专项2 勾股定理与半角模型-华东师大版八年级上册期末专项(初中数学)
2024-12-02
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2份
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资源信息
| 学段 | 初中 |
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学华东师大版(2012)八年级上册 |
| 年级 | 八年级 |
| 章节 | 第14章 勾股定理 |
| 类型 | 题集-专项训练 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-期末 |
| 学年 | 2024-2025 |
| 地区(省份) | 全国 |
| 地区(市) | - |
| 地区(区县) | - |
| 文件格式 | ZIP |
| 文件大小 | 2.67 MB |
| 发布时间 | 2024-12-02 |
| 更新时间 | 2024-12-02 |
| 作者 | 邵俊成 |
| 品牌系列 | 其它·其它 |
| 审核时间 | 2024-12-02 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/49052536.html |
| 价格 | 3.00储值(1储值=1元) |
| 来源 | 学科网 |
|---|
内容正文:
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1
专项 2 勾股定理与半角模型
答案解析
1.(1)�� = ��+ ��.证明见解析
(2)�� = �� − ��.证明见解析
【分析】(1)利用旋转的性质即可得到全等三角形,再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论;
(2)利用旋转的性质得到全等三角形,再利用全等三角形得到边相等,进而得出结论.
【详解】(1)解:�� = ��+ ��.证明如下:
由旋转,可知:�� = ��,�� = ��,∠��� = 90°.∠��� = ∠� = 90°
∴点�、�、�共线
∵∠��� = 45°
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠���
在△ ���和△���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△���(SAS)
∴�� = ��
∵�� = �� + ��
∴�� = ��+ ��
(2)解:�� = �� − ��.证明如下:
在��上取�� = ��.连接 AE,
∵�� = ��,∠� = ∠���,�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���(SAS)
∴�� = ��,∠��� = ∠���
∵∠��� = 45°
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2
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠���
在△ ���和△���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△���(SAS)
∴�� = ��
∵�� = �� − ��
∴�� = �� − ��
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,利用全等三角形的性质进行等量转化是解题
的关键.
2.(1)DF;(2)见解析;问题应用:18cm
【分析】[问题发现](1)根据“巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���,使得△ ��� ≌ ���”可知,我们
要做辅助线,使得�� = ��,则可得出答案;
(2)结合正方形的性质,证明△ ��� ≌△ ���(SAS)即可;
[问题应用]根据旋转的性质得到△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� =
��,推出�、�、�三点共线,根据全等三角形的性质即可得到�� = �� + ��,据此求解即可.
本题是四边形综合题,考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性质并作辅
助线构造出全等三角形是解题的关键.
【详解】解:[问题发现](1)依题意,延长��到点�,使�� = ��,连接��,
故答案为:��;
(2)证明:由(1)得�� = ��,
∵四边形����是正方形,
AD AB ,∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 90°,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��,∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = 45°,
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3
∴ ∠��� +∠��� = 45°,
45GAE BAG BAE EAF ,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��,
∵ �� = �� + �� = �� + ��,
EF BE DF .
[问题应用]依题意,将△ ���绕点�顺时针旋转 120°得到△ ���,
∴△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 180°,
M 、�、�三点共线,
∵ ∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� −∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠���,
AE AE ,�� = ��,
∴△��� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��,
∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��,
∴ �� + �� + �� + �� + �� = �� + �� + �� + �� = 4 + 5 + 5 + 4 = 18(cm),
∴五边形�����的周长为 18cm
故答案为:18cm.
3.(1)��;(2)见解析;【问题应用】18cm
【问题发现】(1)利用旋转的性质,可得�� = ��,则可得出答案;
(2)证明△ ��� ≌△ ��� SAS 即可;
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4
【问题应用】根据旋转的性质得到△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� =
��,推出 M、B、E三点共线,根据全等三角形的性质即可得到�� = �� + ��,据此求解即可.
【详解】解:【问题发现】(1)∵△ ���与△ ���可以看作绕点 A 旋转 90°的关系.
∴延长��到点 G,使�� = ��,连接��,
故答案为:��;
(2)证明:由(1)的�� = ��,
∵四边形����是正方形,
∴�� = ��,∠��� = ∠� = 90° = ∠���,
∴∠��� = 180° −∠��� = 90°
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠�
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴DF GB ,∠��� = ∠���
∴�� = �� + ��
∵∠��� +∠��� = 90° −∠��� = 45°,
∴∠��� +∠��� = 45°
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��
∴�� = �� + ��;
解:【问题应用】将△ ���绕点 A顺时针旋转 120°得到△ ���,
∴△ ��� ≌△ ���,∠��� = ∠� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,�� = ��,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 180°,
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∴M、B、E三点共线,
∵ ∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� −∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ �� = ��,�� = ��,
∴△��� ≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,
∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��,
∴五边形�����的周长= �� + �� + �� + �� + �� = �� + �� + �� + �� = 4 + 5 + 5 + 4 = 18(cm),
故答案为:18cm.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性
质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
4.(1)EF=BE+FD;(2)EF=BE+FD,证明见解析;(3)168 海里
【分析】如图 1,延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG,证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形的性质
得到 AE=AG,证明△AEF≌△AGF,得 EF=FG,证明结论;
如图 2,延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG,证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形的性质得到 AE=
AG,证明△AEF≌△AGF,得 EF=FG,证明结论;
如图 3,连接 EF,延长 AE、BF相交于点 C,根据题意得到∠EOF=1
2
∠AOB,OA=OB,∠OAC+∠OBC=
180°,根据图 2 的结论计算.
【详解】解:如图 1,EF=BE+DF,
理由如下:在△ABE和△ADG中,
�� = ��
∠� = ∠���
�� = ��
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
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∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=1
2
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案为 EF=BE+DF;
如图 2,EF=BE+DF,
理由:延长 FD到点 G.使 DG=BE.连结 AG,
在△ABE和△ADG中,
�� = ��
∠� = ∠���
�� = ��
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=1
2
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
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�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
如图 3,连接 EF,延长 AE、BF相交于点 C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=1
2
∠AOB,
∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论 EF=AE+BF成立,
即 EF=1.2×(60+80)=168(海里).
故答案为:168.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△AEF≌△AGF
是解题的关键.
5.(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,利用旋转构造全等三角
形是解题的关键.
(1)根据旋转得到�� = ��,�� = ��,�� = ��,即可得到△ ��� ≌△ ���;
(2)根据旋转得到�� = ��,AM AE ,∠��� = 90°,∠��� = ∠��� = 90°,即可得到△ ��� ≌△ ���,
然后依据����� = �� + �� + �� = �� + ��+ �� + �� = �� + ��,代入数据解答即可.
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【详解】(1)证明:由旋转的性质,可知:�� = ��,�� = ��,�� = ��,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
�� = ��
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SSS ;
(2)解:由旋转的性质,可知:�� = ��,�� = ��,∠��� = 90°,∠��� = ∠� = 90°,
∴点�、�、�共线,
∵ ∠��� = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° = ∠���
在△ ���和△��� 中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△���(���).
∴ �� = ��,
∵ �� = �� + ��,
∴ �� = ��+ ��;
∴ �△��� = �� + �� + �� = �� + ��+ �� + �� = �� + ��,
∵正方形的边长为 4,
∴ ����� = �� + �� = 4 + 4 = 8.
6.(1)�� = �� + ��
(2)成立,理由见解析
(3)�� = �� − ��,证明见解析
【分析】(1)延长��到点 G.使�� = ��.连接��,利用全等三角形的性质解决问题即可;
(2)延长��至 M,使�� = ��,连接��.证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出�� = ��,∠2 =
∠3.△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出�� = ��,即�� = �� + ��,则可得出结论;
(3)在 BE上截取��,使�� = ��,连接��.证明△ ��� ≌△ ���.由全等三角形的性质得出∠��� =
∠���,�� = ��.证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出结论.
【详解】(1)解:�� = �� + ��.
延长��到点 G.使�� = ��.连接��,
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∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
∴�� = ��,∠��� = ∠���.
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°.
∴∠��� = ∠��� = 60°.
又∵�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
∴�� = ��.
∵�� = �� + ��.
∴�� = �� + ��.
故答案为:�� = �� + ��;
(2)解:(1)中的结论�� = �� + ��仍然成立.
证明:如图②中,延长��至 M,使�� = ��,连接��.
∵∠��� +∠� = 180°,∠1 +∠��� = 180°,
∴∠1 = ∠�,
在△ ���与△ ���中,
�� = ��
∠1 = ∠�
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
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∴�� = ��,∠2 = ∠3.
∵∠��� = 1
2
∠���,
∴∠2 +∠4 = 1
2
∠��� = ∠���.
∴∠3 + ∠4 = ∠���,即∠��� = ∠���.
在△ ���与△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
∴�� = ��,即�� = �� + ��,
∴�� = �� + ��;
(3)解:结论:�� = �� − ��.
证明:如图③中,在 BE上截取��,使�� = ��,连接��.
∵∠� +∠��� = 180°,∠��� +∠��� = 180°,
∴ B ADF .
在△ ���与△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
∴∠��� = ∠���,�� = ��.
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 1
2
∠���.
∴∠��� = ∠���.
∵�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
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∴�� = ��,
∵�� = �� − ��,
∴�� = �� − ��.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造
全等三角形解决问题.
7.(1)�� = �� + ��
(2)��2 = ��2 + ��2,理由见解析
【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质,解题的关键是:
(1)利用旋转的性质,证明△ ��� ≌△ ���(SAS),得到�� = ��,等量代换即可证明�� = �� + ��;
(2)把△ ���绕点�顺时针旋转 90°得到△ ���',连接��',根据旋转的性质,可知��' = ��,��' = ��,
∠� = ∠���',∠��� = ∠�'��,在 Rt △ ���中,�� = ��,可求得∠�'�� = 90°,所以�'�2 + ��2 = �'�2,
证△ ���' ≌△ ���(SAS),利用��' = ��得到��2 = ��2 + ��2.
【详解】(1)解:证明:由旋转可得�� = ��, AF AG ,∠��� = ∠���,
∵四边形����为正方形,
90BAD ,
∵ ∠��� = 45°,
∴ ∠��� +∠��� = 45°,
45BAG BAE ,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��,
∵ �� = �� + �� = �� + ��,
EF BE DF ;
(2)猜想:��2 = ��2 + ��2,
证明:把△ ���绕点�顺时针旋转 90°得到△ ���',连接��',如图 3,
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∴ ��' = ��,��' = ��,∠� = ∠���',∠��� = ∠�'��,
∵ �� = ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 45°,
∴ ∠��� + ∠���' = 90°,即∠�'�� = 90°,
∴ �'�2 + ��2 = �'�2,
又∵ ∠��� = 45°,
∴ ∠��� +∠��� = 45°,
∴ ∠�'�� + ∠��� = 45°,即∠�'�� = 45°,
在△ ���'和△ ���中
�� = ��
∠�'�� = ∠���
��' = ��
∴△ ���' ≌△ ���(SAS),
∴ ��' = ��,
∴ ��2 = ��2 + ��2.
8.(1)见详解
(2)�� = 3
2
(3)8
【分析】(1)由旋转可得DE DM ,∠���为直角,可得出∠��� + ∠��� = 90°,由∠��� = 45°,得到
MDF 为 45°,可得出∠��� = ∠���,再由�� = ��,利用 SAS可得出三角形���与三角形���全等,由
全等三角形的对应边相等可得出�� = �� + ��;
(2)由(1)的全等得到�� = �� = 1,正方形的边长为 3,用�� − ��求出��的长,再由�� + ��求出��
的长,设�� = �� = �,可得出�� = �� − �� = ��− ��,在直角三角形 BEF中,利用勾股定理列出关
于�的方程,求出方程的解得到�的值,即为��的长.
(3)拓展延伸:如图,在正方形����中,�、�分别在边��、��上,且∠��� = 45°,连接��,同(2)可
得结论�� = �� + ��仍然成立,再结合 8BC CD ,即可作答.
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13
【详解】(1)证明:∵△ ���逆时针旋转 90°得到△ ���,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 180°,�� = ��,
∴ �、�、�三点共线,
∴ �� = ��,∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵ ∠��� = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� = 45°,
在△ ���和△���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
∴ �� = ��,
∴ �� = �� + ��;
(2)解:设�� = �� = �,
∵ �� = �� = 1,�� = 3,
∴ �� = �� + �� = 3 + 1 = 4,
∴ �� = �� −�� = �� − �� = 4 − �,
∴ �� = �� − �� = 3 − 1 = 2,
在 Rt △ ���中,由勾股定理得,
��2 + ��2 = ��2
即 2 2 22 (4 )x x ,
解得� = 5
2
,
则
5
2
EF MF .
∴�� = �� − �� = 5
2
− 1 = 3
2
;
(3)解:如图②,将△ ���绕点�顺时针旋转角度为∠���的度数,得到△ ���,
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14
由旋转可得,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠���,∠� = ∠���,
1
2
EAF DAB ,
1
2
HAE BAH BAE DAF BAE BAD ,
HAE EAF ,
180ABH ABE D ABE ,
∴点H 、�、�三点共线,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
EF HE ,
HE BH BE ,
∴ �� = �� + ��;
∵ 8BC CD
∴�� + �� + �� + �� = 8, �� + �� + �� + �� = 8,
则 �� + �� + �� + �� = 8,
∴�� + �� + �� = 8,
∴�� + �� + �� = 8,
则△ ���的周长为 8.
【点睛】此题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理,利用了转化
及方程的思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
9.(1)①BE+DF=EF,②将△ADF 绕 A 点顺时针旋转 90°
(2)EF=DF+BE,理由见详解
(3)5.2
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15
【分析】(1)①沿着小明的思路,先证△ADF≌△ABG,再证△AEF≌△AEG,即可得出结论;②在①
的基础上,证明∠GAF=90°即可得解;
(2)延长 CB至点 M,使得 BM=DF,连接 AM,先证△ABM≌△ADF,再证△MAE≌△FAE,即可得出结
论;
(3)过 E点作 EN⊥AC于 N点,设 EC=x,则有 x<6,即 BE=6-x,分别在 Rt△ABE和 Rt△ADC中,表示
出��2和求出 AC,再证△AEN是等腰直角三角形,即可得��2 = 2��2 = 2��2,则有 2��2 = 42 + (6 − �)2,
再证 Rt△ABC∽Rt△ENC,即有��
��
= ��
��
,进而有�� = ��×���� =
4�
2 13,则可得一元二次方程 2 ×
4
13
�2 = 42 +
(6 − �)2,解方程就可求出 CE.
【详解】(1)①BE+DF=EF,理由如下:
沿着小明的思路进行证明,
在正方形 ABCD中,有 AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
即有∠ABG=90°,
∵BG=DF,AD=AB,∠D=∠ABG=90°,
∴△ADF≌△ABG,
∴AF=AG,∠DAF=∠BAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF,
∵AF=AG,AE=AE,
∴△AEF≌△AEG,
∴EG=EF,
∵EG=BG+BE,BG=DF,
∴EF=BE+DF,结论得证;
②将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°即可得到△ABG.
理由如下:
在①已经证得△ADF≌△ABG,并得到∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF,
∴∠GAF=∠EAG+∠EAF=45°+45°=90°,
∴将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°即可得到△ABG;
故答案为:①BE+DF=EF,②将△ADF绕 A点顺时针旋转 90°;
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(2)EF=DF+BE,理由如下:
延长 CB至点 M,使得 BM=DF,连接 AM,如图,
∵∠ABC与∠D互补,
∴∠D+∠ABC=180°,
∵∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠ABM=∠D,
∵AB=AD,BM=DF,
∴△ABM≌△ADF,
∴∠DAF=∠BAM,AM=AF,
∵∠EAF=1
2
∠BAD,
∴∠BAE+∠FAD=1
2
∠BAD,
∴∠BAE+∠FAD=∠EAF,
∵∠DAF=∠BAM,
∴∠BAM+∠BAE=∠EAF,
∴∠MAE=∠EAF,
∵AM=AF,AE=AE,
∴△MAE≌△FAE,
∴ME=EF,
∵ME=BE+MB,MB=DF,
∴EF=DF+BE,结论得证;
(3)过 E点作 EN⊥AC于 N点,如图,
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∵AD=6,AB=4,
∴在矩形 ABCD中,AD=BC=6,AB=DC=4,∠D=∠B=90°,
∴设 EC=x,则有 x<6,
∴BE=BC-EC=6-x,
在 Rt△ABE中,��2 = ��2 + ��2 = 42 + (6 − �)2,
在 Rt△ADC中,�� = ��2 + ��2 = 62 + 42 = 2 13,
∵∠CAE=45°,EN⊥AC,
∴∠ANE=90°=∠ENC,
∴∠AEN=45°,
∴△AEN是等腰直角三角形,
∴�� = 2�� = 2��,
∴��2 = 2��2 = 2��2,
即:2��2 = 42 + (6 − �)2
∵∠ENC=90°=∠B,∠ACB=∠ECN,
∴Rt△ABC∽Rt△ENC,
∴
��
��
= ��
��
,
∵AB=4,AC=2 13,EC=x,
∴�� = ��×���� =
4�
2 13,
∴��2 = 4
13
�2,
∵2��2 = 42 + (6 − �)2,
∴2 × 4
13
�2 = 42 + (6 − �)2,
∴结合 x<6,解得 x=5.2,
∴CE=5.2.
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【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直
角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识,做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.
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1
专项 2 勾股定理与半角模型
1.【探索发现】如图①,四边形����是正方形,�,�分别在边��、��上,且∠���=45°,
我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.如
图①,将△ ���绕点�顺时针旋转 90°,点�与点�重合,得到△ ���,连接��、��、��.
(1)试判断��,��,��之间的数量关系,并写出证明过程.
(2)如图②,点�、�分别在正方形����的边��、��的延长线上,∠��� = 45°,连接��,
请写出��、��、��之间的数量关系,并写出证明过程.
2.【问题发现】如图 1,正方形����(四边相等,四个内角均为 90°)中,�、�分别在边��、
��上,且∠��� = 45°,连接��,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”
问题时,旋转是一种常用的分析思路.大致思路:巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���,
使得△ ��� ≌ ���,进而证出∠���度数,最后证明△ ��� ≌△ ���,即可得出结论.请补充
辅助线的作法,并写出完整证明过程.
(1)延长��到点 G,使�� = ,连接��.
(2)求证:�� = �� + ��.
【问题应用】如图 2,在四边形����中,�� = �� = 4cm,∠� = ∠� = 90°,∠��� = 120°,
以 A为顶点的∠��� = 60°,��、��分别交��、��于 E、F,且�� = 5cm,求五边形�����
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2
的周长
3.【问题发现】如图 1,正方形����(四边相等,四个内角均为 90°)中,E、F分别在边��、
��上,且∠��� = 45°,连接��,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”
问题时,旋转是一种常用的分析思路.
大致思路:巧妙地通过辅助线在��边向外构造△ ���,使得△ ��� ≌△ ���,进而证出∠���
度数,最后证明△ ��� ≌△ ���,即可得出结论.请补充辅助线的作法,并写出完整证明过程.
(1)延长��到点�,使�� =___________,连接��;
(2)求证:�� = �� + ��.
【问题应用】在四边形����中,�� = �� = 4cm, 90B D ,∠��� = 120°,以 A为顶点
的∠��� = 60°,��、 AF 与��、��边分别交于 E、F两点且�� = 5cm,则五边形�����的周
长=_____________.
4.如图 1:在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分别是 BC,
CD 上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法是:延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,先证明△ABE≌△ADG,
再证明△AEF≌△AGF,即可得出 BE,EF,FD 之间的数量关系,他的结论应是 .
像上面这样有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等的几何模型称
为半角模型.
拓展
(2)如图 2,若在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是 BC,CD 上的点,
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3
且∠EAF=
1
2
∠BAD,则 BE,EF,FD 之间的数量关系是 .请证明你的结论.
实际应用
(3)如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西 30°的 A处,舰艇乙在
指挥中心南偏东 70°的 B处,且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正
东方向以 60 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 海里小时的速度前进,
1.2 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F处,且两舰艇之间的夹角为 70°,
试求此时两舰艇之间的距离是 海里(直接写出答案).
5.如图,四边形����是正方形,�,�分别在��、��上,且∠��� = 45°,我们把这种模型
称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法,点�与点�重合,
得到△ ���,连接��、��、��.
(1)求证: △ ��� ≌△ ���.
(2)如图,已知△ ���旋转 90°得到△ ���,如果正方形的边长是 4,求△ ���的周长.
6.问题背景:“半角模型”问题.如图 1,在四边形����中,�� = ��,∠��� = 120°,∠� =
∠��� = 90°,点 E,F分别是��,��上的点,且∠��� = 60°,连接��,探究线段��,��,��
之间的数量关系.
(1)探究发现:小明同学的方法是延长��到点 G.使�� = ��.连结��,先证明△ ��� ≌△ ���,
再证明△ ��� ≌△ ���,从而得出结论:_____________;
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(2)拓展延伸:如图 2,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠� = 180°,E、F分别是边��,��
上的点,且∠��� = 1
2
∠���,请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,
若不成立,请说明理由.
(3)尝试应用:如图 3,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠��� = 180°,E、F分别是边��,��
延长线上的点,且∠��� = 1
2
∠���,请探究线段��,��,��具有怎样的数量关系,并证明.
7.如图 1,四边形����是正方形,E,F分别在边��和��上,且∠��� = 45°,我们把这种模
型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.小明为了解决线
段��, BE ,��之间的关系,将△ ���绕点 A顺时针旋转 90°后解决了这个问题.
(1)请直接写出线段��, BE ,��之间的关系.
(2)如图 3,等腰直角三角形���,∠��� = 90°,�� = ��,点 E,F在边��上,且∠��� = 45°,
请写出��, BE ,��之间的关系,并说明理由.
8.半角模型探究
如图,正方形����的边长为 3,E、F分别是��、��边上的点,且∠��� = 45°.将△���绕
点 D逆时针旋转 90°,得到△���.
(1)求证:�� = �� + ��;
(2)当�� = 1时,求��的长.
(3)探究延伸:如图,在四边形����中,�� = ��,∠� + ∠� = 180°, 8BC CD .E、F分别
是边��、��上的点,且∠��� = 1
2
∠���.求△ ���的周长.
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9.【模型建立】
(1)如图 1,在正方形����中,�,�分别是边��,��上的点,且∠��� = 45°,探究图中线段
��, BE ,��之间的数量关系.
小明的探究思路如下:延长��到点�,使�� = ��,连接��,先证明△ ��� ≌△ ���,再证明
△ ��� ≌△ ���.
①��, BE ,��之间的数量关系为________;
②小亮发现这里△ ���可以由△���经过一种图形变换得到,请你写出这种图形变换的过程
________.像上面这样有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等的
几何模型称为半角模型.
【类比探究】
(2)如图 2,在四边形����中,�� = ��,∠���与∠�互补,�,�分别是边��,��上的点,
且∠��� = 1
2
∠���,试问线段��, BE ,��之间具有怎样的数量关系?判断并说明理由.
【模型应用】
(3)如图 3,在矩形����中,点�在边��上,�� = 6,�� = 4,∠��� = 45°,求��的长.
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