专题02 线段的垂直平分线与角的平分线重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 作已知线段的垂直平分线 题型二 根据垂直平分线的性质求长度 题型三 根据垂直平分线的性质求周长 题型四 根据垂直平分线的性质求角度 题型五 利用垂直平分线的性质求最值 题型六 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型七 垂直平分线的判定与性质综合 题型八 垂直平分线的判定与性质应用 题型九 垂直平分线常见辅助线添加 题型十 作垂线（尺规作图） 题型十一 角平分线性质定理及证明 题型十二 角平分线的性质定理 题型十三 角平分线的判定定理 题型十四 角平分线性质的实际应用 题型十五 作角平分线（尺规作图） 题型十六 轨迹 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 1．（23-24七年级下·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求长度】 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求周长】 【例3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，，分别为，的垂直平分线，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接．则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求角度】 【例4】（2024·上海·模拟预测）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 1．（23-24八年级上·上海青浦期中）如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海徐汇期中）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 3．（23-24八年级上·上海金山期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质求最值】 【例5】（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为                         （     ） A．100° B．105° C．120° D．150° 2．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为 ． 3．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【经典例题六 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例6】（23-24八年级上·上海杨浦·客户作业）如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·上海静安·阶段练习）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 3．（23-24八年级上·上海金山·阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【经典例题七 垂直平分线的判定与性质综合】 【例7】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 1．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 2．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 3．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【经典例题八 垂直平分线的判定与性质应用】 【例8】（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 1．（23-24八年级上·上海杨浦·课后作业）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 2．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【经典例题九 垂直平分线常见辅助线添加】 【例9】（23-24八年级上·上海金山·课后作业）如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 1．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【经典例题十 作垂线（尺规作图）】 【例10】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·吉林长春·一模）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①② 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中． (1)（不写作法，保留作图痕迹）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点E，连结． (2)若的周长等于，求的周长． 【经典例题十一 角平分线性质定理及证明】 【例11】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，，平分交于点E，平分交于点G，若，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024九年级·北京·专题练习）如图，在中，，．以为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，过点作于；以为圆心，的长为半径作．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．与有4个公共点 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，、分别平分和的外角，，，则 ． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【经典例题十二 角平分线的性质定理】 【例12】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④若在线段上有一动点，使得，则；其中正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①②④ 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图中，是三条角平分线的交点，于D，则的长是 ． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，平分，且于点，连接．若，求的值． 【经典例题十三 角平分线的判定定理】 【例13】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知C是线段上任意一点（端点除外），分别以和为边、在的同侧作等边和等边，连接交于点O，连接．以下4个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【经典例题十四 角平分线性质的实际应用】 【例14】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【经典例题十五 作角平分线（尺规作图）】 【例15】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，．借助尺规在边上求作点，使得与的长度比等于，则下列尺规作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，用直尺和圆规作下列图形： (1)边上的中线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (2)的角平分线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (3)作一个角，使它等于（另画图，只要保留痕迹，下结论）． 【经典例题十六 轨迹】 【例16】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，甲、乙、丙三人同时从点出发向点移动，甲的运动路线为一个半圆形的圆弧，乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，若甲、乙、丙的运动速度相等，则谁先到达点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同时到达 1．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，将一个半径为1cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2024周后圆心所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贵港·一模）如图，在中， ，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点经过的路径为点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是（        ） A．7 B．10 C．13 D．16 4．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级·全国·课后作业）到已知角两边距离相等的点的轨迹是 ． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，△ACE中，，交EA的延长线于点D，若，，，则的长为 ． 8．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 9．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 10．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 13．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 14．（2024七年级下·上海·专题练习）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P． (1)当△ABC为等边三角形（如图（1）时，求证：EP＝DP； (2)当△ABC不是等边三角形，但∠ACB＝60°（如图（2））时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 15．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 作已知线段的垂直平分线 题型二 根据垂直平分线的性质求长度 题型三 根据垂直平分线的性质求周长 题型四 根据垂直平分线的性质求角度 题型五 利用垂直平分线的性质求最值 题型六 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型七 垂直平分线的判定与性质综合 题型八 垂直平分线的判定与性质应用 题型九 垂直平分线常见辅助线添加 题型十 作垂线（尺规作图） 题型十一 角平分线性质定理及证明 题型十二 角平分线的性质定理 题型十三 角平分线的判定定理 题型十四 角平分线性质的实际应用 题型十五 作角平分线（尺规作图） 题型十六 轨迹 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 1．（23-24七年级下·广东清远·单元测试）如图， 在中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 根据作图过程可得是线段的垂直平分线，垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等可得，进而可得的长． 【详解】解：根据作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ，， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】23 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键．由作图可得：直线为的垂直平分线，可得，再利用三角形的周长公式进行计算，即可解题． 【详解】解：由题知，直线为的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故答案为：23． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形的周长公式即可解答； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求长度】 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长和相交于点，由，P为边的中点，证明，得到，，推出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：延长和相交于点， ∵， ∴，， ∵P为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，则，由，得，从而，，则便可求出． 【详解】解：因为是边的垂直平分线，， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：12． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键 （1）由垂直平分线的性质可得，，，根据，计算求解即可； （2）由垂直平分线的性质可得，，由的周长为，，可得，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的长为； （2）解：如图， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为7． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求周长】 【例3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据垂直平分，即可得出，进而得到，即可得出的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故选D 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，，分别为，的垂直平分线，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，由垂直平分线得到，由等腰三角形的性质求得，证明为等边三角形，即可求得答案．解题的关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵，分别为，的垂直平分线，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接．则的周长为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，由此推出的周长，即可求得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为. 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，是解题关键： （1）根据中垂线的性质，结合等边对等角即可得出结果； （2）根据等边对等角，三角形的外角，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长． 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求角度】 【例4】（2024·上海·模拟预测）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    1．（23-24八年级上·上海青浦期中）如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对“线段垂直平分线”与“角平分线”的作法理解，解题的关键是知晓作法的过程． 由作法过程可知垂直平分线段，由对称性可得出；再由作法过程知平分，于是得出，故的度数可求． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴点A与点C关于直线对称，则， ∵，且由作图过程知平分， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海徐汇期中）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海金山期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解； 此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质求最值】 【例5】（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 1．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为                         （     ） A．100° B．105° C．120° D．150° 【答案】D 【详解】分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 详解：作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB=105°， ∴∠HAA′=75°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=75°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×75°=150°. 故选D. 点睛：本题考查了轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题的求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线等知识，根据已知得出M、N的位置是解题的关键. 2．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等”； 利用垂直平分线的性质和已知的周长计算． 【详解】解：是的中垂线， ， 则， 又的周长为， 故， 直线上任意一点到、距离和最小为． 故答案为：． 3．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 【经典例题六 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例6】（23-24八年级上·上海杨浦·客户作业）如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质得到，设，，根据三角形内角和定理证明即可． 【详解】解：和的垂直平分线交于点D， ， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 1．（23-24八年级上·上海静安·阶段练习）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 3．（23-24八年级上·上海金山·阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】阅读理解：；；理解与应用：证明见解析；问题解决：，，理由见解析 【分析】阅读理解：由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； 理解与应用：延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； 问题解决：延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则，延长交于，根据 ，，可得，即有，则有． 【详解】阅读理解：解：延长至E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； 理解与应用：证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：    同上可证：， ， ，， ∴是线段的垂直平分线， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； 问题解决：解：，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示：    由（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． 【经典例题七 垂直平分线的判定与性质综合】 【例7】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确； ②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误； ③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确； ④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确． 【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分， 故①正确； ②∵， ∴， ∴ 又∵， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②错误； ③由①得，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ 即， 又∵(已证)， ∴， 故③正确； ④∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，一定正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证． 1．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【经典例题八 垂直平分线的判定与性质应用】 【例8】（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 1．（23-24八年级上·上海杨浦·课后作业）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与垂直平分线的性质，根据题意可得发射塔必须建在线段的垂直平分线上，且在的平分线上，即可求解． 【详解】解：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上， ∴发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处． 答案：B． 2．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题九 垂直平分线常见辅助线添加】 【例9】（23-24八年级上·上海金山·课后作业）如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、， 是的平分线，，， ，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 1．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，平分， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即平分． ∵与不重合， ∴不平分，故③错误； 如图，连接，    ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵，， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【经典例题十 作垂线（尺规作图）】 【例10】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线l的垂直平分线，可得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，是直线l的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 1．（2024·吉林长春·一模）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①② 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是已知两条直角边长；图2对应的是已知一个锐角和斜边长；图3对应的是已知一条直角边和斜边长， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/18厘米 【分析】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，然后利用的周长进行计算． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 的周长为， ， 即， ， 的周长． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中． (1)（不写作法，保留作图痕迹）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点E，连结． (2)若的周长等于，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，结合的周长，得到，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵垂直平分， ∴， ∵的周长， ∴的周长． 【经典例题十一 角平分线性质定理及证明】 【例11】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，，平分交于点E，平分交于点G，若，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等角的余角相等可判断①；利用①的结论可证明∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，从而可判断②；利用平行线的性质可判断③；先求得∠AEC90，再利用利用平行线的性质可判断④ 【详解】解：∵AB//CD， ∴∠AEC=∠FCE，∠BEG=∠CGE， ∵∠CEG=∠CEF+∠FEG=90， ∴∠AEC+∠BEG=180-∠CEG=90， ∴∠AEC=∠CEF， 故EC平分∠AEF，选项①正确； ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠FCE， ∴∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF， ∴EF//AC，故选项②正确； ∵EF//AC， ∴∠A+∠AEF=180，∠AEF=∠EFG， ∴∠EFG+∠A=180°，故选项③正确； ∵AB//CD， ∴∠AEG+∠EGC=180， ∴∠AEC+∠EGC=180-∠CEG=180-90=90， ∵∠ACE=∠AEC， ∴∠AEC=90， ∴90+∠EGC=90， ∴∠EGC=，故选项④正确； 综上，四个选项都正确， 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 1．（2024九年级·北京·专题练习）如图，在中，，．以为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，过点作于；以为圆心，的长为半径作．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．与有4个公共点 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和得到∠ABC=80°，根据角平分线的定义得到∠ABP=∠ABC=40°，故选项A正确；求得∠C=∠PBC，得到PC=PB，故选项B正确；根据三角形的内角和得到∠BPM=50°，求得∠BPM≠∠MBP，于是得到PM≠BM，故C选项错误；根据角平分线的性质得到P到AB和BC的距离=PM=⊙P的半径，求得AB，BC与⊙P相切，得到⊙P与AC相交，于是得到⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确． 【详解】解：，， ， 由题意得，平分， ，故选项正确； ， ， ，故选项B正确； ， ， ， ， ，故C选项错误； 点在的角平分线上， 到和的距离的半径， ，与相切， ，， 与相交， 与有4个公共点，故D选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，、分别平分和的外角，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据平行和角平分线的性质可以证明和，则有两个等腰三角形，就可以证明． 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴． 故答案是：6． 【点睛】本题考查角平分线和平行线的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握前两个性质定理，并能够根据它们得到等腰三角形． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【答案】小亮的说法正确．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理等知识，先证明，得到是的平分线.再利用角平分线的性质即可得到． 【详解】解：小亮的说法正确. 理由：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线. ∵， ∴，， ∴. 【经典例题十二 角平分线的性质定理】 【例12】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，， ∴， ∵点是边上一动点， ∴根据垂线段最短得， 故选：． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④若在线段上有一动点，使得，则；其中正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉角平分线的性质和全等三角形的性质，以及分类讨论思想的应用． 【详解】解：、分别是与的角平分线，， ， ，①正确； ， ， 过点作，，， 、分别是与的角平分线， ∴， 是的平分线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； 当时，线段上只存在一个动点F， 使得，且， 当时，线段上存在两个动点F， 使得，F如图中，， 当平分时，， ∴， 在△BDP和△中， ， ∴， ∴， 当不平分时，显然， ∴④不一定成立，故④错误； ∴正确的是①②． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图中，是三条角平分线的交点，于D，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到三边距离相等，根据三角形面积求解即可． 【详解】解：是三条角平分线的交点， 点到三边距离相等，设为， 则， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，平分，且于点，连接．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．延长线段交线段于点，作交线段的延长线于点，利用角平分线的性质证明，得到，得到即可得到答案． 【详解】解：延长线段交线段于点，作交线段的延长线于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十三 角平分线的判定定理】 【例13】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知C是线段上任意一点（端点除外），分别以和为边、在的同侧作等边和等边，连接交于点O，连接．以下4个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理；由等边三角形的性质得，，，则，即可证明，得，，可判断①正确；可推导出，可判断②正确；作于点，于点，由，且，得，可证明平分，可判断③正确；假设成立，则，可证明，与已知条件不符，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ， 故②正确； 作于点，于点， ， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故③正确； 假设成立，则， ， ， ， ， 显然与已知条件“是线段上任意一点”不符， 不成立， 故④错误， 故选：C． 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的判定和三角形内角和定理，由点在内，且到三边的距离相等，则为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴为三角形三个内角的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键． ①根据即可证明；②根据即可证明，从而判断；③根据即可求出；④根据及可知为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知． 【详解】解：①∵和都是等边三角形 ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，则； ③∵， 而， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴， 而， ∴为等边三角形； ⑤过C点作于H，于Q，如图 ∵， ∴， ∴平分； 故答案为：①③④⑤． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【经典例题十四 角平分线性质的实际应用】 【例14】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 【答案】4 【分析】 此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【详解】 解：如图 故答案为：4． 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 【经典例题十五 作角平分线（尺规作图）】 【例15】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作角平分线等知识．熟练掌握三角形内角和定理，作角平分线是解题的关键． 由题意知，，由作图可知，为的平分线，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 由作图可知，为的平分线， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，．借助尺规在边上求作点，使得与的长度比等于，则下列尺规作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积、角平分线的判定、尺规作图-作角平分线等知识，根据题意，在上找一点，若点使得与的长度比等于，如图所示，再过点作、，如图所示，利用、的面积公式证得，即是中的角平分线，从而确定答案，熟记尺规作图-作角平分线等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在上找一点，若点使得与的长度比等于，如图所示： 设、的高为， ， 过点作、，如图所示： ，即， 是中的角平分线， 根据四个选项可知，C选项是尺规作图作的角平分线， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 【答案】32 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，用直尺和圆规作下列图形： (1)边上的中线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (2)的角平分线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (3)作一个角，使它等于（另画图，只要保留痕迹，下结论）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作垂线，作角平分线，作一个角等于已知角等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，作一个角等于已知角是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于，连接，即为所作； （2）作角平分线即可； （3）作一个角等于已知角即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于，连接， ∴为的中点， ∴即为所作； （2）解：如图2，即为所作； （3）解：如图3，即为所作； 【经典例题十六 轨迹】 【例16】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，甲、乙、丙三人同时从点出发向点移动，甲的运动路线为一个半圆形的圆弧，乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，若甲、乙、丙的运动速度相等，则谁先到达点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同时到达 【答案】D 【分析】分别计算出三人所走的路程，即可判定． 【详解】解：甲的运动路线为一个半圆形的圆弧 甲的运动路径长 乙的运动路线为两个半圆形的圆弧， 乙的运动路径长 丙的运动路线为三个半圆形的圆弧， 丙的运动路径长 三人总路程相等，而速度也相等 三人同时到达 故选：D 【点睛】本题考查了圆的周长公式，理解题意，准确计算是解决此类题的关键． 1．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，将一个半径为1cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2024周后圆心所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心O滚动一周路径长，可得结论； 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2024周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个90°的弧长和一个180°的弧长． 2．（2024·广西贵港·一模）如图，在中， ，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点经过的路径为点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出AB、AD的长度，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】由题意可得． 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握勾股定理，扇形面积公式和三角形面积公式是解题的关键． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹． 【答案】线段． 【分析】过点作交直线于点，根据D点在B点，BC中点以及C点时，得出E点所在位置，进而得出E点在一条直线上，进而得出答案． 【详解】如图所示：过点作交直线于点， 当点与点重合时，点与点重合， 当点在中点时， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴≌（AAS）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵∠ACB=45°， ∴∠ECA=90°， 当点与点重合时， ∠ECA=90°， ∴点与另两个点都在过点C且垂直于AC的一条直线上． 综上所述：当从运动到的过程中，点的运动轨迹是线段． 【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式．首先过点作，根据角平分线的性质可知，根据三角形的面积公式可得，已知，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 故选：A． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是（        ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理，得到,，再由三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴,， 又∵,且,， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线性质定理，根据定理内容解题是关键． 4．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝， 根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE，AE⊥BD， ∴△ABC的面积：AB•AC＝BC•AE， ∴5AE＝12， ∴AE＝． 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键． 5．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在中，，根据图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，平分，垂直平分，根据角平分线和中垂线的定义，结合三角形的内角和定理，以及30度所对的直角边是斜边的一半，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选D． 6．（23-24八年级·全国·课后作业）到已知角两边距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】这个角的平分线所在的直线 【分析】根据角平分线的性质即可得答案. 【详解】∵角平分线上的点到角两边的距离相等, ∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 故答案为：这个角的平分线所在的直线 【点睛】本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键. 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，△ACE中，，交EA的延长线于点D，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，延长至点，使得，连接，即有垂直平分，则有，再证明，则有，根据，有，进而有，则，即可求解，构造辅助线，证明是解答本题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接，如图， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，有， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 8．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 13．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P． (1)当△ABC为等边三角形（如图（1）时，求证：EP＝DP； (2)当△ABC不是等边三角形，但∠ACB＝60°（如图（2））时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质可以得到相等的线段和相等的角，进而可以证明EP＝DP； （2）上题的结论仍然成立，并且具有类似的证明方法． 【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB， ∴PD⊥BC， 同理，PE⊥AC， 作PH⊥AB于H， ∵AD平分∠CAB，PE⊥AC， ∴PE＝PH， 同理PD＝PH， ∴PD＝PE； （2）EP＝DP依然成立． 证明：不妨设∠CAB＜∠CBA， 作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q， 则点H在线段CE上，点M在线段BD上， ∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P， ∴PH＝PQ＝PM， ∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB+∠ABC＝120°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC， ∴∠PAB+∠PBA＝60°， ∵∠CEP＝∠CAP+∠PAB+∠PBA＝∠CAP+60°， ∠ADB＝∠CAP+∠ACD＝∠CAP+60°， ∴∠CEP＝∠ADB， 在△PHE和△PMD中， ∠HEP＝∠MDP，∠EHP＝∠DMP＝90°，PH＝PM， ∴△PHE≌△PMD， ∴PE＝PD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确的利用等边三角形的性质． 15．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【答案】(1)①作图见解析②作图见解析；，， (2)， (3)8 【分析】（1）①作线段的垂直平分线,与交于点，连接，即为所求，②由，，，得到，，，即可求解， （2）延 长至E， 使 ，由，，，得到，，，结合，得到，进而得到，，代入，即可求解， （3）延长到点，使得，由，，，得到，，，结合，得到，由，，根据垂直平分线的性质，得到， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形的中线，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：①作图如下，即为所求， ②作图如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， （2）解：延 长至E， 使 ，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：延长到点，使得， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$