专项1 规律探究-华东师大版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 1 规律探究 1．C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、数字类规律探索 【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，每个图形中，左边三角形上的数字即为图形 的序数 n，右边三角形上的数字为 2p n ，下面三角形上的数字  21 1q n   ，先把 143q  代入 求出 n的值，能准确观察到相关规律是解题的关键． 【详解】解：通过观察可得规律： 2p n ，  21 1q n   ， ∵ 143q  ， ∴  21 1 143n    ，解得： 1 11n  或 2 13n   （舍去）， 故选：C． 2．C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类以及解一元二次方程．解决本题的关键是根据前四个图形的 变化寻找规律．根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，进而得第 n个的石子数与 n的关系，从而列方程求解即可． 【详解】解：观察图形的变化，可知， 第1个图案要用的石子数为； 21 1 1 4 6S     ； 第 2个图案要用的石子数为； 22 2 2 4 10S     ； 第3个图案要用的石子数为； 23 3 3 4 16S     ； 第 4个图案要用的石子数为； 24 4 4 4 24S     ； …； 第 n个（ n为正整数）图案要用的石子数为， 2 4nS n n   ， 令 114nS  得 2 4 114n n   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 2 110 0n n   ， 解得 11n   （舍去）或 10n  ． 故选：C． 3．C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，由题意可知：第（1）个图案中，三角形的个数为：1，点 个数的个数为：3 3 0 3   ；第（2）个图案中，三角形的个数为：1 2 3  ，点个数的个数为： 3 3 1 6   ；第（3）个图案中，三角形的个数为：1 2 3 6   ，点个数的个数为：3 3 2 9   ；则 第 n个图案中，三角形的个数为：  11 2 3 2 n n n       ，点个数的个数为：  3 3 1 3n n    ， 问题随之得解． 【详解】第（1）个图案中，三角形的个数为：1，点个数的个数为：3 3 0 3   ， 第（2）个图案中，三角形的个数为：1 2 3  ，点个数的个数为：3 3 1 6   ， 第（3）个图案中，三角形的个数为：1 2 3 6   ，点个数的个数为：3 3 2 9   ， …， ∴第 n个图案中，三角形的个数为：  11 2 3 2 n n n       ，点个数的个数为：  3 3 1 3n n    ， ∵第 n个图案中，三角形的个数是点个数的 3倍， ∴  1 9 2 n n n   ，n为正整数， 解得： 17n  ， 故选：C． 4．C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第 n个图形中圆的个数  1 2n n  ， 然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第 1个图形中一共有  1 1 1 2 4    个圆， 第 2个图形中一共有  2 2 1 2 8    个圆， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 第 3个图形中一共有  3 3 1 2 14    个圆， 第 4个图形中一共有 4×(4+1)+2=22个圆； 可得第 n个图形中圆的个数是  1 2n n  ；  1 2 134n n    ， 解得 12n   （舍）， 11n  ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律， 列出方程． 5．B 【知识点】点坐标规律探索、数字类规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律，通过图形得到坐标点的规律是解题的关键．观察图形和各点 坐标可知：由图可知 P的横坐标为 1 ， 1P的横坐标为1， 2P、 3P的横坐标为 2， 4P横坐标为3， 正方形转到 4P 时与 P的方位相同，此时正方形刚好转完一周，即点 P的坐标是以 4个单位为周 期往上加，按照此规律，求解即可． 【详解】解：根据题意知正方形的边长为1， 由图可知 P的横坐标为 1 ， 1P的横坐标为1， 2P、 3P的横坐标为 2， 4P横坐标为3， 由图可发现，正方形转到 4P 时与 P的方位相同，此时正方形刚好转完一周， 点 P的坐标是以 4个单位为周期往上加，  2023 4 505 3   ， 当旋转505周时对应的坐标为：505 4 1 2019   ， 则 2023P 的横坐标 2023 2019 3 2022x    ， 故选：B． 6．B 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形综合问题、点坐标 规律探索 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出 1( 2,3)A  、 2( 2, 3)A   、 3 (3, 2)A  、 4 (3, 2)A 、 5( 2,3)A  ，从而可知 每 4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点 1A作 1AM y 轴于 M，过点A作 AN x 轴于 N， 由题意得 1 90AOA MON     ， 1OA OA ∴ 1AOM MOA MOA AON    ， ∴ 1AOM AON  ， ∵ 1 90AMO ANO    ∴ 1AMO ANO△ ≌△ ， ∴ 1 2, 3AM AN OM ON    ， ∴ 1( 2,3)A  ，则 2( 2, 3)A   ， 同上可求 3 (3, 2)A  、 4 (3, 2)A 、 5( 2,3)A  ， ∴每 4个点的坐标为一周期循环， ∵ 2025 4 506  余 1， ∴点 2025A 的坐标与点 1A的坐标一致，为 ( 2,3) ， 故选：B． 7．D 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出 B点坐标变化规律是解题关键． 根据题意得出 B点坐标变化规律，进而得出点 2022B 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵ AOBV 是等腰直角三角形， 1OA  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 1AB OA\ = = ， (1,1)B\ ， 将Rt AOB 绕原点O顺时针旋转90得到等腰直角三角形 1 1AOB ，且 1 2AO AO= ，再将 1 1Rt AOB 绕原 点O顺时针旋转90得到等腰三角形 2 2A OB ，且 2 12A O AO= ¼ ，依此规律， ∴每 4次循环一周， 1 2 3 4(2, 2), ( 4, 4), ( 8,8), (16,16)B B B B    ， 2022 4 505 2   ， ∴点 2022B 与 2B 同在一个象限内， 2 3 44 2 8 2 16 2     ， ， ，  2022 20222022 2 , 2B   ， 故选：D． 8．A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出 B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出 B点坐标变化规律，进而得出点 2025B 所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形OABC是正方形， 1AO  ， ∴ 1AB OA  ， ∴  11B ，， 将正方形OABC绕原点 O顺时针旋转90，且 1 2AO AO= ，得到正方形 1 1 1OA BC ， 再将正方 1 1 1OA BC 绕原点 O顺时针旋转90，且 2 12A O AO ，得到正方形 2 2 2OA B C …以此规律， ∴每 4次循环一周，        1 2 3 42, 2 4, 4 8 8 16,16B B B B   ， ， ，， ， ∵ 2025 4 506 1   ， ∴点 2025B 与 1B 同在一个象限内， ∴点 2025 2025 2025(2 , 2 )B - ， 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 9．A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解、坐标 与旋转规律问题 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分 nS 的值，根据数的变化找出 变化规律 42 πnnS  ，依此规律即可得出结论． 本题考查了坐标与图形性质 -旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是 找出规律 42 πnnS  ． 【详解】解：由题意 1 2AOA 、 3 4AOA△ 、 5 6AOA△ 、、都是等腰直角三角形， 2 2OA  ， 4 2OA  ， 6 2 2OA  ，， 2 1 45π 1 1 π 360 8 S    ， 2 2 45π ( 2) 1 π 360 4 S   ， 2 3 45π 2 1 π 360 2 S   ， 2 4 45 (2 2) 360 S   ， ； 4π2nnS   ， 2023 2019π2S  ， 故选：A． 10．A 【知识点】根据旋转的性质求解、利用菱形的性质证明、点坐标规律探索 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，点的坐标规律，数形结合找出规律是解题关键． 【详解】解：根据题意得  1 0, 1E  ，  2 0 1E ， ，  3 3,2E  ，  4 3,0E ，  5 3,0E ，  6 3, 2E   ，  7 0,1E ，  8 0,1E ，  9 3, 2E  ，  10 3,0E  ，  11 3,0E  ，  12 3, 2E ，  13 0, 1E  ……， ∴ E的对应点的坐标12次一循环， ∵168 12 7 2023   ， ∴点 2023E 的坐标为  0,1 ， 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 11．B 【知识点】点坐标规律探索、中心对称图形规律问题 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后 1P、 2P、 3P、 4P、 5P、 6P、 7P的坐标，可得出规律，继而可求点 2023P 的坐标． 【详解】解：由题意得：点  1 4,0P 、  2 4,4P  、  3 0, 4P  、  4 4,4P 、  5 4,0P  、  6 0,0P 、  7 4,0P ， ∴点 P的坐标的变化规律是 6次一个循环， ∵ 2023 6 337...1  ， ∴点 2023P 的坐标是  4,0 ． 故选：B． 12．D 【知识点】根据旋转的性质求解、含 30度角的直角三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律探究，旋转的性质及直角三角形的性质，得到 AP的长度依次增 加 2，1， 3且三次一循环是解题的关键． 由题意可得将Rt ABC△ 绕点A顺时针旋转，每旋转一次， AP的长度依次增加 2，1， 3且三次 一循环，按此规律即可求解． 【详解】解： Rt ABC △ 中， 90ACB  ， =60B ， 3AC  ， AB 2  ， 1BC  ， 将 ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点 1P，此时 1 2AP  ； 将位置①的三角形绕点 1P顺时针旋转到位置②，可得到点 2P，此时 2 2 1 3AP    ； 将位置②的三角形绕点 2P顺时针旋转到位置③，可得到点 3P，此时 3 2 3 1 3 3AP      ； 又 (3 2) 3 1 1n n     ， 3 2 (3 3)( 1) 2 3 1 3( 1)nAP n n n         ， 故选：D． 13．A 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、点坐标规律探索 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【分析】根据题意先求得 1 2,O O 的坐标，进而求得 2 2, , , nB B B 的坐标，发现规律，即可求得 2024B 的坐标． 【详解】解：∵ OAB△ 是等边三角形， (2,0)B ，将等边 OAB△ 绕点A旋转180，得到 1 1O AB△ ， ∴ 1 1 1 2O B O A OA AB    1 1 1 160 =AOB AO B ABO      1 1 30AOB ABO     1 1 90OBO   1 1 13OB O B  2 3 1(2,2 3)O ， 1 2 2O B  则 2 (4, 2 3)B 同理可得 2 (4,4 3)O ， 4 (2 2 2, 2 3)B   , 6B (2 3 2,2 3 3)   …… (2 ,2 3 )nO n n ， 2 (2 2,2 3 )nB n n  2024B (2 1012 2,2 3 1012)   即 (2026,2024 3) , 故选 A 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含 30度角的直角三角形的性质，勾股 定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 14．C 【知识点】其他问题(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、点坐标规律探索 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】由题已得  1 1,1A ， 1 2OA  可计算出 1OC 的长度，得  1 0,2C ，利用平行四边形的性质及 两直线平行，其解析式的系数 k相等的特性，可知直线 1 1C B 解析式，联立  02  xxy ，可求得  2 2,4A ，同理，依此类推，可求得  3 3,9A ，寻找规律，类比可得 2022A 的坐标． 【详解】解：∵ 1A的横坐标为 1，且在  02  xxy 图象上 ∴  1 1,1A ，则： 1 2OA  ， 易得 1OA 的解析式为： y x ， 又∵ 1 12OC OA ∴ 1 2 2 2OC    ，即：  1 0,2C 又∵ 1 1 1OA BC 为平行四边形， ∴直线 1 1C B 解析式为： 2y x  （两直线平行，其解析式的系数 k相等） 联立 2 2y x y x     ， 解得： 2 4 x y    或 1 1 x y     （舍去）， 即  2 2,4A ， 则：    2 21 2 2 0 4 2 2 2C A      ， 1 2 1 22 4CC C A  ， ∴  2 0,6C ， 又∵ 1 2 2 2C A B C 为平行四边形， ∴直线 2 2C B 解析式为： 6y x  ， 联立 2 6y x y x     ， 解得： 3 9 x y    或 2 4 x y     （舍去）， 即  3 3,9A ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 由  1 1,1A ，  2 2,4A ，  3 3,9A ，得  21 1,1A ，  22 2,2A ，  23 3,3A ， 依此类推，  22022 2022, 2022A 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，能够利用两直线平行，其解析式的系数 k相等这 一特征求解析式是解决问题的关键． 15．D 【知识点】归纳与类比、一次函数、二次函数图象综合判断、数字类规律探索 【分析】由   ,0 1 2nP n n  、、 可得： 2n nA P an= ， n nB P an= ，则可得 2n nA B an an= + ，则可得 2 1 1 ( )n nA B a n n = + ，再利用 1 1 1 ( 1) 1n n n n     ，进行计算即可． 【详解】∵过点   ,0 1 2nP n n  、、 的垂线，交  2 0y ax a  的图象于点 nA ，交直线 y ax  于点 nB ； ∴令 x=n，可得∶ nA 纵坐标为 2an ， nB 纵坐标为 an- ， 2 n nA P an\ = ， n nB P an= ， 2 n nA B an an\ = + ． 2 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( 1) 1n nA B a n n a n n a n n = = = - + + +  ， 1 1 2 2 1 1 1 n nA B A B A B      1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) 2 2 3 3 4 1a n n = - + - + - + + - +  1 1(1 ) 1a n = - + 1 1 n a n = +  ( 1) n a n = + ． 故选 D． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于 x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般 的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 1 规律探究 1．根据图中数字的规律，若第 n个图中的 143q  ，则 n的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第一个图形用了6块石子；第二个图形用了 10 块石子；第三个图形用了16块石子；第四个图形用了 24块石子，…．照此规律第（ ）个图形 用114块石子 A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第 1 个图案中有 3 个 点和 1 个三角形，第 2 个图案中有 6 个点和 3 个三角形，第 3 个图案中有 9 个点和 6 个三角 形，……依此规律，若第 n个图案中，三角形的个数是点个数的 3 倍，则 n的值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中一共有 4 个圆，第 2 个图形中一共有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个圆．……按 此规律排列下去，现已知第 n个图形中圆的个数是 134 个，则 n  ( )． A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，将边长为1的正方形OAPB沿 x轴正方向边连续翻转2023次，点 P依次落在点 1P， 2P， 3P，…， 2023P 的位置，则 2023P 的横坐标 2023x 为（ ） A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定 6．如图，在平面直角坐标系中，� 3,2 ，连接OA，作如下变换：第一次：将点 A绕原点 O逆 时针旋转90得到点 1A；第二次：作点 1A关于 x轴的对称点 2A ；第三次：将点 2A 绕点 O逆时针 旋转90得到 3A ；第四次：作点 3A 关于 x轴的对称点 4A ……按照这样的规律，点 2025A 的坐标是 （ ） A． −3,2 B． −2,3 C．  2, 3  D．  3, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．在平面直角坐标系 xOy中，有一个等腰Rt AOB ， 90OAB  ，直角边 AO在 x轴上，且 1AO  ．将 Rt AOB 绕原点 O顺时针旋转90并放大得到等腰 1 1Rt AOB ，且 1 2AO AO= ，再将 1 1Rt AOB 绕原点 O 顺时针旋转90并放大得到 2 2Rt A OB ，且 2 12A O AO= ¼ ，依此规律，得到等腰 2022 2022Rt A OB ，则点 2022B 的坐标为（ ） A．  2022 20222 , 2 B．  2022 20222 , 2 C．  2022 20222 , 2 D．  2022 20222 , 2  8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点 A、C分别在 x、y轴上，且 1AO  ．将正 方形OABC绕原点 O顺时针旋转90，并放大为原来的 2 倍，使 1 2AO AO= ，得到正方形 1 1 1OA BC ， 再将正方形 1 1 1OA BC 绕原点 O顺时针旋转90，并放大为原来的 2 倍，使 2 12A O AO ，得到正方形 2 2 2OA B C ……以此规律，得到正方形 2025 2025 2025OA B C ，则点 2025B 的坐标为（ ） A．  2025 2025,2 2  B．  2024 20242 , 2  C． 2024 2024( )2 , 2 D．  2022 2022,2 2   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．如图，在平面直角坐标系中，点A 在 y轴的正半轴上， 1OA  ，将OA绕点O顺时针旋转 45到 1OA ，扫过的面积记为 1S ， 1 2 1A A OA交 x轴于点 2A ；将 2OA 绕点O顺时针旋转 45到 3OA ，扫过的 面积记为 2S ， 3 4 3A A OA 交 y轴于点 4A ；将 4OA 绕点O顺时针旋转 45到 5OA 扫过的面积记为 3S ； ；按此规律，则 2023S 为（ ） A． 20192 π B． 20202 π C． 20212 π D． 20222 π 10．如图，平面直角坐标系中，菱形 ABCD的中心为原点O，顶点  3,0A  ，  0,1B ，以 BC为 边在菱形 ABCD外侧作等边三角形 BCE，第一次操作：将 BCE 在菱形 ABCD的边上顺时针翻滚 得到 1 1 1BC E△ ， 1 1C E 与CD重合，点 1E 与点D重合，点 1E 的坐标为  0, 1 ；第二次操作：将 1 1 1BC E△ 在菱形 ABCD的边上顺时针翻滚得到 2 2 2B C E△ ， 2 2B E 与 AD重合，点 2E 与点D重合，点 2E 的坐标 为  0, 1 …按此规律，将 2022 2022 2022B C E△ 在菱形 ABCD的边上顺时针第2023次翻滚得到 2023 2023 2023B C E△ ，则点 2023E 的坐标为（ ） A．  0,1 B．  3, 2  C．  3, 2 D．  3 0, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 11．如图，在平面直角坐标系中，点A ， B，C的坐标分别为  2,0 ，  0, 2 ，  2,0 ．一个电动 玩具从原点O出发，第一次跳跃到点 1P，使得点 1P与点O关于点A 成中心对称；第二次跳跃到 点 2P，使得点 2P与点 1P关于点 B成中心对称；第三次跳跃到点 3P，使得点 3P与点 2P关于点C成 中心对称；第四次跳跃到点 4P ，使得点 4P 与点 3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律 跳下去，则点 2023P 的坐标是（ ）. A．  4,0 B．  4,0 C．  4, 4 D．  0, 4 12．如图，在 ABC 中， 90ACB  ， =60B ， 3AC  ，且 AC在直线 l上，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转到①，可得到点 1P；再将位置①的三角形绕点 1P顺时针旋转到位置②，可得到点 2P； 将位置②的三角形绕点 2P顺时针旋转到位置③，可得到点 3P；…，按此规律继续旋转下去，若 n为正整数，则 3 2nAP  等于（ ） A．3 1n  B．   2 3 1 2n   C．  2 3 1n  D．  3 1 3 1n n   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 13．如图，在平面直角坐标系中，将等边 OAB 绕点 A旋转180，得到 1 1O AB△ ，再将 1 1O AB△ 绕 点 1O旋转180，得到 1 1 2O A B△ ，再将 1 1 2O A B△ 绕点 1A旋转180，得到 2 1 3O A B△ ，⋯ ⋯ ，按此规律进 行下去，若点 B的坐标为 (2,0)，则点 2024B 的坐标为（ ） A． (2026,2024 3) B． (2024,2026 3) C． (2024,2022 3) D． (2022,2024 3) 14．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 1C ， 2C ，…，都在 y轴正半轴上，点 1A在二次函数  2 0y x x  图象上，以 1OA， 1OC 为邻边作平行四边形 1 1 1OA BC ，且 1 12OC OA ，延长 1 1C B与二次 函数  2 0y x x  图象交于点 2A ；以， 1 2C C 为邻边作平行四边形 1 2 2 2C A B C ，且 1 2 1 22CC C A ，延长 2 2C B 与二次函数  2 0y x x  图象交于点 3A ；…；按此规律进行下去，若 1A的横坐标为 1，则 2022A 的坐标为（ ） A．  22021, 2021 B．  22021, 2022 C．  22022, 2022 D．  22023, 2023 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 15．观察规律 1 1 1 1 1 1 1 11 , , ,1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4           ，运用你观察到的规律解决以下问题：如图， 分别过点   ,0 1 2nP n n  、、 作 x轴的垂线，交  2 0y ax a  的图象于点 nA ，交直线 y ax  于点 nB ．则 1 1 2 2 1 1 1 n nAB A B A B   的值为（ ） A．  1 n a n B．   2 1a n C．   2 1 a n n D．  1 n a n