专项2 勾股定理与半角模型-华东师大版八年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学华东师大版(2012)八年级上册
年级 八年级
章节 第14章 勾股定理
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.67 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 2 勾股定理与半角模型 答案解析 1.(1)�� = ��+ ��.证明见解析 (2)�� = �� − ��.证明见解析 【分析】(1)利用旋转的性质即可得到全等三角形,再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论; (2)利用旋转的性质得到全等三角形,再利用全等三角形得到边相等,进而得出结论. 【详解】(1)解:�� = ��+ ��.证明如下: 由旋转,可知:�� = ��,�� = ��,∠��� = 90°.∠��� = ∠� = 90° ∴点�、�、�共线 ∵∠��� = 45° ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠��� 在△ ���和△���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△���(SAS) ∴�� = �� ∵�� = �� + �� ∴�� = ��+ �� (2)解:�� = �� − ��.证明如下: 在��上取�� = ��.连接 AE, ∵�� = ��,∠� = ∠���,�� = �� ∴△ ��� ≌△ ���(SAS) ∴�� = ��,∠��� = ∠��� ∵∠��� = 45° 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠��� 在△ ���和△���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△���(SAS) ∴�� = �� ∵�� = �� − �� ∴�� = �� − �� 【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,利用全等三角形的性质进行等量转化是解题 的关键. 2.(1)DF;(2)见解析;问题应用:18cm 【分析】[问题发现](1)根据“巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���,使得△ ��� ≌ ���”可知,我们 要做辅助线,使得�� = ��,则可得出答案; (2)结合正方形的性质,证明△ ��� ≌△ ���(SAS)即可; [问题应用]根据旋转的性质得到△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��,推出�、�、�三点共线,根据全等三角形的性质即可得到�� = �� + ��,据此求解即可. 本题是四边形综合题,考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性质并作辅 助线构造出全等三角形是解题的关键. 【详解】解:[问题发现](1)依题意,延长��到点�,使�� = ��,连接��, 故答案为:��; (2)证明:由(1)得�� = ��, ∵四边形����是正方形, AD AB  ,∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 90°, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), ∴ �� = ��,∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = 45°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ∴ ∠��� +∠��� = 45°, 45GAE BAG BAE EAF         , 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), ∴ �� = ��, ∵ �� = �� + �� = �� + ��, EF BE DF   . [问题应用]依题意,将△ ���绕点�顺时针旋转 120°得到△ ���, ∴△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 180°, M 、�、�三点共线, ∵ ∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� −∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠���, AE AE ,�� = ��, ∴△��� ≌△ ���(SAS), ∴ �� = ��, ∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��, ∴ �� + �� + �� + �� + �� = �� + �� + �� + �� = 4 + 5 + 5 + 4 = 18(cm), ∴五边形�����的周长为 18cm 故答案为:18cm. 3.(1)��;(2)见解析;【问题应用】18cm 【问题发现】(1)利用旋转的性质,可得�� = ��,则可得出答案; (2)证明△ ��� ≌△ ��� SAS 即可; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 【问题应用】根据旋转的性质得到△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��,推出 M、B、E三点共线,根据全等三角形的性质即可得到�� = �� + ��,据此求解即可. 【详解】解:【问题发现】(1)∵△ ���与△ ���可以看作绕点 A 旋转 90°的关系. ∴延长��到点 G,使�� = ��,连接��, 故答案为:��; (2)证明:由(1)的�� = ��, ∵四边形����是正方形, ∴�� = ��,∠��� = ∠� = 90° = ∠���, ∴∠��� = 180° −∠��� = 90° 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴DF GB ,∠��� = ∠��� ∴�� = �� + �� ∵∠��� +∠��� = 90° −∠��� = 45°, ∴∠��� +∠��� = 45° 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = �� ∴�� = �� + ��; 解:【问题应用】将△ ���绕点 A顺时针旋转 120°得到△ ���, ∴△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 180°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∴M、B、E三点共线, ∵ ∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� −∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ �� = ��,�� = ��, ∴△��� ≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��, ∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��, ∴五边形�����的周长= �� + �� + �� + �� + �� = �� + �� + �� + �� = 4 + 5 + 5 + 4 = 18(cm), 故答案为:18cm. 【点睛】本题是四边形综合题,考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性 质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键. 4.(1)EF=BE+FD;(2)EF=BE+FD,证明见解析;(3)168 海里 【分析】如图 1,延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG,证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形的性质 得到 AE=AG,证明△AEF≌△AGF,得 EF=FG,证明结论; 如图 2,延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG,证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形的性质得到 AE= AG,证明△AEF≌△AGF,得 EF=FG,证明结论; 如图 3,连接 EF,延长 AE、BF相交于点 C,根据题意得到∠EOF=1 2 ∠AOB,OA=OB,∠OAC+∠OBC= 180°,根据图 2 的结论计算. 【详解】解:如图 1,EF=BE+DF, 理由如下:在△ABE和△ADG中, �� = �� ∠� = ∠��� �� = �� , ∴△ABE≌△ADG(SAS), 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠EAF=1 2 ∠BAD, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△GAF中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+DF; 故答案为 EF=BE+DF; 如图 2,EF=BE+DF, 理由:延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG, 在△ABE和△ADG中, �� = �� ∠� = ∠��� �� = �� , ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠EAF=1 2 ∠BAD, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△GAF中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+DF; 如图 3,连接 EF,延长 AE、BF相交于点 C, ∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,∠EOF=70°, ∴∠EOF=1 2 ∠AOB, ∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°, ∴符合探索延伸中的条件, ∴结论 EF=AE+BF成立, 即 EF=1.2×(60+80)=168(海里). 故答案为:168. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△AEF≌△AGF 是解题的关键. 5.(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,利用旋转构造全等三角 形是解题的关键. (1)根据旋转得到�� = ��,�� = ��,�� = ��,即可得到△ ��� ≌△ ���; (2)根据旋转得到�� = ��,AM AE ,∠��� = 90°,∠��� = ∠��� = 90°,即可得到△ ��� ≌△ ���, 然后依据����� = �� + �� + �� = �� + ��+ �� + �� = �� + ��,代入数据解答即可. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 【详解】(1)证明:由旋转的性质,可知:�� = ��,�� = ��,�� = ��, 在△ ���和△ ���中, �� = �� �� = �� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SSS ; (2)解:由旋转的性质,可知:�� = ��,�� = ��,∠��� = 90°,∠��� = ∠� = 90°, ∴点�、�、�共线, ∵ ∠��� = 45°, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠��� 在△ ���和△��� 中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△���(���). ∴ �� = ��, ∵ �� = �� + ��, ∴ �� = ��+ ��; ∴ �△��� = �� + �� + �� = �� + ��+ �� + �� = �� + ��, ∵正方形的边长为 4, ∴ ����� = �� + �� = 4 + 4 = 8. 6.(1)�� = �� + �� (2)成立,理由见解析 (3)�� = �� − ��,证明见解析 【分析】(1)延长��到点 G.使�� = ��.连接��,利用全等三角形的性质解决问题即可; (2)延长��至 M,使�� = ��,连接��.证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出�� = ��,∠2 = ∠3.△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出�� = ��,即�� = �� + ��,则可得出结论; (3)在 BE上截取��,使�� = ��,连接��.证明△ ��� ≌△ ���.由全等三角形的性质得出∠��� = ∠���,�� = ��.证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出结论. 【详解】(1)解:�� = �� + ��. 延长��到点 G.使�� = ��.连接��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . ∴�� = ��,∠��� = ∠���. ∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°. ∴∠��� = ∠��� = 60°. 又∵�� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . ∴�� = ��. ∵�� = �� + ��. ∴�� = �� + ��. 故答案为:�� = �� + ��; (2)解:(1)中的结论�� = �� + ��仍然成立. 证明:如图②中,延长��至 M,使�� = ��,连接��. ∵∠��� +∠� = 180°,∠1 +∠��� = 180°, ∴∠1 = ∠�, 在△ ���与△ ���中, �� = �� ∠1 = ∠� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∴�� = ��,∠2 = ∠3. ∵∠��� = 1 2 ∠���, ∴∠2 +∠4 = 1 2 ∠��� = ∠���. ∴∠3 + ∠4 = ∠���,即∠��� = ∠���. 在△ ���与△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . ∴�� = ��,即�� = �� + ��, ∴�� = �� + ��; (3)解:结论:�� = �� − ��. 证明:如图③中,在 BE上截取��,使�� = ��,连接��. ∵∠� +∠��� = 180°,∠��� +∠��� = 180°, ∴ B ADF   . 在△ ���与△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . ∴∠��� = ∠���,�� = ��. ∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���. ∴∠��� = ∠���. ∵�� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 ∴�� = ��, ∵�� = �� − ��, ∴�� = �� − ��. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造 全等三角形解决问题. 7.(1)�� = �� + �� (2)��2 = ��2 + ��2,理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质,解题的关键是: (1)利用旋转的性质,证明△ ��� ≌△ ���(SAS),得到�� = ��,等量代换即可证明�� = �� + ��; (2)把△ ���绕点�顺时针旋转 90°得到△ ���',连接��',根据旋转的性质,可知��' = ��,��' = ��, ∠� = ∠���',∠��� = ∠�'��,在 Rt △ ���中,�� = ��,可求得∠�'�� = 90°,所以�'�2 + ��2 = �'�2, 证△ ���' ≌△ ���(SAS),利用��' = ��得到��2 = ��2 + ��2. 【详解】(1)解:证明:由旋转可得�� = ��, AF AG ,∠��� = ∠���, ∵四边形����为正方形, 90BAD  , ∵ ∠��� = 45°, ∴ ∠��� +∠��� = 45°, 45BAG BAE   , ∴ ∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), ∴ �� = ��, ∵ �� = �� + �� = �� + ��, EF BE DF   ; (2)猜想:��2 = ��2 + ��2, 证明:把△ ���绕点�顺时针旋转 90°得到△ ���',连接��',如图 3, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 ∴ ��' = ��,��' = ��,∠� = ∠���',∠��� = ∠�'��, ∵ �� = ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 45°, ∴ ∠��� + ∠���' = 90°,即∠�'�� = 90°, ∴ �'�2 + ��2 = �'�2, 又∵ ∠��� = 45°, ∴ ∠��� +∠��� = 45°, ∴ ∠�'�� + ∠��� = 45°,即∠�'�� = 45°, 在△ ���'和△ ���中 �� = �� ∠�'�� = ∠��� ��' = �� ∴△ ���' ≌△ ���(SAS), ∴ ��' = ��, ∴ ��2 = ��2 + ��2. 8.(1)见详解 (2)�� = 3 2 (3)8 【分析】(1)由旋转可得DE DM ,∠���为直角,可得出∠��� + ∠��� = 90°,由∠��� = 45°,得到 MDF 为 45°,可得出∠��� = ∠���,再由�� = ��,利用 SAS可得出三角形���与三角形���全等,由 全等三角形的对应边相等可得出�� = �� + ��; (2)由(1)的全等得到�� = �� = 1,正方形的边长为 3,用�� − ��求出��的长,再由�� + ��求出�� 的长,设�� = �� = �,可得出�� = �� − �� = ��− ��,在直角三角形 BEF中,利用勾股定理列出关 于�的方程,求出方程的解得到�的值,即为��的长. (3)拓展延伸:如图,在正方形����中,�、�分别在边��、��上,且∠��� = 45°,连接��,同(2)可 得结论�� = �� + ��仍然成立,再结合 8BC CD  ,即可作答. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 【详解】(1)证明:∵△ ���逆时针旋转 90°得到△ ���, ∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 180°,�� = ��, ∴ �、�、�三点共线, ∴ �� = ��,∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∵ ∠��� = 45°, ∴ ∠��� = ∠��� = 45°, 在△ ���和△���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), ∴ �� = ��, ∴ �� = �� + ��; (2)解:设�� = �� = �, ∵ �� = �� = 1,�� = 3, ∴ �� = �� + �� = 3 + 1 = 4, ∴ �� = �� −�� = �� − �� = 4 − �, ∴ �� = �� − �� = 3 − 1 = 2, 在 Rt △ ���中,由勾股定理得, ��2 + ��2 = ��2 即 2 2 22 (4 )x x   , 解得� = 5 2 , 则 5 2 EF MF  . ∴�� = �� − �� = 5 2 − 1 = 3 2 ; (3)解:如图②,将△ ���绕点�顺时针旋转角度为∠���的度数,得到△ ���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 由旋转可得,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠���,∠� = ∠���, 1 2 EAF DAB   , 1 2 HAE BAH BAE DAF BAE BAD           , HAE EAF  , 180ABH ABE D ABE         , ∴点H 、�、�三点共线, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), EF HE  , HE BH BE  , ∴ �� = �� + ��; ∵ 8BC CD  ∴�� + �� + �� + �� = 8, �� + �� + �� + �� = 8, 则 �� + �� + �� + �� = 8, ∴�� + �� + �� = 8, ∴�� + �� + �� = 8, 则△ ���的周长为 8. 【点睛】此题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理,利用了转化 及方程的思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 9.(1)①BE+DF=EF,②将△ADF 绕 A 点顺时针旋转 90° (2)EF=DF+BE,理由见详解 (3)5.2 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 【分析】(1)①沿着小明的思路,先证△ADF≌△ABG,再证△AEF≌△AEG,即可得出结论;②在① 的基础上,证明∠GAF=90°即可得解; (2)延长 CB至点 M,使得 BM=DF,连接 AM,先证△ABM≌△ADF,再证△MAE≌△FAE,即可得出结 论; (3)过 E点作 EN⊥AC于 N点,设 EC=x,则有 x<6,即 BE=6-x,分别在 Rt△ABE和 Rt△ADC中,表示 出��2和求出 AC,再证△AEN是等腰直角三角形,即可得��2 = 2��2 = 2��2,则有 2��2 = 42 + (6 − �)2, 再证 Rt△ABC∽Rt△ENC,即有�� �� = �� �� ,进而有�� = ��×���� = 4� 2 13,则可得一元二次方程 2 × 4 13 �2 = 42 + (6 − �)2,解方程就可求出 CE. 【详解】(1)①BE+DF=EF,理由如下: 沿着小明的思路进行证明, 在正方形 ABCD中,有 AD=AB,∠D=∠ABC=90°, 即有∠ABG=90°, ∵BG=DF,AD=AB,∠D=∠ABG=90°, ∴△ADF≌△ABG, ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF, ∵AF=AG,AE=AE, ∴△AEF≌△AEG, ∴EG=EF, ∵EG=BG+BE,BG=DF, ∴EF=BE+DF,结论得证; ②将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°即可得到△ABG. 理由如下: 在①已经证得△ADF≌△ABG,并得到∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF, ∴∠GAF=∠EAG+∠EAF=45°+45°=90°, ∴将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°即可得到△ABG; 故答案为:①BE+DF=EF,②将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 (2)EF=DF+BE,理由如下: 延长 CB至点 M,使得 BM=DF,连接 AM,如图, ∵∠ABC与∠D互补, ∴∠D+∠ABC=180°, ∵∠ABC+∠ABM=180°, ∴∠ABM=∠D, ∵AB=AD,BM=DF, ∴△ABM≌△ADF, ∴∠DAF=∠BAM,AM=AF, ∵∠EAF=1 2 ∠BAD, ∴∠BAE+∠FAD=1 2 ∠BAD, ∴∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∵∠DAF=∠BAM, ∴∠BAM+∠BAE=∠EAF, ∴∠MAE=∠EAF, ∵AM=AF,AE=AE, ∴△MAE≌△FAE, ∴ME=EF, ∵ME=BE+MB,MB=DF, ∴EF=DF+BE,结论得证; (3)过 E点作 EN⊥AC于 N点,如图, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 ∵AD=6,AB=4, ∴在矩形 ABCD中,AD=BC=6,AB=DC=4,∠D=∠B=90°, ∴设 EC=x,则有 x<6, ∴BE=BC-EC=6-x, 在 Rt△ABE中,��2 = ��2 + ��2 = 42 + (6 − �)2, 在 Rt△ADC中,�� = ��2 + ��2 = 62 + 42 = 2 13, ∵∠CAE=45°,EN⊥AC, ∴∠ANE=90°=∠ENC, ∴∠AEN=45°, ∴△AEN是等腰直角三角形, ∴�� = 2�� = 2��, ∴��2 = 2��2 = 2��2, 即:2��2 = 42 + (6 − �)2 ∵∠ENC=90°=∠B,∠ACB=∠ECN, ∴Rt△ABC∽Rt△ENC, ∴ �� �� = �� �� , ∵AB=4,AC=2 13,EC=x, ∴�� = ��×���� = 4� 2 13, ∴��2 = 4 13 �2, ∵2��2 = 42 + (6 − �)2, ∴2 × 4 13 �2 = 42 + (6 − �)2, ∴结合 x<6,解得 x=5.2, ∴CE=5.2. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直 角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识,做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 2 勾股定理与半角模型 1.【探索发现】如图①,四边形����是正方形,�,�分别在边��、��上,且∠���=45°, 我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.如 图①,将△ ���绕点�顺时针旋转 90°,点�与点�重合,得到△ ���,连接��、��、��. (1)试判断��,��,��之间的数量关系,并写出证明过程. (2)如图②,点�、�分别在正方形����的边��、��的延长线上,∠��� = 45°,连接��, 请写出��、��、��之间的数量关系,并写出证明过程. 2.【问题发现】如图 1,正方形����(四边相等,四个内角均为 90°)中,�、�分别在边��、 ��上,且∠��� = 45°,连接��,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型” 问题时,旋转是一种常用的分析思路.大致思路:巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���, 使得△ ��� ≌ ���,进而证出∠���度数,最后证明△ ��� ≌△ ���,即可得出结论.请补充 辅助线的作法,并写出完整证明过程. (1)延长��到点 G,使�� = ,连接��. (2)求证:�� = �� + ��. 【问题应用】如图 2,在四边形����中,�� = �� = 4cm,∠� = ∠� = 90°,∠��� = 120°, 以 A为顶点的∠��� = 60°,��、��分别交��、��于 E、F,且�� = 5cm,求五边形����� 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 的周长 3.【问题发现】如图 1,正方形����(四边相等,四个内角均为 90°)中,E、F分别在边��、 ��上,且∠��� = 45°,连接��,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型” 问题时,旋转是一种常用的分析思路. 大致思路:巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���,使得△ ��� ≌△ ���,进而证出∠��� 度数,最后证明△ ��� ≌△ ���,即可得出结论.请补充辅助线的作法,并写出完整证明过程. (1)延长��到点�,使�� =___________,连接��; (2)求证:�� = �� + ��. 【问题应用】在四边形����中,�� = �� = 4cm, 90B D    ,∠��� = 120°,以 A为顶点 的∠��� = 60°,��、 AF 与��、��边分别交于 E、F两点且�� = 5cm,则五边形�����的周 长=_____________. 4.如图 1:在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分别是 BC, CD 上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是:延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,即可得出 BE,EF,FD 之间的数量关系,他的结论应是 . 像上面这样有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等的几何模型称 为半角模型. 拓展 (2)如图 2,若在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是 BC,CD 上的点, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 且∠EAF= 1 2 ∠BAD,则 BE,EF,FD 之间的数量关系是 .请证明你的结论. 实际应用 (3)如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西 30°的 A处,舰艇乙在 指挥中心南偏东 70°的 B处,且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正 东方向以 60 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 海里小时的速度前进, 1.2 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F处,且两舰艇之间的夹角为 70°, 试求此时两舰艇之间的距离是 海里(直接写出答案). 5.如图,四边形����是正方形,�,�分别在��、��上,且∠��� = 45°,我们把这种模型 称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法,点�与点�重合, 得到△ ���,连接��、��、��. (1)求证: △ ��� ≌△ ���. (2)如图,已知△ ���旋转 90°得到△ ���,如果正方形的边长是 4,求△ ���的周长. 6.问题背景:“半角模型”问题.如图 1,在四边形����中,�� = ��,∠��� = 120°,∠� = ∠��� = 90°,点 E,F分别是��,��上的点,且∠��� = 60°,连接��,探究线段��,��,�� 之间的数量关系. (1)探究发现:小明同学的方法是延长��到点 G.使�� = ��.连结��,先证明△ ��� ≌△ ���, 再证明△ ��� ≌△ ���,从而得出结论:_____________; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (2)拓展延伸:如图 2,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠� = 180°,E、F分别是边��,�� 上的点,且∠��� = 1 2 ∠���,请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程, 若不成立,请说明理由. (3)尝试应用:如图 3,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠��� = 180°,E、F分别是边��,�� 延长线上的点,且∠��� = 1 2 ∠���,请探究线段��,��,��具有怎样的数量关系,并证明. 7.如图 1,四边形����是正方形,E,F分别在边��和��上,且∠��� = 45°,我们把这种模 型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.小明为了解决线 段��, BE ,��之间的关系,将△ ���绕点 A顺时针旋转 90°后解决了这个问题. (1)请直接写出线段��, BE ,��之间的关系. (2)如图 3,等腰直角三角形���,∠��� = 90°,�� = ��,点 E,F在边��上,且∠��� = 45°, 请写出��, BE ,��之间的关系,并说明理由. 8.半角模型探究 如图,正方形����的边长为 3,E、F分别是��、��边上的点,且∠��� = 45°.将△���绕 点 D逆时针旋转 90°,得到△���. (1)求证:�� = �� + ��; (2)当�� = 1时,求��的长. (3)探究延伸:如图,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠� = 180°, 8BC CD  .E、F分别 是边��、��上的点,且∠��� = 1 2 ∠���.求△ ���的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 9.【模型建立】 (1)如图 1,在正方形����中,�,�分别是边��,��上的点,且∠��� = 45°,探究图中线段 ��, BE ,��之间的数量关系. 小明的探究思路如下:延长��到点�,使�� = ��,连接��,先证明△ ��� ≌△ ���,再证明 △ ��� ≌△ ���. ①��, BE ,��之间的数量关系为________; ②小亮发现这里△ ���可以由△���经过一种图形变换得到,请你写出这种图形变换的过程 ________.像上面这样有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等的 几何模型称为半角模型. 【类比探究】 (2)如图 2,在四边形����中,�� = ��,∠���与∠�互补,�,�分别是边��,��上的点, 且∠��� = 1 2 ∠���,试问线段��, BE ,��之间具有怎样的数量关系?判断并说明理由. 【模型应用】 (3)如图 3,在矩形����中,点�在边��上,�� = 6,�� = 4,∠��� = 45°,求��的长.

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专项2 勾股定理与半角模型-华东师大版八年级上册期末专项(初中数学)
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