19.6 轨迹(5大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.6 轨迹 知识点一 轨迹 1.轨迹的概念 (1)我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹. (2)轨迹定义包含的两层含义： ①轨迹图形是由符合条件的那些点组成. ②轨迹图形包含了符合条件的所有的点. (3)轨迹问题的证明： 用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义. 2.三条基本轨迹 轨迹1:和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线. 轨迹2:在一个角的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 轨迹3:到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆. 注意： (1)轨迹是圆时,要说明圆的圆心和半径(2)在叙述所求的轨迹时，要对轨迹图形准确地说明. 知识点二 交轨法作图 1.交轨法 利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法. 2.交轨法作图的一般步骤 (1)先作出满足条件A的轨迹； (2)再作出满足条件B的轨迹. 则两轨迹的交点同时满足条件A和条件B. 注意：尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线，其实都运用了交轨法. 题型1 轨迹的判断 解题技巧提炼 轨迹常考点：圆的轨迹、垂直平分线的轨迹、线段的轨迹、角平分线的轨迹等等，辨别时，要注意特殊点的取舍. 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解． 【解答】解：、到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选项不符合题意； 、等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段中点除外），故选项符合题意； 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故选项不符合题意； 、到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 2．（2023秋•静安区校级期末）下列命题为真命题的是　　 A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】 【分析】、根据角平分线的定义即可判断； 、根据线段的垂直平分线的定义即可判断； 、根据三角形的外角与内角的关系即可判断； 、根据全等三角形的定义即可判断． 【解答】解：、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和三角形的顶点确定的线段是三角形的角平分线，故结论错误，是假命题； 、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故结论正确，是真命题； 、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故结论错误，是假命题； 、面积相等的两个三角形不一定全等，故结论错误，是假命题． 故选：． 【点评】此题分别考查了轨迹、线段的垂直平分线的性质、命题与定理、三角形的内角与外角的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 3．（2023秋•普陀区校级期中）下列说法错误的有　　 ①在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； ②到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆； ③到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线； ④等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可． 【解答】解：①．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确， ②．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆，故该选项正确， ③．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，故该选项正确； ④．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线的中点除外），故该选项错误， 故选：． 【点评】本题考查轨迹，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．（2022秋•黄浦区校级月考）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 【答案】 【分析】根据圆的集合定义判断；根据线段的垂直平分线的性质与三角形的三角形的定义判断；根据平行线间的距离定义判断；根据角平分线的定义判断． 【解答】解：．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆，命题正确，不符合题意； ．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线（不含的中点），原命题错误，符合题意； ．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，命题正确，不符合题意； ．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，命题正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，关键是正确理解这些性质与概念． 题型2 线段的轨迹 解题技巧提炼 动点到两定点距离之和的轨迹是线段. 1．（2022秋•普陀区校级期中）到点、两点的距离之和为5的点的轨迹是　　 A．线段的垂直平分线 B．以、为端点的线段 C．线段的延长线 D．与线段的距离为4的两条平行直线 【答案】 【分析】由点、，先求出，由此能求出平面上到点、距离之和为5的点的轨迹． 【解答】解：点、， ，动点到两定点距离之和为， 动点轨迹为线段． 故选：． 【点评】本题考查点的轨迹的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 2．（2010秋•嘉定区校级期末）已知两个定点、的距离为4厘米，到点、的距离之和为4厘米的点的轨迹是 　 　． 【分析】定点、的距离为4厘米，到点、的距离之和为4厘米，通过这两个数据不能联想到这个点恰好在线段上． 【解答】解：不妨设这个点为，由，取等号的条件是在线段上 故答案为：线段 【点评】本题考查了三边关系中，取等号的条件，难度不大，答案书写要规范． 3．（2020秋•浦东新区校级期末）已知两个定点、的距离为2厘米，则到点、的距离之和为2厘米的点的轨迹是 　 　． 【答案】线段． 【分析】定点、的距离为2厘米，到点、的距离之和为2厘米，通过两个数据很容易联想到这个点就在线段上． 【解答】解：不防设这个点为，由，取等号的条件是点在线段上， 故答案为：线段． 【点评】本题考查了轨迹，解决本题的关键是根据三角形的三边关系确定点的轨迹． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）如果两个定点、的距离为3厘米，那么到点、的距离之和为3厘米的点的轨迹是　线段　． 【答案】线段． 【分析】定点、的距离为3厘米，到点、的距离之和为3厘米，通过这两个数据不难联想到这个点恰好在线段上． 【解答】解：不妨设这个点为，由，取等号的条件是在线段上． 所以到点、的距离之和为3厘米的点的轨迹是线段． 故答案为：线段． 【点评】本题考查了轨迹，解决本题的关键是根据三角形三边的关系确定点的轨迹． 题型3 圆的轨迹 解题技巧提炼 到一个定点的距离等于定值的点的轨迹是圆，注意要说清楚谁为圆心，半径长度，特殊情况还要先定三点不共线. 1．（2023秋•杨浦区期末）到点的距离等于2厘米的点的轨迹是　以点为圆心，2厘米长为半径的圆　． 【分析】根据圆的定义解答． 【解答】解：到点的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 【点评】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单． 2．（2023秋•闵行区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　以点为圆心，长为半径的圆　． 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距点5厘米能画一个什么图形． 【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点为圆心，为半径的圆， 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【点评】此题考查了轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 3．（2023秋•松江区期末）到点的距离等于的点的轨迹是　以点为圆心，以为半径的圆　． 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点的距离等于的点的集合是圆． 【解答】解：根据圆的定义可知，到点的距离等于的点的集合是以点为圆心，为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键． 4．（2023秋•金山区期末）平面内，到点的距离等于2的点的轨迹是 　以为圆心2为半径的圆．　． 【答案】以为圆心2为半径的圆． 【分析】由于到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆，由此即可求解． 【解答】解：平面内，到点的距离等于2的点的轨迹是以为圆心2为半径的圆． 故答案为：以为圆心2为半径的圆 【点评】此题主要考查了轨迹，解题的关键是确定轨迹具有的共同性质． 5．（2023秋•静安区校级期末）已知线段，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是 　以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）　． 【分析】根据轨迹的定义解答即可． 【解答】解：以线段为腰，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）， 故答案为：以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）． 【点评】本题考查轨迹，圆的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023秋•闵行区校级期末）经过点，且半径等于圆的圆心的轨迹是 　以为圆心，半径为的圆　． 【答案】以为圆心，半径为的圆． 【分析】由于到定点的距离等于定长的点轨迹是圆，由此即可求解． 【解答】解：经过点，且半径等于圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 故答案为：以为圆心，半径为的圆． 【点评】此题主要考查了轨迹，解题的关键是确定轨迹所共同具有的性质． 7．（2022秋•徐汇区期末）到点的距离等于的点的轨迹是　以点为圆心，以长为半径的圆　． 【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点的距离等于的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆． 【解答】解：到点的距离等于的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆． 故答案为：以为圆心，以为半径的圆． 【点评】本题考查了学生的理解能力和画图能力，到点的距离等于的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆． 8．（2022秋•杨浦区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　以点为圆心，为半径的圆　． 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距点2厘米能画一个什么图形． 【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点为圆心，为半径的圆， 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 9．（2022秋•徐汇区校级期末）在平面内，经过点且半径等于1的圆的圆心的轨迹是 　以点为圆心，1为半径的圆　． 【答案】以点为圆心，1为半径的圆． 【分析】经过点且距离等1的圆的圆心的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆． 【解答】解：在平面内，经过点且半径等于1的圆的圆心的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，1为半径的圆． 【点评】本题考查的是圆的相关概念、根据几何术语正确作出图形是解决此题的关键． 10．（2021秋•普陀区期末）经过点且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是 　以为圆心，1厘米为半径的圆　． 【分析】故圆的定义即可解决问题． 【解答】解：经过点且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是以为圆心，1厘米为半径的圆． 故答案为：以为圆心，1厘米为半径的圆 【点评】本题考查轨迹，圆的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2021秋•浦东新区期末）到点的距离等于的点的轨迹是 　以点为圆心，为半径的圆　． 【答案】以点为圆心，为半径的圆． 【分析】根据圆的定义直接得出答案即可． 【解答】解：由题知，到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【点评】本题主要考查圆的定义，熟练掌握圆的定义是解题的关键． 12．（2021秋•黄浦区校级期末）在直角坐标平面内，到点的距离是10的轨迹是 　以为圆心10为半径的一个圆　． 【答案】以为圆心10为半径的一个圆． 【分析】到定点的距离等于定长的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆． 【解答】解：到定点的距离等于定长的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆 到点的距离是10的轨迹是以为圆心10为半径的一个圆． 故答案为：以为圆心10为半径的一个圆． 【点评】此题主要考查了圆的轨迹，解题的关键是确定轨迹的共同属性． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）平面内到点的距离等于3厘米的点的轨迹是　以点为圆心，3厘米长为半径的圆　． 【分析】只需根据圆的定义就可解决问题． 【解答】解：平面内到点的距离等于3厘米的点的轨迹是以点为圆心，3厘米长为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，3厘米长为半径的圆． 【点评】本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 14．（2021春•浦东新区月考）到点的距离等于2的点的轨迹是　以点为圆心，2为半径的圆　． 【答案】以点为圆心，2为半径的圆． 【分析】根据圆的定义即可得出答案． 【解答】解：到点的距离等于2的点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆； 故答案为：以点为圆心，2为半径的圆． 【点评】本题考查了轨迹以及圆的定义；熟记圆的定义是解题的关键． 题型4 垂直平分线的轨迹 解题技巧提炼 到线段的两个端定的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，注意涉及等腰三角形时，要将线段的中点舍去，避免三点共线. 1．（2023秋•虹口区校级期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 　 　． 【答案】的垂直平分线． 【分析】确定等腰三角形的两腰上的中线交点具有的共同性质是到底边两个端点的距离相等即可求解． 【解答】解：如图，，△的中线、相交于点， 、是△的中线， ，， ， ，， 在△和△中，， △△， ， ． 在的垂直平分线上， 两腰上的中线交点的轨迹是的垂直平分线． 故答案为：的垂直平分线． 【点评】此题主要考查了轨迹，同时也利用了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是确定轨迹具有的共同性质． 2．（2023秋•黄浦区期末）经过定点，的圆的圆心的轨迹是 　 　． 【答案】线段的垂直平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：过定点，的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线． 故答案为：线段的垂直平分线． 【点评】本题考查了轨迹，线段垂直平分线的性质，圆的相关概念，解决本题的关键是理解轨迹定义． 3．（2023秋•徐汇区校级期中）底边为已知线段的等腰△的顶点的轨迹是 　 　． 【答案】线段的垂直平分线． 【分析】根据等腰三角形的定义，知点到、的距离应相等，再结合线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可解答． 【解答】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在是线段的垂直平分线上． 故答案为：线段的垂直平分线中点除外）． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线的性质；理解是底边是正确解答本题的关键． 4．（2023秋•普陀区期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 　 　． 【答案】线段的垂直平分线上． 【分析】由于圆要经过、是两个定点，所以这个圆的圆心到、两点的距离相等，由此即可确定这个圆心的轨迹． 【解答】解：、是两个定点， 经过这两个定点的圆的圆心到、两点的距离相等， 这个圆的圆心在线段的垂直平分线上． 故答案为：线段的垂直平分线上． 【点评】此题主要考查 了轨迹，解题的关键是确定所求轨迹具有的共同性质． 5．（2022秋•金山区校级月考）经过点，的圆的圆心的轨迹是 　 　． 【答案】线段的垂直平分线． 【分析】由圆心到，两点的距离相等可得出圆心在的垂直平分线上，从而得出结论． 【解答】解：圆经过，两点， 圆心到，两点的距离相等， 经过点，的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线， 故答案为：线段的垂直平分线． 【点评】本题考查了确定圆的条件和线段垂直平分线的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 6．（2021秋•徐汇区期末）以线段为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 　 　． 【答案】线段的垂直平分线的中点除外）． 【分析】根据和的平分线交于点，则，，说明，得，从而得出答案． 【解答】解：如图，，和的平分线交于点， 则，， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上中点除外）， 故答案为：线段的垂直平分线的中点除外）． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． 7．（2022秋•青浦区校级期末）经过已知点和的圆的圆心的轨迹是 　 　． 【分析】要求作经过已知点和点的圆的圆心，则圆心应满足到点和点的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解． 【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点和点的距离相等，即经过已知点和点的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线． 故答案为：线段的垂直平分线． 【点评】此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键． 8．（2022秋•青浦区校级期末）经过、两点的圆的圆心的运动轨迹是　 　． 【分析】要求作经过已知点和点的圆的圆心，则圆心应满足到点和点的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解． 【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点和点的距离相等，即经过已知点和点的圆的圆心的运动轨迹是线段的垂直平分线． 故答案为：线段的垂直平分线． 【点评】此题考查了点的运动轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键． 题型5 角平分线的轨迹 解题技巧提炼 平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线. 1．（2020秋•虹口区期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　 　． 【答案】角平分线． 【分析】根据角平分线的判定可知． 【解答】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线， 故答案为：角平分线． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 2．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是　 　 　 　． 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答． 【解答】解：角平分线上的点到角两边的距离相等， 在的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是的平分线（端点除外）， 故答案为的平分线（端点除外）． 【点评】此题考查了点的轨迹问题，要熟悉角平分线的性质是解题的关键． 3．在的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是　的平分线____________． 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答 ． 【解答】解： 因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以在的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是的平分线 （端 点除外） ． 故答案为的平分线 （端 点除外） ． 【点评】此题考查了点的轨迹问题， 要熟悉角平分线的性质 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.6 轨迹 知识点一 轨迹 1.轨迹的概念 (1)我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹. (2)轨迹定义包含的两层含义： ①轨迹图形是由符合条件的那些点组成. ②轨迹图形包含了符合条件的所有的点. (3)轨迹问题的证明： 用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义. 2.三条基本轨迹 轨迹1:和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线. 轨迹2:在一个角的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 轨迹3:到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆. 注意： (1)轨迹是圆时,要说明圆的圆心和半径(2)在叙述所求的轨迹时，要对轨迹图形准确地说明. 知识点二 交轨法作图 1.交轨法 利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法. 2.交轨法作图的一般步骤 (1)先作出满足条件A的轨迹； (2)再作出满足条件B的轨迹. 则两轨迹的交点同时满足条件A和条件B. 注意：尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线，其实都运用了交轨法. 题型1 轨迹的判断 解题技巧提炼 轨迹常考点：圆的轨迹、垂直平分线的轨迹、线段的轨迹、角平分线的轨迹等等，辨别时，要注意特殊点的取舍. 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 2．（2023秋•静安区校级期末）下列命题为真命题的是　　 A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 3．（2023秋•普陀区校级期中）下列说法错误的有　　 ①在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； ②到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆； ③到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线； ④等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022秋•黄浦区校级月考）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 题型2 线段的轨迹 解题技巧提炼 动点到两定点距离之和的轨迹是线段. 1．（2022秋•普陀区校级期中）到点、两点的距离之和为5的点的轨迹是　　 A．线段的垂直平分线 B．以、为端点的线段 C．线段的延长线 D．与线段的距离为4的两条平行直线 2．（2010秋•嘉定区校级期末）已知两个定点、的距离为4厘米，到点、的距离之和为4厘米的点的轨迹是 　 　． 3．（2020秋•浦东新区校级期末）已知两个定点、的距离为2厘米，则到点、的距离之和为2厘米的点的轨迹是 　 　． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）如果两个定点、的距离为3厘米，那么到点、的距离之和为3厘米的点的轨迹是　 　． 题型3 圆的轨迹 解题技巧提炼 到一个定点的距离等于定值的点的轨迹是圆，注意要说清楚谁为圆心，半径长度，特殊情况还要先定三点不共线. 1．（2023秋•杨浦区期末）到点的距离等于2厘米的点的轨迹是　 　． 2．（2023秋•闵行区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　 　． 3．（2023秋•松江区期末）到点的距离等于的点的轨迹是　 　． 4．（2023秋•金山区期末）平面内，到点的距离等于2的点的轨迹是　 　． 5．（2023秋•静安区校级期末）已知线段，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是　 　． 6．（2023秋•闵行区校级期末）经过点，且半径等于圆的圆心的轨迹是　 　． 7．（2022秋•徐汇区期末）到点的距离等于的点的轨迹是　 　． 8．（2022秋•杨浦区期末）经过定点且半径为的圆的圆心的轨迹是　 　． 9．（2022秋•徐汇区校级期末）在平面内，经过点且半径等于1的圆的圆心的轨迹是 　 　． 10．（2021秋•普陀区期末）经过点且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是　 　． 11．（2021秋•浦东新区期末）到点的距离等于的点的轨迹是 　 　． 12．（2021秋•黄浦区校级期末）在直角坐标平面内，到点的距离是10的轨迹是 　 　． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）平面内到点的距离等于3厘米的点的轨迹是　 　． 14．（2021春•浦东新区月考）到点的距离等于2的点的轨迹是　 　． 题型4 垂直平分线的轨迹 解题技巧提炼 到线段的两个端定的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，注意涉及等腰三角形时，要将线段的中点舍去，避免三点共线. 1．（2023秋•虹口区校级期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 　 　． 2．（2023秋•黄浦区期末）经过定点，的圆的圆心的轨迹是 　 　． 3．（2023秋•徐汇区校级期中）底边为已知线段的等腰△的顶点的轨迹是 　 　． 4．（2023秋•普陀区期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 　 　． 5．（2022秋•金山区校级月考）经过点，的圆的圆心的轨迹是 　 　． 6．（2021秋•徐汇区期末）以线段为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 　 　． 7．（2022秋•青浦区校级期末）经过已知点和的圆的圆心的轨迹是 　 　． 8．（2022秋•青浦区校级期末）经过、两点的圆的圆心的运动轨迹是　 　． 题型5 角平分线的轨迹 解题技巧提炼 平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线. 1．（2020秋•虹口区期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　 　． 2．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是　 　　 　． 3．在的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是　的平分线____________． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$