��� = 2�,�△��� = �△��� = 3�,
∵ E为 DG的中点,
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22
∴
�△���
�△���
=
1
2��⋅��
1
2��⋅��
= ��
��
=
1
2��⋅��
1
2��⋅��
= �△���
�△���
= 3
5
,
∴�△��� =
5
8
�△��� =
5
4
�,
∵△ ���的面积为 25,
∴2� + 3� + 5
4
� = 25 ,
∴� = 4
∴�△��� = 5, �△��� = �△��� = 3
∴�△��� − �△��� = 2 �△��� − �△��� = 2
设�△��� = � = �△���
∴�△��� = � + 2, �△��� = �△��� − �△��� = 6 − 2�
∴
�△���
�△���
=
1
2��⋅��
1
2��⋅��
= 3
5
= 6−2�
�+2
� = 24
13
∴�四���� = �△��� + �△��� = 3 × 4 +
24
13
= 180
13
【点睛】本题主要考查了新定义,直角三角形的判定及性质,三角形的内角和定理,三角形的
面积等知识,熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.