（篇三）第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题【十四大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 23 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 2 日 2 / 23 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 专题内容 本专题以按比例分配问题为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点难度较大，建议根据学生实际情况和总体水平，选 择性讲解部分考点。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础 .............................................................4 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶 ...............................................5 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题 .....................................................6 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题 ................................................................ 7 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题 ................................................................ 8 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题 ...................................................... 9 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题 ................................................... 11 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题 .................................................... 12 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合 ................................13 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题 .................................................................. 15 3 / 23 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题 ................................................... 16 【考点十二】不变量问题其一：单量不变 ...................................................................... 17 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变） ........................................18 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变） ....................................20 【考点十五】比与工程问题综合 ..................................................................................... 21 【考点十六】比与行程问题综合 ..................................................................................... 22 4 / 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础。 【方法点拨】 1. 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基 本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题 型，再根据方法解答。 2. 按比例分配问题的两种解答方法。 一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出 各部分数量是多少。 二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解 答。 【典型例题】 某条公路上，停着小客车、小轿车共 56辆，这两种车的辆数比为 3∶4，求客车、 轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【对应练习 1】 小红一家 4口和小明一家 5口到餐厅用餐，餐费总共是 450元，两家决定按人数 分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【对应练习 2】 某校五、六年级学生共向灾区捐款 3600元，已知六年级捐款数和五年级的比是 4∶5，五、六年级各捐款多少元？ 5 / 23 【对应练习 3】 某校六（1）和六（2）班共有 72人，六（1）班和六（2）班人数的比是 5∶4， 六（1）和六（2）各有多少人？ 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与 比。 【典型例题】 学校的劳动实践基地共 500平方米，学校准备用 2 5 种西红柿，剩下的按 3∶2的 面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 【对应练习 1】 王老伯家的菜地共 800平方米，他准备用 2 5 种西红柿，剩下的按 5∶3的面积比 种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 【对应练习 2】 图书馆新购进了 840本新书，其中的 14借给了四年级，剩下的书按 5∶4借给五、 六年级，六年级借到了多少本新书？ 6 / 23 【对应练习 3】 李叔叔每月用 1800元还住房按揭贷款，正好占月工资的 13，他将工资剩余的钱 按 5∶3分别用于个人生活开支和定期储蓄。李叔叔每月定期储蓄多少元？ 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题。 【方法点拨】 三个量的按比例分配问题同两个量的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和 ÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 希望小学把栽 80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有 50 人，二班有 54人，三班有 56人，三个班各应栽多少棵树？ 【对应练习 1】 将一根长 243厘米的铁丝截去 13，用剩下的部分围成一个三角形，这个三角形三 条边长的比是 6∶5∶7，最长的边是多少厘米？ 【对应练习 2】 我国民间常用生姜、红糖和水按 2∶5∶75的质量比煎熬成“姜汤”，用来防治感 冒。要煮一碗 246克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？ 7 / 23 【对应练习 3】 一种混凝土是按水泥、沙子、石子 3∶4∶5的比例配成的，现要配这种混凝土 240吨，应准备水泥、沙子、石子各多少吨？ 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与 比。 【典型例题】 新世纪小学四、五、六年级共有 27个班，平均每个班 35人，三个年级的人数比 是 2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 【对应练习 1】 某文具店第一季度平均每月销售额为 9000元，其中一月、二月和三月销售额之 比是 3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 【对应练习 2】 聪聪三次参加数学竞赛。三次的成绩比是19 :17 :18，已知三次的平均成绩是 90 分，聪聪第二次的成绩是多少分？ 8 / 23 【对应练习 3】 朝阳商店运来 110筐苹果，平均每筐重 30千克，根据苹果的质量，将苹果分为 一等、二等、三等，一等、二等、三等苹果的重量比是 6∶3∶2，每等苹果各有 多少千克？ 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题。 【方法点拨】 存在两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法解答。 【典型例题】 箱子里有大中小零件共 140个，其中大零件与中零件的个数比是 2∶3，中零件 与小零件的个数比是 4∶5。这三种零件各有多少个？ 【对应练习 1】 光明小学六年级有学生 140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第 二小组人数的比是 2:3，第二小组和第三小组的人数比 4:5，这三个小组各是多少 人？ 【对应练习 2】 学校把 414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数 比是 2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是 5:7，求每个班各分得树苗多少棵？ 9 / 23 【对应练习 3】 艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是 1:2，大 宽和薇儿一个月的工资之比是 3:4，地主每个月给他们一共 51元钱的工资，那么 艾迪的工资为多少元？ 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题。 【方法点拨】 先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出 各部分数量是多少。 【典型例题 1】长方形的周长。 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是7 :5，它的周长为 24米，求这块长 方形菜地的面积是多少？ 【对应练习 1】 小明用 250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是 3∶2，这个长方 形的面积是多少？ 【对应练习 2】 用 96厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是 5∶3，这个长 方形的面积是多少平方厘米？ 10 / 23 【对应练习 3】 李大伯用 70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场（如图），已知长和宽的比 是 4∶3，求养鸡场的面积。 【典型例题 2】长方体的棱长和。 一个长方体棱长总和为 96厘米，长、宽、高的比是 3∶2∶1，这个长方体的长、 宽、高各是多少？ 【对应练习 1】 小红用一根长 144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高 的比是 5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【对应练习 2】 小芳用 216厘米长的铁丝做了一个长方体框架，长、宽、高的比是 4∶3∶2，这 个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？体积是多少？ 【对应练习 3】 把一根 360厘米长的铁丝分成段，再焊接成一个长方体框架，使长方体的长、宽、 高的比为 4∶3∶2，求这个长方体的体积？ 11 / 23 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题。 【方法点拨】 复杂的连比问题，即和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同 问题求出对应比的和，最后再按比例分配。 【典型例题】 有一个长方体，棱长和是 352厘米，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2，这个 长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习 1】 一个长方体所以棱长之和是 452厘米，长、宽之比是 8:5，宽、高之比是 6:7，求 长方体的体积。 【对应练习 2】 有一个长方体，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2，已知这个长方体的全部棱 长之和是 220厘米，求这个长方体的体积。 12 / 23 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题。 【方法点拨】 先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数， 即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 A、B两地相距 750千米，甲．乙两车同时从 A、B两地相对开出，相向而行， 经过 5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是 8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【对应练习 1】 甲、乙两车从相距 350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲 车的速度与乙车的速度比是 2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【对应练习 2】 两地相距 560千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇，已知甲、 乙两车的速度比是 4∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【对应练习 3】 甲地到乙地的总路程是 316.8千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出， 经过 1.6小时两车相遇。已知客车和货车的速度比是 5∶4，求客车每小时行驶多 少千米。 13 / 23 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合。 【方法点拨】 比与分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。 【典型例题 1】问题一。 甲数的 2 3等于乙数的 5 6，甲、乙两数的和是 162，甲、乙两数各是多少？ 【对应练习 1】 某班共有学生 55人，男生人数的 4 5 等于女生人数的 2 3 ，这个班男、女生各有多 少人？ 【对应练习 2】 甲、乙两数之和是 180，甲数的 14等于乙数的 1 5，甲、乙两数各是多少？ 【对应练习 3】 甲、乙两数的和是 182，已知甲数的 1 2 等于乙数的 2 3 ，甲、乙两数各是多少？ 【典型例题 2】问题二。 甲数是乙数的 5 6，乙数是丙数的 3 4 ，甲、乙丙三个数的和是 152，甲、乙、丙三 个数各是多少？ 14 / 23 【对应练习 1】 学校运来文艺书共 99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班 的 5 7 ，丙班分得的是乙班的 2 3，丁班分得多少本？ 【对应练习 2】 第一车间人数的 3 5 等于第二车间人数的 9 10 ，第一车间比第二车间多 50人。两个 车间各有多少人？ 【对应练习 3】 某小学六年级三个班共有 300人，一班的人数是二班的 4 5 ，二班的人数是三班的 5 6，三个班各有多少人？ 【典型例题 3】问题三。 某食堂第一周用去面粉总袋数的 1 2 ，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是 3∶10，现在还剩 50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【对应练习 1】 水果超市运来橘子、苹果和梨一共 380千克。橘子和苹果的质量比是 5∶6，梨 的质量比苹果多 1 3。水果超市运来橘子多少千克？ 15 / 23 【对应练习 2】 实验小学将六年级的 140名学生分成三个小组进行植树，已知第一小组和第二小 组人数的比是 2∶3，第二小组的人数是第三小组的 3 5 ，这三个小组各有多少人？ 【对应练习 3】 向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有 125人。低年级人数是中年级的 58，中 年级与高年级人数比是 2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？ 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题。 【方法点拨】 差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数 =每份数，再根据每份数求对应数量。 【典型例题】 某果园桃树和李树的棵数比是 3∶8，桃树比李树少 90棵，该果园共有桃树和李 树多少棵？ 【对应练习 1】 水果店运来苹果比橙子少 240千克，已知苹果与橙子的质量比是 3∶5，水果店 运来苹果和橙子一共多少千克？ 16 / 23 【对应练习 2】 把一条路按 2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，已知甲队比乙队少修 16 千米，这条路全长是多少千米？ 【对应练习 3】 六年级三个班举行“读写知识竞赛”，一班的参赛人数占总参赛人数的 13，二班与 三班参赛人数的比是 7∶9，二班的参赛人数比三班少 6人。 （1）二班有多少人参加“读写知识竞赛”？ （2）六年级三个班一共有多少人参加“读写知识竞赛”？ 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题。 【方法点拨】 单量和比的问题是已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对 应份数=每份数，再求另外一个单量。 【典型例题】 计算器的单价是 24元，笔记本的单价与计算器的单价比是 3∶8。买一本笔记本 需要多少元？ 17 / 23 【对应练习 1】 一件上衣的售价是 60元，裤子与上衣单价的比是 2∶3。每条裤子多少元？ 【对应练习 2】 某小区停车场普通车位和充电桩车位的数量比是 7∶3，其中普通车位有 210个。 充电桩车位有多少个？ 【对应练习 3】 光明小学六年级开展“我帮父母做家务”活动。其中帮父母刷碗的男、女生人数的 比是 7∶8，如果帮父母刷碗的女生有 56人，那么帮父母刷碗的男生有多少人？ 【考点十二】不变量问题其一：单量不变。 【方法点拨】 单量不变问题。 第 1步：统一不变的单量； 第 2步：统一一份量； 第 3步：求解一份量。 【典型例题】 厨房里原有苹果和橘子的个数之比为 3:4，妈妈又买了 7个苹果，此时苹果和橘 子的个数之比为了 4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？ 18 / 23 【对应练习 1】 宿宿和权权两人所带的钱数之比为 9:5，由于宿宿嘴馋买了一份 8元的串串，他 们的钱数比变为了 5:3，那么原来他们各有多少钱？ 【对应练习 2】 学校原有足球个数和篮球个数的比是8 : 7，现在又买进 10个足球，这时足球个 数与篮球个数的比是3 : 2，学校原有篮球多少个？ 【对应练习 3】 某厂原有男、女职工的人数比是 2∶3，现新调入男职工 35人后，男、女职工人 数比是 5∶4，现在男职工比女职工多几人？ 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变）。 【方法点拨】 差不变问题（同增同减差不变） 第一步：统一不变的差量； 第二步：统一一份量； 第三步：得出一份量。 【典型例题 1】 壮壮和苹苹存钱数的比是3:5，如果壮壮再存入 400元，就和苹苹存的钱一样多， 苹苹存了多少元？ 19 / 23 【典型例题 2】 甲、乙两人原有书籍数量之比是 25:13，后来两人都被借走了 20本书，借完后甲、 乙两人书籍数量的比是 7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？ 【对应练习 1】 小明的课外书与小芳课外书之比为 6:1，如果两人再各买 2本后，小明现有的课 外书与小芳的课外书之比为 5:1，小明原有课外书多少本？ 【对应练习 2】 艾迪和薇儿出去玩，艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是 2:3，两人都用去了 200 元钱买东西，买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是 4:7，问薇儿原来带了多少钱？ 【对应练习 3】 已知李亮与爸爸的年龄差是 26岁，今年李亮与爸爸的年龄比是 9∶35，几年后, 两人的年龄比是 7∶20？ 20 / 23 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变）。 【方法点拨】 总量不变问题（给来给去和不变） 第一步：统一不变的和量； 第二步：统一一份量； 第二步：得出一份量。 【典型例题 1】 六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的 1 3，后来又有 40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是3: 4，六年级一共有多少人？ 【典型例题 2】 小红和小明一共有 105元钱。小红给小明 18元后，小红与小明钱数的比正好是 2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？ 【对应练习 1】 六年级一班和二班原有图书本数的比是 5∶3，一班给二班 63本后，一班图书本 数就是二班的 2 3，原来二班有图书多少本？ 【对应练习 2】 修一条小路，已修的和未修的米数比是 1∶4，如果再修 115米，已修的和未修 的米数比是 7∶5，这条小路全长多少米？ 21 / 23 【对应练习 3】 甲筐有苹果 80千克，乙筐有苹果 60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以 使甲、乙两筐苹果的质量比是 5∶2？ 【对应练习 4】 一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是 5∶3，如果第一小组中 的 14人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比是 1∶2，原来两个小组各 有多少人？ 【考点十五】比与工程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 一项工程由甲队单独完成，需要 60天；由乙队单独完成，需要 40天。两队合作 完工后，按完成的工作量，总共领到 15万元工程款，那么甲队、乙队分别能领 到多少万元工程款？ 【对应练习 1】 修一条水渠，甲队单独修 15天完成，乙队单独修，2天修了全长的 15。现在甲队 先修 5天，乙队再加入一起修。完成工程后，两队共得工资 3000元。按工作量 分配甲队应得多少元？ 22 / 23 【对应练习 2】 甲乙两人共同完成一项工程。甲、乙合做 6天完成工程的 2 3 ，剩下的由乙独做 8 天完成。按完成的工作量的多少分配工资，甲获得工资 5000元，乙应得多少元 工资？ 【对应练习 3】 一项工程，甲队单独完成需要 20天，乙队单独完成需要 12天。现在乙队先工作 几天，剩下的由甲队单独完成。工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用 了 14天，共得劳务费 2万元。如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万 元？ 【考点十六】比与行程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 从甲地到乙地的路程分为上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是 1∶2∶3，某 人走这三段路所用的时间之比是 4∶5∶6。已知他上坡时的速度为 2.5千米/小时， 路程全长为 30千米，此人从甲地走到乙地需要多长时间？ 23 / 23 【对应练习 1】 一条路全长 48千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路的长度比是 1︰2︰3， 某人走各段路所用的时间之比是 3︰4︰5。已知他走下坡的速度是每小时 6千米， 他走完全程用多少时间？ 【对应练习 2】 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 2：3：5，小 亮走这三段路所用的时间之比是 6：5：4．已知小亮走平路时的速度为每小时 4.5 千米，他从甲地走到乙地共用了 5小时．问：甲、乙两地相距多少千米？ 【对应练习 3】 一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程比是 2∶3∶4，淘气走完这三段路 程所用的时间比是 4∶5∶6.已知他上坡速度是每时 4千米，路程总长 36千米。 淘气走完全程需要多少时？ 1 / 46 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 2 日 2 / 46 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 专题内容 本专题以按比例分配问题为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点难度较大，建议根据学生实际情况和总体水平，选 择性讲解部分考点。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础 .............................................................4 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶 ...............................................6 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题 .....................................................9 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题 .............................................................. 11 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题 .............................................................. 14 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题 .................................................... 15 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题 ................................................... 20 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题 .................................................... 22 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合 ................................24 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题 .................................................................. 30 3 / 46 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题 ................................................... 33 【考点十二】不变量问题其一：单量不变 ...................................................................... 35 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变） ........................................37 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变） ....................................38 【考点十五】比与工程问题综合 ..................................................................................... 41 【考点十六】比与行程问题综合 ..................................................................................... 44 4 / 46 【第三篇】典型例题篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础。 【方法点拨】 1. 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基 本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题 型，再根据方法解答。 2. 按比例分配问题的两种解答方法。 一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出 各部分数量是多少。 二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解 答。 【典型例题】 某条公路上，停着小客车、小轿车共 56辆，这两种车的辆数比为 3∶4，求客车、 轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【答案】客车：24辆；货车：32辆 【分析】由题意可知：把 56辆按 3∶4分配可求出客车、轿车的辆数。方法一： 平均分法。把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。方 法二：转化法。转化成分数乘法来解答。 【详解】方法一： 总份数：3＋4＝7（份） 每份数：56÷7＝8（辆） 客车的辆数：8×3＝24（辆） 货车的辆数：8×4＝32（辆） 方法二： 客车的辆数：56× 3 3 4 ＝56× 3 7 ＝24（辆） 5 / 46 货车的辆数：56× 4 3 4 ＝56× 47 ＝32（辆） 答：客车有 24辆，货车有 32辆。 【点睛】可以把按比分配问题转化成“平均分”问题来解答，也可以转化成分数问 题来解答。 【对应练习 1】 小红一家 4口和小明一家 5口到餐厅用餐，餐费总共是 450元，两家决定按人数 分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【答案】小红家应分摊 200元，小明家应分摊 250元 【分析】根据比的意义，可知餐费按人口比来分配，也就是按 4∶5来分配，把 小红家分摊的餐费看作 4份，小明家分摊的餐费看作 5份，据此用总餐费除以总 份数，即可求出每份是多少，进而用乘法分别求出两家分摊的餐费。 【详解】450÷（4＋5） ＝450÷9 ＝50（元） 50×4＝200（元） 50×5＝250（元） 答：小红家应分摊 200元，小明家应分摊 250元。 【对应练习 2】 某校五、六年级学生共向灾区捐款 3600元，已知六年级捐款数和五年级的比是 4∶5，五、六年级各捐款多少元？ 【答案】五年级：2000元；六年级：1600元 【分析】由题意可知，五、六年级学生共向灾区捐款 3600元，六年级捐款数和 五年级的比是 4∶5，即五年级捐款钱数占总捐款数量的 5 4 5 ，六年级占总捐款 数量的 4 4 5 ，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此分别求出 六年级和五年级各捐款多少元。 6 / 46 【详解】3600× 5 4 5 ＝2000（元） 3600× 4 4 5 ＝1600（元） 答：五年级捐款 2000元，六年级捐款 1600元。 【对应练习 3】 某校六（1）和六（2）班共有 72人，六（1）班和六（2）班人数的比是 5∶4， 六（1）和六（2）各有多少人？ 【答案】六（1）班有 40人，六（2）班有 32人 【分析】已知六（1）班和六（2）班人数的比是 5∶4，根据比的意义，把六（1） 班和六（2）班人数分别看作 5份和 4份，然后用总人数除以（5＋4）份，即可 求出每份是多少，进而用乘法分别求出两个班的人数。 【详解】72÷（5＋4） ＝72÷9 ＝8（人） 六（1）班：8×5＝40（人） 六（2）班：8×4＝32（人） 答：六（1）班有 40人，六（2）班有 32人。 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与 比。 【典型例题】 学校的劳动实践基地共 500平方米，学校准备用 2 5 种西红柿，剩下的按 3∶2的 面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】180平方米；120平方米 【分析】将劳动实践基地的面积看作单位“1”，劳动实践基地的面积－劳动实践 基地的面积×西红柿对应分率＝种黄瓜和茄子的面积，将比的前后项看成份数， 种黄瓜和茄子的面积÷总份数＝一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子的对应份数， 即可求出黄瓜和茄子的占地面积。 7 / 46 【详解】 2500 500 5   =500 200 300 （平方米） 300÷（3＋2） ＝300÷5 ＝60（平方米） 黄瓜：60×3＝180（平方米） 茄子：60×2＝120（平方米） 答：黄瓜和茄子的占地面积分别是 180平方米、120平方米。 【对应练习 1】 王老伯家的菜地共 800平方米，他准备用 2 5 种西红柿，剩下的按 5∶3的面积比 种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】西红柿 320平方米；黄瓜 300平方米；茄子 180平方米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先计算出西红柿的占地 面积，再用总面积减去西红柿的占地面积，求出剩下的面积，把剩下的面积看作 单位“1”，剩下的按 5∶3的面积比种黄瓜和茄子，即黄瓜的占地面积是剩下面积 的 5 5 3 ，茄子的占地面积是剩下面积的 3 5 3 ，再用乘法计算，分别求出黄瓜和茄 子的占地面积，据此解答。 【详解】西红柿： 2800 320 5   （平方米） 黄瓜： 5800 320 5 3    （ ） 5480 8   300 （平方米） 茄子： 3800 320 5 3    （ ） 3480 8  180 （平方米） 答：西红柿占地面积是 320平方米，黄瓜占地面积是 300平方米，茄子占地面积 是 180平方米。 8 / 46 【对应练习 2】 图书馆新购进了 840本新书，其中的 14借给了四年级，剩下的书按 5∶4借给五、 六年级，六年级借到了多少本新书？ 【答案】280本 【分析】由题意可知，图书馆新购进了 840本新书，其中的 14借给了四年级，则 剩下的本数占总本数的（1－ 14），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计 算，据此求出剩下的本数；然后把剩下的本数平均分成（5＋4）份，进而求出 1 份表示的本数，六年级占 4份，据此解答即可。 【详解】840×（1－ 14 ） ＝840× 3 4 ＝630（本） 630÷（5＋4）×4 ＝630÷9×4 ＝70×4 ＝280（本） 答：六年级借到了 280本新书。 【对应练习 3】 李叔叔每月用 1800元还住房按揭贷款，正好占月工资的 13，他将工资剩余的钱 按 5∶3分别用于个人生活开支和定期储蓄。李叔叔每月定期储蓄多少元？ 【答案】1350元 【分析】已知一个数占总数的几分之几，求总数，用除法，一个数除以几分之几 得总数。 11800 3  求出工资总数，用工资总数减还贷款的钱得到工资剩余的钱， 工资剩余的钱按 5∶3用于个人生活开支和定期储蓄，可以把工资剩余的钱看作 5＋3＝8份，定期储蓄占其中的 3份，即 38，工资剩余的钱的 3 8是定期储蓄的钱， 求一个数的几分之几是多少用乘法，用这个数×几分之几。 【详解】 11800 =5400 3  （元） 9 / 46 5400-1800=3600（元） 33600 =1350 5+3  （元） 答：李叔叔每月定期储蓄 1350元。 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题。 【方法点拨】 三个量的按比例分配问题同两个量的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和 ÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 希望小学把栽 80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有 50 人，二班有 54人，三班有 56人，三个班各应栽多少棵树？ 【答案】一班：25棵；二班：27棵；三班：28棵 【分析】求出三个班人数之比，再将 80棵树根据三班人数按比例分配。 【详解】50∶54∶56＝25∶27∶28 80× 25 25 27 28＋ ＋ ＝80× 25 80 ＝25（棵） 80× 27 25 27 28＋ ＋ ＝80× 2 78 0 ＝27（棵） 80× 28 25 27 28＋ ＋ ＝80× 28 80 ＝28（棵） 答：一班应栽 25棵，二班应栽 27棵，三班应栽 28棵。 【点睛】本题主要考查按比例分配问题，关键是要找到比。 【对应练习 1】 将一根长 243厘米的铁丝截去 13，用剩下的部分围成一个三角形，这个三角形三 10 / 46 条边长的比是 6∶5∶7，最长的边是多少厘米？ 【答案】63厘米 【分析】把铁丝的总长度看作单位“1”，截取 13，还剩下（1－ 1 3），用铁丝的总 长×（1－ 13），求出剩下铁丝的长度，也就是三角形的周长；再根据三角形三条 边长的比是 6∶5∶7，即把三角形三条边分成了 6＋5＋7＝18份，用剩下铁丝的 总数÷总份数，求出 1份，进而求出最长的边的长度。 【详解】6＋5＋7 ＝11＋7 ＝18（份） 243×（1－ 13）÷18×7 ＝243× 23 ÷18×7 ＝162÷18×7 ＝9×7 ＝63（厘米） 答：最长的边是 63厘米。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，按比例分配的计算方 法是解答本题的关键。 【对应练习 2】 我国民间常用生姜、红糖和水按 2∶5∶75的质量比煎熬成“姜汤”，用来防治感 冒。要煮一碗 246克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？ 【答案】生姜 6克；红糖 15克 【分析】先用 2＋5＋75求出总份数；再用 246克除以总份数求出每份是多少克； 再用每份的克数乘 2求出生姜的克数，用每份的克数乘 5求出红糖的克数。 【详解】总份数：2＋5＋75＝82（份） 每份的克数：246÷82＝3（克） 生姜的克数：3×2＝6（克） 红糖的克数：3×5＝15（克） 答：需要准备生姜 6克，红糖 15克。 11 / 46 【点睛】解按比分配问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少。 【对应练习 3】 一种混凝土是按水泥、沙子、石子 3∶4∶5的比例配成的，现要配这种混凝土 240吨，应准备水泥、沙子、石子各多少吨？ 【答案】水泥 60吨；沙子 80吨；石子 100吨 【分析】由题意可知，水泥占 3份，沙子占 4份，石子占 5份，即把混凝土平均 分成了（3＋4＋5）份，用 240除以总份数求出一份的数量，进而求出水泥、沙 子、石子的数量，据此解答。 【详解】3＋4＋5 ＝7＋5 ＝12 水泥：240÷12×3 ＝20×3 ＝60（吨） 沙子：240÷12×4 ＝20×4 ＝80（吨） 石子：240÷12×5 ＝20×5 ＝100（吨） 答：应准备水泥 60吨，沙子 80吨，石子 100吨。 【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与 比。 【典型例题】 新世纪小学四、五、六年级共有 27个班，平均每个班 35人，三个年级的人数比 是 2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 12 / 46 【答案】四年级 210人；五年级 315人；六年级 420人 【分析】平均每个班人数×班数＝四五六年级总人数，将比的各项看成份数，总 人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘四、五、六年级的对应份数，即可求 出四、五、六年级的人数。 【详解】35×27÷（2＋3＋4） ＝945÷9 ＝105（人） 105×2＝210（人） 105×3＝315（人） 105×4＝420（人） 答：四年级有 210人、五年级有 315人、六年级有 420人。 【对应练习 1】 某文具店第一季度平均每月销售额为 9000元，其中一月、二月和三月销售额之 比是 3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 【答案】0.6万元 【分析】用第一季度平均每月销售额乘一个季度的月数，先求出文具店第一季度 的总钱数，然后再按比例分配即可解答。 【详解】9000 3 27000  （元） 27000元 2.7 万元 2.7 (3 4 2) 2    2.7 9 2   0.3 2  0.6 （万元） 答：这个文具店三月份的销售额是 0.6万元。 【点睛】求出第一季度的总钱数是解题的关键。 【对应练习 2】 聪聪三次参加数学竞赛。三次的成绩比是19 :17 :18，已知三次的平均成绩是 90 分，聪聪第二次的成绩是多少分？ 【答案】85分 13 / 46 【分析】已知聪聪三次成绩的平均数，利用 3乘平均成绩可得出 3次的总成绩； 再根据按比例分配的原理解决问题。 【详解】聪聪三次数学竞赛的总成绩为：90 3 270  （分）， 三次的成绩比是19 :17 :18，则第二次的成绩为： 17270 19 17 18    17270 54   85 （分） 答：聪聪第二次的成绩是 85分。 【点睛】本题主要考查的是平均数和按比例分配，解题的关键是利用平均数计算 出三次总成绩，进而运用按比例分配方法解答本题。 【对应练习 3】 朝阳商店运来 110筐苹果，平均每筐重 30千克，根据苹果的质量，将苹果分为 一等、二等、三等，一等、二等、三等苹果的重量比是 6∶3∶2，每等苹果各有 多少千克？ 【答案】一等 1800千克；二等 900千克；三等 600千克 【分析】根据题意，110筐苹果共重 30×110＝3300（千克），然后求出总份数， 根据一等、二等、三等苹果的重量比是 6∶3∶2，运用按比例分配的方法解决问 题。 【详解】30×110＝3300（千克） 6＋3＋2＝11 3300× 6 11 ＝1800（千克） 3300× 3 11 ＝900（千克） 3300× 2 11＝600（千克） 答：一等、二等、三等苹果的重量分别是 1800千克、900千克、600千克。 【点睛】此题考查按比例分配的知识，把比转化为分数，根据分数乘法的意义解 答此题。 14 / 46 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题。 【方法点拨】 存在两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法解答。 【典型例题】 箱子里有大中小零件共 140个，其中大零件与中零件的个数比是 2∶3，中零件 与小零件的个数比是 4∶5。这三种零件各有多少个？ 解析： 大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12 中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15 大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15 8＋12＋15＝35 140× 8 35 ＝32（个） 140× 1235＝48（个） 140× 1535＝60（个） 答：大零件有 32个，中零件有 48个，小零件有 60个。 【对应练习 1】 光明小学六年级有学生 140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第 二小组人数的比是 2:3，第二小组和第三小组的人数比 4:5，这三个小组各是多少 人？ 解析：由题意可得，第一组:第二组:第三组=8:12:15 因此，第一组：140× 15128 8  =32（人） 第二组：140× 15128 12  =48（人） 第三组：140× 15128 15  =60（人） 【对应练习 2】 学校把 414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数 比是 2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是 5:7，求每个班各分得树苗多少棵？ 解析：由题可知，一、二、三班分得树苗的棵数比是 10:15:21 15 / 46 一班：414× 211510 10  =90（棵） 二班：414× 211510 15  =135（棵） 三班：414× 211510 21  =189（棵） 答：略。 【对应练习 3】 艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是 1:2，大 宽和薇儿一个月的工资之比是 3:4，地主每个月给他们一共 51元钱的工资，那么 艾迪的工资为多少元？ 解析：由题意可得：艾迪、大宽、薇儿三个人工资之比为 3:6:8 艾迪：51× 863 3  =9（元） 大宽：51× 863 6  =18（元） 薇儿：51× 863 8  =24（元） 答：略。 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题。 【方法点拨】 先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出 各部分数量是多少。 【典型例题 1】长方形的周长。 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是7 :5，它的周长为 24米，求这块长 方形菜地的面积是多少？ 【答案】35平方米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根 据按比分配问题，求出长方形菜地的长和宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求 出长方形菜地的面积。 【详解】 24 2 7 5 （ ＋ ） 12 12＝ 1 （米） 16 / 46 1 7 1 5  （ ）（ ） 7 5  35 （平方米） 答：这块长方形菜地的面积是 35平方米。 【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【对应练习 1】 小明用 250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是 3∶2，这个长方 形的面积是多少？ 【答案】3750平方厘米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用周长除以 2求出长与宽的和，长、宽 的比是 3∶2，求出比中每份的量，再乘长和宽占的份数求出长和宽各是多少， 最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。 【详解】250÷2＝125（厘米） 125÷（3＋2） ＝125÷5 ＝25（厘米） 长：25×3＝75（厘米） 宽：25×2＝50（厘米） 面积：75×50＝3750（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 3750平方厘米。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法，并熟记长方形的周长和面积的计算公 式是解答题目的关键。 【对应练习 2】 用 96厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是 5∶3，这个长 方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】540平方厘米 【分析】由题可知，围成的长方形的周长是 96厘米。将周长除以 2，求出长和 宽之和。将和除以（5＋3），求出一份长和宽的长度，从而利用乘法分别求出长 和宽。最后根据“长方形面积＝长×宽”列式求出这个长方形的面积即可。 17 / 46 【详解】96÷2＝48（厘米） 48÷（5＋3） ＝48÷8 ＝6（厘米） 长：6×5＝30（厘米） 宽：6×3＝18（厘米） 面积：30×18＝540（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 540平方厘米。 【点睛】本题考查了按比分配问题，解题关键是求出一份长或宽的长度。 【对应练习 3】 李大伯用 70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场（如图），已知长和宽的比 是 4∶3，求养鸡场的面积。 【答案】588平方米 【分析】根据题意，用 70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场，且一条长边 靠墙；那么篱笆的长度等于长方形的 1条长边与 2条宽边的和；已知长和宽的比 是 4∶3，由此可知三条边的长度比是 4∶3∶3，一共是（4＋3＋3）份；用篱笆 的长度除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽的份数，即可求出长、 宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出养鸡场的面积。 【详解】一份数： 70÷（4＋3＋3） ＝70÷10 ＝7（米） 长：7×4＝28（米） 宽：7×3＝21（米） 面积：28×21＝588（平方米） 答：养鸡场的面积是 588平方米。 18 / 46 【点睛】本题考查比的意义、比的应用以及长方形面积公式的运用，分析出长方 形三条边的比，把比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽是解题的关键。 【典型例题 2】长方体的棱长和。 一个长方体棱长总和为 96厘米，长、宽、高的比是 3∶2∶1，这个长方体的长、 宽、高各是多少？ 【答案】长是 12厘米，宽是 8厘米，高是 4厘米。 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4， 先求出长方体的长、宽、 高之和；接下来利用按比分配的方法求出长方体的长、宽、高与长、宽、高和的 比，结合上步所得，用乘法即可得解。 【详解】长：96÷4 3 1 2 3  ＋ ＋ ＝24× 36 ＝12（厘米） 宽：96÷4 2 1 2 3  ＋ ＋ ＝24× 26 ＝8（厘米） 高：96÷4 1 1 2 3  ＋ ＋ ＝24× 1 6 ＝4（厘米） 答：这个长方体的长是 12厘米，宽是 8厘米，高是 4厘米。 【点睛】此题考查了按比分配应用题，解题的关键是利用按比分配的方法求出长、 宽、高所占的分率。 【对应练习 1】 小红用一根长 144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高 的比是 5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【答案】15厘米；12厘米；9厘米 【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，根据比 的意义，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份 19 / 46 数，即可求出长、宽、高。 【详解】144÷4÷（5＋4＋3） ＝36÷12 ＝3（厘米） 3×5＝15（厘米） 3×4＝12（厘米） 3×3＝9（厘米） 答：这个长方体的长、宽、高各是 15厘米、12厘米、9厘米。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。 【对应练习 2】 小芳用 216厘米长的铁丝做了一个长方体框架，长、宽、高的比是 4∶3∶2，这 个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？体积是多少？ 【答案】24厘米；18厘米；12厘米；5184立方厘米 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，长 宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求 出长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】216÷4÷（4＋3＋2） ＝54÷9 ＝6（厘米） 6×4＝24（厘米） 6×3＝18（厘米） 6×2＝12（厘米） 24×18×12＝5184（立方厘米） 答：这个长方体框架的长、宽、高分别是 24厘米，18厘米，12厘米，体积是 5184立方厘米。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和以及体积公式。 【对应练习 3】 把一根 360厘米长的铁丝分成段，再焊接成一个长方体框架，使长方体的长、宽、 高的比为 4∶3∶2，求这个长方体的体积？ 20 / 46 【答案】24000立方厘米 【分析】根据题意，用一根铁丝焊接成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长 方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的 长、宽、高之和＝棱长总和÷4。 又已知长、宽、高的比为 4∶3∶2，那么长、宽、高的份数和是（4＋3＋2）份； 用长、宽、高之和除以它们的份数和，即可求出一份数；再用一份数分别乘长、 宽、高的份数，求出长方体的长、宽、高。 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和： 360÷4＝90（厘米） 一份数： 90÷（4＋3＋2） ＝90÷9 ＝10（厘米） 长：10×4＝40（厘米） 宽：10×3＝30（厘米） 高：10×2＝20（厘米） 体积： 40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 24000立方厘米。 【点睛】本题考查比的应用、长方体的棱长总和以及体积公式的运用，先根据长 方体的棱长总和公式求出长、宽、高之和，然后把比看作份数，求出一份数，进 而求出长方体的长、宽、高是解题的关键。 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题。 【方法点拨】 复杂的连比问题，即和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同 问题求出对应比的和，最后再按比例分配。 21 / 46 【典型例题】 有一个长方体，棱长和是 352厘米，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2，这个 长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 长+宽+高：352÷4=88（厘米） 长:宽:高=6:3:2 长：88× 236 6  =48（厘米） 宽：88× 236 3  =24（厘米） 高：88× 236 2  =16（厘米） 体积：48×24×16=18432（立方厘米） 答：略。 【对应练习 1】 一个长方体所以棱长之和是 452厘米，长、宽之比是 8:5，宽、高之比是 6:7，求 长方体的体积。 解析： 长+宽+高：452÷4=113（厘米） 长:宽:高=48:30:35 长：113× 353048 48  =48（厘米） 宽：113× 353048 30  =30（厘米） 高：113× 353048 35  =35（厘米） 体积：48×30×35=50400（立方厘米） 答：略。 【对应练习 2】 有一个长方体，长与宽的比是 2:1，宽与高的比是 3:2，已知这个长方体的全部棱 长之和是 220厘米，求这个长方体的体积。 解析： 长+宽+高：220÷4=55（厘米） 22 / 46 长:宽:高=6:3:2 长：55× 236 6  =30（厘米） 宽：55× 236 3  =15（厘米） 高：55× 236 2  =10（厘米） 体积：30×15×10=4500（立方厘米） 答：略。 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题。 【方法点拨】 先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数， 即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 A、B两地相距 750千米，甲．乙两车同时从 A、B两地相对开出，相向而行， 经过 5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是 8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份 数，求出一份数，一份数×甲车对应份数＝甲车速度，据此列式解答。 【详解】750÷5＝150（千米/时） 150÷（8＋7）×8 ＝150÷15×8 ＝10×8 ＝80（千米/时） 答：甲车每小时行 80千米。 【对应练习 1】 甲、乙两车从相距 350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲 车的速度与乙车的速度比是 2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【答案】105千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份 数，求出一份数，一份数×乙车对应份数＝乙车速度，据此列式解答。 23 / 46 【详解】350÷2＝175（千米） 175÷（2＋3）×3 ＝175÷5×3 ＝105（千米） 答：乙车每小时行 105千米。 【对应练习 2】 两地相距 560千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇，已知甲、 乙两车的速度比是 4∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车 80千米；乙车 60千米 【分析】根据题意，两车速度和＝路程和÷时间，据此算出两车的速度和。已知 甲、乙两车的速度比是 4∶3，将两车的速度和看作单位“1”，那么甲车的速度占 两车速度和的 4 4 3 ，乙车的速度占两车速度和的 3 4 3 ，对应量＝单位“1”的量× 对应分率，据此解答。 【详解】560 4 140  （千米） 甲： 4140 4 3   4140 7   80 （千米） 乙： 3140 4 3   3140 7   60 （千米） 答：甲车每小时行 80千米，乙车每小时行 60千米。 【对应练习 3】 甲地到乙地的总路程是 316.8千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出， 经过 1.6小时两车相遇。已知客车和货车的速度比是 5∶4，求客车每小时行驶多 少千米。 【答案】110千米 【分析】根据客车和货车的速度比是 5∶4，设客车的速度是 5x千米/时，货车的 速度是 4x千米/时；等量关系：（货车的速度＋客车的速度）×相遇时间＝全程， 24 / 46 据此列出方程，并求解，进而求出客车的速度。 【详解】解：设客车的速度是 5x千米，货车的速度是 4x千米， （5x＋4x）×1.6＝316.8 9x×1.6＝316.8 14.4x＝316.8 14.4x÷14.4＝316.8÷14.4 x＝22 22×5＝110（千米） 答：客车的速度是 110千米。 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合。 【方法点拨】 比与分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。 【典型例题 1】问题一。 甲数的 2 3等于乙数的 5 6，甲、乙两数的和是 162，甲、乙两数各是多少？ 解析： 甲数× 23 ＝乙数× 5 6， 甲数∶乙数＝5∶4 5＋4＝9（份） 162÷9×5 ＝18×5 ＝90 162÷9×4 ＝18×4 ＝72 答：甲数是 90，乙数是 72。 【对应练习 1】 某班共有学生 55人，男生人数的 4 5 等于女生人数的 2 3 ，这个班男、女生各有多 少人？ 25 / 46 【答案】男 25人；女 30人 【分析】根据男生人数的 4 5 等于女生人数的 2 3 ，确定男女生人数的比，总人数÷ 总份数，求出一份数，一份数分别乘男女生的对应份数，即可求出男、女生的人 数。 【详解】假设 4 5 男生人数＝ 2 3 女生人数＝1 男生人数∶女生人数＝（1÷ 4 5）∶（1÷ 2 3 ） ＝ 5 4∶ 3 2 ＝5∶6 55÷（5＋6） ＝55÷11 ＝5（人） 5×5＝25（人） 5×6＝30（人） 答：这个班男、女生各有 25人、30人。 【点睛】关键是确定男女生人数比，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习 2】 甲、乙两数之和是 180，甲数的 14等于乙数的 1 5，甲、乙两数各是多少？ 【答案】80；100 【分析】根据甲数的 1 4等于乙数的 1 5，可以确定甲乙两数的比是 4∶5，两数和÷ 总份数，求出一份数，一份数分别乘甲乙两数的对应份数，即可求出甲、乙两数。 【详解】甲、乙两数的比：4∶5 180÷（4＋5） ＝180÷9 ＝20 甲数：20×4＝80 乙数：20×5＝100 答：甲数是 80，乙数是 100。 26 / 46 【点睛】关键是确定甲乙两数的比，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习 3】 甲、乙两数的和是 182，已知甲数的 1 2 等于乙数的 2 3 ，甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数是 104，乙数是 78 【分析】根据“甲数的 1 2 等于乙数的 2 3 ”可知，甲数与乙数的比为 4∶3，再根据按 比例分配的知识点解答。 【详解】甲数与乙数的比为 4∶3； 182÷（4＋3） ＝182÷7 ＝26； 26×4＝104； 26×3＝78； 答：甲数是 104，乙数是 78。 【点睛】先求出甲数与乙数的比是解答本题的关键。 【典型例题 2】问题二。 甲数是乙数的 5 6，乙数是丙数的 3 4 ，甲、乙丙三个数的和是 152，甲、乙、丙三 个数各是多少？ 解析； 甲数与乙数的比是 5∶6 乙数与丙数的比是 3∶4＝6∶8 甲数、乙数、丙数的比是 5∶6∶8 5＋6＋8＝19 甲数：152÷19×5＝40 乙数：152÷19×6＝48 丙数：152÷19×8＝64 答：甲、乙、丙三个数各是 40，48，64。 【对应练习 1】 学校运来文艺书共 99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班 27 / 46 的 5 7 ，丙班分得的是乙班的 2 3，丁班分得多少本？ 解析： 由分析可知：甲班分到的本数∶乙班分到的本数＝5∶7；丙班分到的本数∶乙班 分到的本数＝2∶3 甲班分到的本数∶乙班分到的本数∶丙班分到的本数＝15∶21∶14； 每份不可能是 2本，则每份是 1本。 甲班分到的本数：15×1＝15（本） 乙班分到的本数：21×1＝21（本） 丙班分到的本数：14×1＝14（本） 丁班分到的本数：99－15－21－14 ＝84－21－14 ＝63－14 ＝49（本） 【对应练习 2】 第一车间人数的 3 5 等于第二车间人数的 9 10 ，第一车间比第二车间多 50人。两个 车间各有多少人？ 解析： 解：设第二车间有 x人；第一车间有（50＋x）人 （50＋x）× 3 5 ＝ 9 10 x 30＋ 3 5 x＝ 9 10 x 3 10 x＝30 x＝100 100＋50＝150（人） 答：第一车间有 150人，第一车间有 100人。 【对应练习 3】 某小学六年级三个班共有 300人，一班的人数是二班的 4 5 ，二班的人数是三班的 5 6，三个班各有多少人？ 28 / 46 解析： 解：设三班人数有 x人，则二班人数有 56 x人，一班人数有（ 5 6 × 4 5 x）人。 x＋ 56 x＋ 5 6 × 4 5 x＝300 5 2 x＝300 x＝300÷ 5 2 x＝120 二班：120× 56＝100（人） 一班：100× 4 5 ＝80（人） 答：一班有 80人，二班有 100人，三班有 120人。 【典型例题 3】问题三。 某食堂第一周用去面粉总袋数的 1 2 ，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是 3∶10，现在还剩 50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【答案】250袋 【分析】将面粉总袋数看作单位“1”，根据第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数 的比是 3∶10，可以确定第二周用去面粉总袋数的 3 10 ，还剩面粉总袋数的（1－ 12 － 3 10 ），还剩下的袋数÷对应分率＝总袋数，据此列式解答。 【详解】50÷（1－ 12 － 3 10 ） ＝50÷ 1 5 ＝50×5 ＝250（袋） 答：食堂一共有 250袋面粉。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。 【对应练习 1】 水果超市运来橘子、苹果和梨一共 380千克。橘子和苹果的质量比是 5∶6，梨 的质量比苹果多 1 3。水果超市运来橘子多少千克？ 29 / 46 【答案】100千克 【分析】根据题意可知，把苹果的质量看成单位“1”，则梨的质量为（1＋ 13）， 即橘子、苹果、梨的质量比是 15 6 6 1+ 3      ：： ，再用 380乘上橘子的质量占总质量 的比值，即可算出答案。 【详解】6×（1＋ 13） ＝6× 43 ＝8 所以橘子、苹果、梨的质量比是 5∶6∶8，即橘子的质量占总质量的比值为 55 6 8  。 橘子的质量：380× 55 6 8  ＝380× 5 19 ＝100（千克） 答：水果超市运来橘子 100千克。 【点睛】此题考查了按比例分配以及分数乘法的运算。 【对应练习 2】 实验小学将六年级的 140名学生分成三个小组进行植树，已知第一小组和第二小 组人数的比是 2∶3，第二小组的人数是第三小组的 3 5 ，这三个小组各有多少人？ 【答案】28人；42人；70人 【分析】根据第二小组的人数是第三小组的 3 5 ，可以确定第二小组和第三小组的 人数比是 3∶5，据此可以确定三个小组的人数比是 2∶3∶5，根据比的意义，总 人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘三个小组的对应份数，即可求出三个 小组的人数。 【详解】三个小组的人数比：2∶3∶5 140÷（2＋3＋5） ＝140÷10 ＝14（人） 14×2＝28（人） 30 / 46 14×3＝42（人） 14×5＝70（人） 答：这三个小组各有 28人、42人、70人。 【点睛】关键是理解比和分数的意义，确定三个小组的人数比，掌握按比分配问 题的解题方法。 【对应练习 3】 向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有 125人。低年级人数是中年级的 58，中 年级与高年级人数比是 2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？ 【答案】40人 【分析】根据题意，低年级人数是中年级的 5 8，即低年级与中年级人数比是 5∶8； 已知中年级与高年级人数比是 2∶3，根据比的基本性质把中年级与高年级人数 比的前、后项都乘 4，即可得出低、中、高年级人数的连比； 根据连比求出中年级人数占比赛总人数的分率，然后根据分数乘法的意义解答。 【详解】低、中年级人数的比是 5 8＝5∶8 中、高年级人数的比是 2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 低、中、高年级人数的比是 5∶8∶12。 125× 8 5 8 12  ＝125× 8 25 ＝40（人） 答：中年级参加书法比赛的有 40人。 【点睛】关键是写出低、中、高三个年级人数的连比，再根据按比分配的解题方 法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题。 【方法点拨】 差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数 =每份数，再根据每份数求对应数量。 【典型例题】 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月2日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 专题内容 本专题以按比例分配问题为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点难度较大，建议根据学生实际情况和总体水平，选择性讲解部分考点。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础 4 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶 5 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题 6 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题 7 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题 8 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题 9 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题 11 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题 12 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合 13 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题 15 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题 16 【考点十二】不变量问题其一：单量不变 17 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变） 18 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变） 20 【考点十五】比与工程问题综合 21 【考点十六】比与行程问题综合 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础。 【方法点拨】 1. 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。 2. 按比例分配问题的两种解答方法。 一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。 二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。 【典型例题】 某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【对应练习1】 小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【对应练习2】 某校五、六年级学生共向灾区捐款3600元，已知六年级捐款数和五年级的比是4∶5，五、六年级各捐款多少元？ 【对应练习3】 某校六（1）和六（2）班共有72人，六（1）班和六（2）班人数的比是5∶4，六（1）和六（2）各有多少人？ 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。 【典型例题】 学校的劳动实践基地共500平方米，学校准备用种西红柿，剩下的按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 【对应练习1】 王老伯家的菜地共800平方米，他准备用种西红柿，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 【对应练习2】 图书馆新购进了840本新书，其中的借给了四年级，剩下的书按5∶4借给五、六年级，六年级借到了多少本新书？ 【对应练习3】 李叔叔每月用1800元还住房按揭贷款，正好占月工资的，他将工资剩余的钱按5∶3分别用于个人生活开支和定期储蓄。李叔叔每月定期储蓄多少元？ 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题。 【方法点拨】 三个量的按比例分配问题同两个量的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 希望小学把栽80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有50人，二班有54人，三班有56人，三个班各应栽多少棵树？ 【对应练习1】 将一根长243厘米的铁丝截去，用剩下的部分围成一个三角形，这个三角形三条边长的比是6∶5∶7，最长的边是多少厘米？ 【对应练习2】 我国民间常用生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比煎熬成“姜汤”，用来防治感冒。要煮一碗246克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？ 【对应练习3】 一种混凝土是按水泥、沙子、石子3∶4∶5的比例配成的，现要配这种混凝土240吨，应准备水泥、沙子、石子各多少吨？ 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。 【典型例题】 新世纪小学四、五、六年级共有27个班，平均每个班35人，三个年级的人数比是2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 【对应练习1】 某文具店第一季度平均每月销售额为9000元，其中一月、二月和三月销售额之比是3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 【对应练习2】 聪聪三次参加数学竞赛。三次的成绩比是，已知三次的平均成绩是90分，聪聪第二次的成绩是多少分？ 【对应练习3】 朝阳商店运来110筐苹果，平均每筐重30千克，根据苹果的质量，将苹果分为一等、二等、三等，一等、二等、三等苹果的重量比是6∶3∶2，每等苹果各有多少千克？ 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题。 【方法点拨】 存在两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法解答。 【典型例题】 箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？ 【对应练习1】 光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？ 【对应练习2】 学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是5:7，求每个班各分得树苗多少棵？ 【对应练习3】 艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2，大宽和薇儿一个月的工资之比是3:4，地主每个月给他们一共51元钱的工资，那么艾迪的工资为多少元？ 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题。 【方法点拨】 先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出各部分数量是多少。 【典型例题1】长方形的周长。 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？ 【对应练习1】 小明用250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少？ 【对应练习2】 用96厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 李大伯用70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场（如图），已知长和宽的比是4∶3，求养鸡场的面积。 【典型例题2】长方体的棱长和。 一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【对应练习1】 小红用一根长144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【对应练习2】 小芳用216厘米长的铁丝做了一个长方体框架，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？体积是多少？ 【对应练习3】 把一根360厘米长的铁丝分成段，再焊接成一个长方体框架，使长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，求这个长方体的体积？ 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题。 【方法点拨】 复杂的连比问题，即和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同问题求出对应比的和，最后再按比例分配。 【典型例题】 有一个长方体，棱长和是352厘米，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 一个长方体所以棱长之和是452厘米，长、宽之比是8:5，宽、高之比是6:7，求长方体的体积。 【对应练习2】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积。 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题。 【方法点拨】 先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数，即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 A、B两地相距750千米，甲．乙两车同时从A、B两地相对开出，相向而行，经过5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【对应练习1】 甲、乙两车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲车的速度与乙车的速度比是2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【对应练习2】 两地相距560千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是4∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【对应练习3】 甲地到乙地的总路程是316.8千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，经过1.6小时两车相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4，求客车每小时行驶多少千米。 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合。 【方法点拨】 比与分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。 【典型例题1】问题一。 甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？ 【对应练习1】 某班共有学生55人，男生人数的等于女生人数的，这个班男、女生各有多少人？ 【对应练习2】 甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 【对应练习3】 甲、乙两数的和是182，已知甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 【典型例题2】问题二。 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？ 【对应练习1】 学校运来文艺书共99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班的，丙班分得的是乙班的，丁班分得多少本？ 【对应练习2】 第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？ 【对应练习3】 某小学六年级三个班共有300人，一班的人数是二班的，二班的人数是三班的，三个班各有多少人？ 【典型例题3】问题三。 某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【对应练习1】 水果超市运来橘子、苹果和梨一共380千克。橘子和苹果的质量比是5∶6，梨的质量比苹果多。水果超市运来橘子多少千克？ 【对应练习2】 实验小学将六年级的140名学生分成三个小组进行植树，已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组的人数是第三小组的，这三个小组各有多少人？ 【对应练习3】 向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有125人。低年级人数是中年级的，中年级与高年级人数比是2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？ 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题。 【方法点拨】 差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。 【典型例题】 某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？ 【对应练习1】 水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？ 【对应练习2】 把一条路按2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，已知甲队比乙队少修16千米，这条路全长是多少千米？ 【对应练习3】 六年级三个班举行“读写知识竞赛”，一班的参赛人数占总参赛人数的，二班与三班参赛人数的比是7∶9，二班的参赛人数比三班少6人。 （1）二班有多少人参加“读写知识竞赛”？ （2）六年级三个班一共有多少人参加“读写知识竞赛”？ 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题。 【方法点拨】 单量和比的问题是已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。 【典型例题】 计算器的单价是24元，笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8。买一本笔记本需要多少元？ 【对应练习1】 一件上衣的售价是60元，裤子与上衣单价的比是2∶3。每条裤子多少元？ 【对应练习2】 某小区停车场普通车位和充电桩车位的数量比是7∶3，其中普通车位有210个。充电桩车位有多少个？ 【对应练习3】 光明小学六年级开展“我帮父母做家务”活动。其中帮父母刷碗的男、女生人数的比是7∶8，如果帮父母刷碗的女生有56人，那么帮父母刷碗的男生有多少人？ 【考点十二】不变量问题其一：单量不变。 【方法点拨】 单量不变问题。 第1步：统一不变的单量； 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 【典型例题】 厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4，妈妈又买了7个苹果，此时苹果和橘子的个数之比为了4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？ 【对应练习1】 宿宿和权权两人所带的钱数之比为9:5，由于宿宿嘴馋买了一份8元的串串，他们的钱数比变为了5:3，那么原来他们各有多少钱？ 【对应练习2】 学校原有足球个数和篮球个数的比是，现在又买进10个足球，这时足球个数与篮球个数的比是，学校原有篮球多少个？ 【对应练习3】 某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？ 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变）。 【方法点拨】 差不变问题（同增同减差不变） 第一步：统一不变的差量； 第二步：统一一份量； 第三步：得出一份量。 【典型例题1】 壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？ 【典型例题2】 甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？ 【对应练习1】 小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？ 【对应练习2】 艾迪和薇儿出去玩，艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是2:3，两人都用去了200元钱买东西，买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是4:7，问薇儿原来带了多少钱？ 【对应练习3】 已知李亮与爸爸的年龄差是26岁，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，几年后,两人的年龄比是7∶20？ 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变）。 【方法点拨】 总量不变问题（给来给去和不变） 第一步：统一不变的和量； 第二步：统一一份量； 第二步：得出一份量。 【典型例题1】 六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？ 【典型例题2】 小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？ 【对应练习1】 六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？ 【对应练习2】 修一条小路，已修的和未修的米数比是1∶4，如果再修115米，已修的和未修的米数比是7∶5，这条小路全长多少米？ 【对应练习3】 甲筐有苹果80千克，乙筐有苹果60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以使甲、乙两筐苹果的质量比是5∶2？ 【对应练习4】 一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5∶3，如果第一小组中的14人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比是1∶2，原来两个小组各有多少人？ 【考点十五】比与工程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 一项工程由甲队单独完成，需要60天；由乙队单独完成，需要40天。两队合作完工后，按完成的工作量，总共领到15万元工程款，那么甲队、乙队分别能领到多少万元工程款？ 【对应练习1】 修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修，2天修了全长的。现在甲队先修5天，乙队再加入一起修。完成工程后，两队共得工资3000元。按工作量分配甲队应得多少元？ 【对应练习2】 甲乙两人共同完成一项工程。甲、乙合做6天完成工程的，剩下的由乙独做8天完成。按完成的工作量的多少分配工资，甲获得工资5000元，乙应得多少元工资？ 【对应练习3】 一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要12天。现在乙队先工作几天，剩下的由甲队单独完成。工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用了14天，共得劳务费2万元。如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万元？ 【考点十六】比与行程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 从甲地到乙地的路程分为上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时的速度为2.5千米/小时，路程全长为30千米，此人从甲地走到乙地需要多长时间？ 【对应练习1】 一条路全长48千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路的长度比是1︰2︰3，某人走各段路所用的时间之比是3︰4︰5。已知他走下坡的速度是每小时6千米，他走完全程用多少时间？ 【对应练习2】 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4．已知小亮走平路时的速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共用了5小时．问：甲、乙两地相距多少千米？ 【对应练习3】 一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程比是2∶3∶4，淘气走完这三段路程所用的时间比是4∶5∶6.已知他上坡速度是每时4千米，路程总长36千米。淘气走完全程需要多少时？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月2日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元比的认识·实际应用篇其二·按比例分配问题 专题内容 本专题以按比例分配问题为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 部分考点难度较大，建议根据学生实际情况和总体水平，选择性讲解部分考点。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础 4 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶 6 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题 9 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题 11 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题 14 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题 15 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题 20 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题 22 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合 24 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题 30 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题 33 【考点十二】不变量问题其一：单量不变 35 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变） 37 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变） 38 【考点十五】比与工程问题综合 41 【考点十六】比与行程问题综合 44 【第三篇】典型例题篇 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础。 【方法点拨】 1. 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。 2. 按比例分配问题的两种解答方法。 一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。 二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。 【典型例题】 某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【答案】客车：24辆；货车：32辆 【分析】由题意可知：把56辆按3∶4分配可求出客车、轿车的辆数。方法一：平均分法。把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。方法二：转化法。转化成分数乘法来解答。 【详解】方法一： 总份数：3＋4＝7（份） 每份数：56÷7＝8（辆） 客车的辆数：8×3＝24（辆） 货车的辆数：8×4＝32（辆） 方法二： 客车的辆数：56× ＝56× ＝24（辆） 货车的辆数：56× ＝56× ＝32（辆） 答：客车有24辆，货车有32辆。 【点睛】可以把按比分配问题转化成“平均分”问题来解答，也可以转化成分数问题来解答。 【对应练习1】 小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【答案】小红家应分摊200元，小明家应分摊250元 【分析】根据比的意义，可知餐费按人口比来分配，也就是按4∶5来分配，把小红家分摊的餐费看作4份，小明家分摊的餐费看作5份，据此用总餐费除以总份数，即可求出每份是多少，进而用乘法分别求出两家分摊的餐费。 【详解】450÷（4＋5） ＝450÷9 ＝50（元） 50×4＝200（元） 50×5＝250（元） 答：小红家应分摊200元，小明家应分摊250元。 【对应练习2】 某校五、六年级学生共向灾区捐款3600元，已知六年级捐款数和五年级的比是4∶5，五、六年级各捐款多少元？ 【答案】五年级：2000元；六年级：1600元 【分析】由题意可知，五、六年级学生共向灾区捐款3600元，六年级捐款数和五年级的比是4∶5，即五年级捐款钱数占总捐款数量的，六年级占总捐款数量的，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此分别求出六年级和五年级各捐款多少元。 【详解】3600×＝2000（元） 3600×＝1600（元） 答：五年级捐款2000元，六年级捐款1600元。 【对应练习3】 某校六（1）和六（2）班共有72人，六（1）班和六（2）班人数的比是5∶4，六（1）和六（2）各有多少人？ 【答案】六（1）班有40人，六（2）班有32人 【分析】已知六（1）班和六（2）班人数的比是5∶4，根据比的意义，把六（1）班和六（2）班人数分别看作5份和4份，然后用总人数除以（5＋4）份，即可求出每份是多少，进而用乘法分别求出两个班的人数。 【详解】72÷（5＋4） ＝72÷9 ＝8（人） 六（1）班：8×5＝40（人） 六（2）班：8×4＝32（人） 答：六（1）班有40人，六（2）班有32人。 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题进阶。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。 【典型例题】 学校的劳动实践基地共500平方米，学校准备用种西红柿，剩下的按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】180平方米；120平方米 【分析】将劳动实践基地的面积看作单位“1”，劳动实践基地的面积－劳动实践基地的面积×西红柿对应分率＝种黄瓜和茄子的面积，将比的前后项看成份数，种黄瓜和茄子的面积÷总份数＝一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子的对应份数，即可求出黄瓜和茄子的占地面积。 【详解】 （平方米） 300÷（3＋2） ＝300÷5 ＝60（平方米） 黄瓜：60×3＝180（平方米） 茄子：60×2＝120（平方米） 答：黄瓜和茄子的占地面积分别是180平方米、120平方米。 【对应练习1】 王老伯家的菜地共800平方米，他准备用种西红柿，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】西红柿320平方米；黄瓜300平方米；茄子180平方米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先计算出西红柿的占地面积，再用总面积减去西红柿的占地面积，求出剩下的面积，把剩下的面积看作单位“1”，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子，即黄瓜的占地面积是剩下面积的，茄子的占地面积是剩下面积的，再用乘法计算，分别求出黄瓜和茄子的占地面积，据此解答。 【详解】西红柿：（平方米） 黄瓜： （平方米） 茄子： （平方米） 答：西红柿占地面积是320平方米，黄瓜占地面积是300平方米，茄子占地面积是180平方米。 【对应练习2】 图书馆新购进了840本新书，其中的借给了四年级，剩下的书按5∶4借给五、六年级，六年级借到了多少本新书？ 【答案】280本 【分析】由题意可知，图书馆新购进了840本新书，其中的借给了四年级，则剩下的本数占总本数的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此求出剩下的本数；然后把剩下的本数平均分成（5＋4）份，进而求出1份表示的本数，六年级占4份，据此解答即可。 【详解】840×（1－） ＝840× ＝630（本） 630÷（5＋4）×4 ＝630÷9×4 ＝70×4 ＝280（本） 答：六年级借到了280本新书。 【对应练习3】 李叔叔每月用1800元还住房按揭贷款，正好占月工资的，他将工资剩余的钱按5∶3分别用于个人生活开支和定期储蓄。李叔叔每月定期储蓄多少元？ 【答案】元 【分析】已知一个数占总数的几分之几，求总数，用除法，一个数除以几分之几得总数。求出工资总数，用工资总数减还贷款的钱得到工资剩余的钱，工资剩余的钱按5∶3用于个人生活开支和定期储蓄，可以把工资剩余的钱看作5＋3＝8份，定期储蓄占其中的3份，即，工资剩余的钱的是定期储蓄的钱，求一个数的几分之几是多少用乘法，用这个数×几分之几。 【详解】      答：李叔叔每月定期储蓄1350元。 【考点三】按比例分配问题其三：三个量的和比问题。 【方法点拨】 三个量的按比例分配问题同两个量的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 希望小学把栽80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有50人，二班有54人，三班有56人，三个班各应栽多少棵树？ 【答案】一班：25棵；二班：27棵；三班：28棵 【分析】求出三个班人数之比，再将80棵树根据三班人数按比例分配。 【详解】50∶54∶56＝25∶27∶28 80× ＝80× ＝25（棵） 80× ＝80× ＝27（棵） 80× ＝80× ＝28（棵） 答：一班应栽25棵，二班应栽27棵，三班应栽28棵。 【点睛】本题主要考查按比例分配问题，关键是要找到比。 【对应练习1】 将一根长243厘米的铁丝截去，用剩下的部分围成一个三角形，这个三角形三条边长的比是6∶5∶7，最长的边是多少厘米？ 【答案】63厘米 【分析】把铁丝的总长度看作单位“1”，截取，还剩下（1－），用铁丝的总长×（1－），求出剩下铁丝的长度，也就是三角形的周长；再根据三角形三条边长的比是6∶5∶7，即把三角形三条边分成了6＋5＋7＝18份，用剩下铁丝的总数÷总份数，求出1份，进而求出最长的边的长度。 【详解】6＋5＋7 ＝11＋7 ＝18（份） 243×（1－）÷18×7 ＝243×÷18×7 ＝162÷18×7 ＝9×7 ＝63（厘米） 答：最长的边是63厘米。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 【对应练习2】 我国民间常用生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比煎熬成“姜汤”，用来防治感冒。要煮一碗246克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？ 【答案】生姜6克；红糖15克 【分析】先用2＋5＋75求出总份数；再用246克除以总份数求出每份是多少克；再用每份的克数乘2求出生姜的克数，用每份的克数乘5求出红糖的克数。 【详解】总份数：2＋5＋75＝82（份） 每份的克数：246÷82＝3（克） 生姜的克数：3×2＝6（克） 红糖的克数：3×5＝15（克） 答：需要准备生姜6克，红糖15克。 【点睛】解按比分配问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少。 【对应练习3】 一种混凝土是按水泥、沙子、石子3∶4∶5的比例配成的，现要配这种混凝土240吨，应准备水泥、沙子、石子各多少吨？ 【答案】水泥60吨；沙子80吨；石子100吨 【分析】由题意可知，水泥占3份，沙子占4份，石子占5份，即把混凝土平均分成了（3＋4＋5）份，用240除以总份数求出一份的数量，进而求出水泥、沙子、石子的数量，据此解答。 【详解】3＋4＋5 ＝7＋5 ＝12 水泥：240÷12×3 ＝20×3 ＝60（吨） 沙子：240÷12×4 ＝20×4 ＝80（吨） 石子：240÷12×5 ＝20×5 ＝100（吨） 答：应准备水泥60吨，沙子80吨，石子100吨。 【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 【考点四】按比例分配问题其四：平均数问题。 【方法点拨】 和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。 【典型例题】 新世纪小学四、五、六年级共有27个班，平均每个班35人，三个年级的人数比是2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 【答案】四年级210人；五年级315人；六年级420人 【分析】平均每个班人数×班数＝四五六年级总人数，将比的各项看成份数，总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘四、五、六年级的对应份数，即可求出四、五、六年级的人数。 【详解】35×27÷（2＋3＋4） ＝945÷9 ＝105（人） 105×2＝210（人） 105×3＝315（人） 105×4＝420（人） 答：四年级有210人、五年级有315人、六年级有420人。 【对应练习1】 某文具店第一季度平均每月销售额为9000元，其中一月、二月和三月销售额之比是3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 【答案】0.6万元 【分析】用第一季度平均每月销售额乘一个季度的月数，先求出文具店第一季度的总钱数，然后再按比例分配即可解答。 【详解】（元） 27000元万元 （万元） 答：这个文具店三月份的销售额是0.6万元。 【点睛】求出第一季度的总钱数是解题的关键。 【对应练习2】 聪聪三次参加数学竞赛。三次的成绩比是，已知三次的平均成绩是90分，聪聪第二次的成绩是多少分？ 【答案】85分 【分析】已知聪聪三次成绩的平均数，利用3乘平均成绩可得出3次的总成绩；再根据按比例分配的原理解决问题。 【详解】聪聪三次数学竞赛的总成绩为：（分）， 三次的成绩比是，则第二次的成绩为： （分） 答：聪聪第二次的成绩是85分。 【点睛】本题主要考查的是平均数和按比例分配，解题的关键是利用平均数计算出三次总成绩，进而运用按比例分配方法解答本题。 【对应练习3】 朝阳商店运来110筐苹果，平均每筐重30千克，根据苹果的质量，将苹果分为一等、二等、三等，一等、二等、三等苹果的重量比是6∶3∶2，每等苹果各有多少千克？ 【答案】一等1800千克；二等900千克；三等600千克 【分析】根据题意，110筐苹果共重30×110＝3300（千克），然后求出总份数，根据一等、二等、三等苹果的重量比是6∶3∶2，运用按比例分配的方法解决问题。 【详解】30×110＝3300（千克） 6＋3＋2＝11 3300×＝1800（千克） 3300×＝900（千克） 3300×＝600（千克） 答：一等、二等、三等苹果的重量分别是1800千克、900千克、600千克。 【点睛】此题考查按比例分配的知识，把比转化为分数，根据分数乘法的意义解答此题。 【考点五】按比例分配问题其五：化连比问题。 【方法点拨】 存在两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法解答。 【典型例题】 箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？ 解析： 大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12 中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15 大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15 8＋12＋15＝35 140×＝32（个） 140×＝48（个） 140×＝60（个） 答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。 【对应练习1】 光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？ 解析：由题意可得，第一组:第二组:第三组=8:12:15 因此，第一组：140×=32（人） 第二组：140×=48（人） 第三组：140×=60（人） 【对应练习2】 学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是5:7，求每个班各分得树苗多少棵？ 解析：由题可知，一、二、三班分得树苗的棵数比是10:15:21 一班：414×=90（棵） 二班：414×=135（棵） 三班：414×=189（棵） 答：略。 【对应练习3】 艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2，大宽和薇儿一个月的工资之比是3:4，地主每个月给他们一共51元钱的工资，那么艾迪的工资为多少元？ 解析：由题意可得：艾迪、大宽、薇儿三个人工资之比为3:6:8 艾迪：51×=9（元） 大宽：51×=18（元） 薇儿：51×=24（元） 答：略。 【考点六】按比例分配问题其六：几何问题。 【方法点拨】 先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出各部分数量是多少。 【典型例题1】长方形的周长。 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？ 【答案】35平方米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据按比分配问题，求出长方形菜地的长和宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出长方形菜地的面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：这块长方形菜地的面积是35平方米。 【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【对应练习1】 小明用250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少？ 【答案】3750平方厘米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用周长除以2求出长与宽的和，长、宽的比是3∶2，求出比中每份的量，再乘长和宽占的份数求出长和宽各是多少，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。 【详解】250÷2＝125（厘米） 125÷（3＋2） ＝125÷5 ＝25（厘米） 长：25×3＝75（厘米） 宽：25×2＝50（厘米） 面积：75×50＝3750（平方厘米） 答：这个长方形的面积是3750平方厘米。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法，并熟记长方形的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。 【对应练习2】 用96厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】540平方厘米 【分析】由题可知，围成的长方形的周长是96厘米。将周长除以2，求出长和宽之和。将和除以（5＋3），求出一份长和宽的长度，从而利用乘法分别求出长和宽。最后根据“长方形面积＝长×宽”列式求出这个长方形的面积即可。 【详解】96÷2＝48（厘米） 48÷（5＋3） ＝48÷8 ＝6（厘米） 长：6×5＝30（厘米） 宽：6×3＝18（厘米） 面积：30×18＝540（平方厘米） 答：这个长方形的面积是540平方厘米。 【点睛】本题考查了按比分配问题，解题关键是求出一份长或宽的长度。 【对应练习3】 李大伯用70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场（如图），已知长和宽的比是4∶3，求养鸡场的面积。 【答案】588平方米 【分析】根据题意，用70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场，且一条长边靠墙；那么篱笆的长度等于长方形的1条长边与2条宽边的和；已知长和宽的比是4∶3，由此可知三条边的长度比是4∶3∶3，一共是（4＋3＋3）份；用篱笆的长度除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽的份数，即可求出长、宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出养鸡场的面积。 【详解】一份数： 70÷（4＋3＋3） ＝70÷10 ＝7（米） 长：7×4＝28（米） 宽：7×3＝21（米） 面积：28×21＝588（平方米） 答：养鸡场的面积是588平方米。 【点睛】本题考查比的意义、比的应用以及长方形面积公式的运用，分析出长方形三条边的比，把比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽是解题的关键。 【典型例题2】长方体的棱长和。 一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【答案】长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4， 先求出长方体的长、宽、高之和；接下来利用按比分配的方法求出长方体的长、宽、高与长、宽、高和的比，结合上步所得，用乘法即可得解。 【详解】长：96÷4 ＝24× ＝12（厘米） 宽：96÷4 ＝24× ＝8（厘米） 高：96÷4 ＝24× ＝4（厘米） 答：这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。 【点睛】此题考查了按比分配应用题，解题的关键是利用按比分配的方法求出长、宽、高所占的分率。 【对应练习1】 小红用一根长144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【答案】15厘米；12厘米；9厘米 【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，根据比的意义，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高。 【详解】144÷4÷（5＋4＋3） ＝36÷12 ＝3（厘米） 3×5＝15（厘米） 3×4＝12（厘米） 3×3＝9（厘米） 答：这个长方体的长、宽、高各是15厘米、12厘米、9厘米。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。 【对应练习2】 小芳用216厘米长的铁丝做了一个长方体框架，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？体积是多少？ 【答案】24厘米；18厘米；12厘米；5184立方厘米 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】216÷4÷（4＋3＋2） ＝54÷9 ＝6（厘米） 6×4＝24（厘米） 6×3＝18（厘米） 6×2＝12（厘米） 24×18×12＝5184（立方厘米） 答：这个长方体框架的长、宽、高分别是24厘米，18厘米，12厘米，体积是5184立方厘米。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和以及体积公式。 【对应练习3】 把一根360厘米长的铁丝分成段，再焊接成一个长方体框架，使长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，求这个长方体的体积？ 【答案】24000立方厘米 【分析】根据题意，用一根铁丝焊接成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4。 又已知长、宽、高的比为4∶3∶2，那么长、宽、高的份数和是（4＋3＋2）份；用长、宽、高之和除以它们的份数和，即可求出一份数；再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长方体的长、宽、高。 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和： 360÷4＝90（厘米） 一份数： 90÷（4＋3＋2） ＝90÷9 ＝10（厘米） 长：10×4＝40（厘米） 宽：10×3＝30（厘米） 高：10×2＝20（厘米） 体积： 40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（立方厘米） 答：这个长方体的体积是24000立方厘米。 【点睛】本题考查比的应用、长方体的棱长总和以及体积公式的运用，先根据长方体的棱长总和公式求出长、宽、高之和，然后把比看作份数，求出一份数，进而求出长方体的长、宽、高是解题的关键。 【考点七】按比例分配问题其七：复杂的化连比问题。 【方法点拨】 复杂的连比问题，即和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同问题求出对应比的和，最后再按比例分配。 【典型例题】 有一个长方体，棱长和是352厘米，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 长+宽+高：352÷4=88（厘米） 长:宽:高=6:3:2 长：88×=48（厘米） 宽：88×=24（厘米） 高：88×=16（厘米） 体积：48×24×16=18432（立方厘米） 答：略。 【对应练习1】 一个长方体所以棱长之和是452厘米，长、宽之比是8:5，宽、高之比是6:7，求长方体的体积。 解析： 长+宽+高：452÷4=113（厘米） 长:宽:高=48:30:35 长：113×=48（厘米） 宽：113×=30（厘米） 高：113×=35（厘米） 体积：48×30×35=50400（立方厘米） 答：略。 【对应练习2】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积。 解析： 长+宽+高：220÷4=55（厘米） 长:宽:高=6:3:2 长：55×=30（厘米） 宽：55×=15（厘米） 高：55×=10（厘米） 体积：30×15×10=4500（立方厘米） 答：略。 【考点八】按比例分配问题其八：相遇问题。 【方法点拨】 先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数，即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。 【典型例题】 A、B两地相距750千米，甲．乙两车同时从A、B两地相对开出，相向而行，经过5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数＝甲车速度，据此列式解答。 【详解】750÷5＝150（千米/时） 150÷（8＋7）×8 ＝150÷15×8 ＝10×8 ＝80（千米/时） 答：甲车每小时行80千米。 【对应练习1】 甲、乙两车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲车的速度与乙车的速度比是2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【答案】105千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份数，求出一份数，一份数×乙车对应份数＝乙车速度，据此列式解答。 【详解】350÷2＝175（千米） 175÷（2＋3）×3 ＝175÷5×3 ＝105（千米） 答：乙车每小时行105千米。 【对应练习2】 两地相距560千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是4∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车80千米；乙车60千米 【分析】根据题意，两车速度和＝路程和÷时间，据此算出两车的速度和。已知甲、乙两车的速度比是4∶3，将两车的速度和看作单位“1”，那么甲车的速度占两车速度和的，乙车的速度占两车速度和的，对应量＝单位“1”的量×对应分率，据此解答。 【详解】（千米） 甲： （千米） 乙： （千米） 答：甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米。 【对应练习3】 甲地到乙地的总路程是316.8千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，经过1.6小时两车相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4，求客车每小时行驶多少千米。 【答案】110千米 【分析】根据客车和货车的速度比是5∶4，设客车的速度是5x千米/时，货车的速度是4x千米/时；等量关系：（货车的速度＋客车的速度）×相遇时间＝全程，据此列出方程，并求解，进而求出客车的速度。 【详解】解：设客车的速度是5x千米，货车的速度是4x千米， （5x＋4x）×1.6＝316.8 9x×1.6＝316.8 14.4x＝316.8 14.4x÷14.4＝316.8÷14.4 x＝22 22×5＝110（千米） 答：客车的速度是110千米。 【考点九】按比例分配问题其八：比与分数的结合。 【方法点拨】 比与分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。 【典型例题1】问题一。 甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？ 解析： 甲数×＝乙数×， 甲数∶乙数＝5∶4 5＋4＝9（份） 162÷9×5 ＝18×5 ＝90 162÷9×4 ＝18×4 ＝72 答：甲数是90，乙数是72。 【对应练习1】 某班共有学生55人，男生人数的等于女生人数的，这个班男、女生各有多少人？ 【答案】男25人；女30人 【分析】根据男生人数的等于女生人数的，确定男女生人数的比，总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男女生的对应份数，即可求出男、女生的人数。 【详解】假设男生人数＝女生人数＝1 男生人数∶女生人数＝（1÷）∶（1÷） ＝∶ ＝5∶6 55÷（5＋6） ＝55÷11 ＝5（人） 5×5＝25（人） 5×6＝30（人） 答：这个班男、女生各有25人、30人。 【点睛】关键是确定男女生人数比，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习2】 甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 【答案】80；100 【分析】根据甲数的等于乙数的，可以确定甲乙两数的比是4∶5，两数和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘甲乙两数的对应份数，即可求出甲、乙两数。 【详解】甲、乙两数的比：4∶5 180÷（4＋5） ＝180÷9 ＝20 甲数：20×4＝80 乙数：20×5＝100 答：甲数是80，乙数是100。 【点睛】关键是确定甲乙两数的比，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习3】 甲、乙两数的和是182，已知甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数是104，乙数是78 【分析】根据“甲数的等于乙数的”可知，甲数与乙数的比为4∶3，再根据按比例分配的知识点解答。 【详解】甲数与乙数的比为4∶3； 182÷（4＋3） ＝182÷7 ＝26； 26×4＝104； 26×3＝78； 答：甲数是104，乙数是78。 【点睛】先求出甲数与乙数的比是解答本题的关键。 【典型例题2】问题二。 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？ 解析； 甲数与乙数的比是5∶6 乙数与丙数的比是3∶4＝6∶8 甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶8 5＋6＋8＝19 甲数：152÷19×5＝40 乙数：152÷19×6＝48 丙数：152÷19×8＝64 答：甲、乙、丙三个数各是40，48，64。 【对应练习1】 学校运来文艺书共99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班的，丙班分得的是乙班的，丁班分得多少本？ 解析： 由分析可知：甲班分到的本数∶乙班分到的本数＝5∶7；丙班分到的本数∶乙班分到的本数＝2∶3 甲班分到的本数∶乙班分到的本数∶丙班分到的本数＝15∶21∶14； 每份不可能是2本，则每份是1本。 甲班分到的本数：15×1＝15（本） 乙班分到的本数：21×1＝21（本） 丙班分到的本数：14×1＝14（本） 丁班分到的本数：99－15－21－14 ＝84－21－14 ＝63－14 ＝49（本） 【对应练习2】 第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？ 解析： 解：设第二车间有x人；第一车间有（50＋x）人 （50＋x）×＝x 30＋x＝x x＝30 x＝100 100＋50＝150（人） 答：第一车间有150人，第一车间有100人。 【对应练习3】 某小学六年级三个班共有300人，一班的人数是二班的，二班的人数是三班的，三个班各有多少人？ 解析： 解：设三班人数有x人，则二班人数有x人，一班人数有（× x）人。 x＋x＋× x＝300 x＝300 x＝300÷ x＝120 二班：120×＝100（人） 一班：100×＝80（人） 答：一班有80人，二班有100人，三班有120人。 【典型例题3】问题三。 某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【答案】250袋 【分析】将面粉总袋数看作单位“1”，根据第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，可以确定第二周用去面粉总袋数的，还剩面粉总袋数的（1－－），还剩下的袋数÷对应分率＝总袋数，据此列式解答。 【详解】50÷（1－－） ＝50÷ ＝50×5 ＝250（袋） 答：食堂一共有250袋面粉。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。 【对应练习1】 水果超市运来橘子、苹果和梨一共380千克。橘子和苹果的质量比是5∶6，梨的质量比苹果多。水果超市运来橘子多少千克？ 【答案】100千克 【分析】根据题意可知，把苹果的质量看成单位“1”，则梨的质量为（1＋），即橘子、苹果、梨的质量比是，再用380乘上橘子的质量占总质量的比值，即可算出答案。 【详解】6×（1＋） ＝6× ＝8 所以橘子、苹果、梨的质量比是5∶6∶8，即橘子的质量占总质量的比值为。 橘子的质量：380× ＝380× ＝100（千克） 答：水果超市运来橘子100千克。 【点睛】此题考查了按比例分配以及分数乘法的运算。 【对应练习2】 实验小学将六年级的140名学生分成三个小组进行植树，已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组的人数是第三小组的，这三个小组各有多少人？ 【答案】28人；42人；70人 【分析】根据第二小组的人数是第三小组的，可以确定第二小组和第三小组的人数比是3∶5，据此可以确定三个小组的人数比是2∶3∶5，根据比的意义，总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘三个小组的对应份数，即可求出三个小组的人数。 【详解】三个小组的人数比：2∶3∶5 140÷（2＋3＋5） ＝140÷10 ＝14（人） 14×2＝28（人） 14×3＝42（人） 14×5＝70（人） 答：这三个小组各有28人、42人、70人。 【点睛】关键是理解比和分数的意义，确定三个小组的人数比，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习3】 向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有125人。低年级人数是中年级的，中年级与高年级人数比是2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？ 【答案】40人 【分析】根据题意，低年级人数是中年级的，即低年级与中年级人数比是5∶8； 已知中年级与高年级人数比是2∶3，根据比的基本性质把中年级与高年级人数比的前、后项都乘4，即可得出低、中、高年级人数的连比； 根据连比求出中年级人数占比赛总人数的分率，然后根据分数乘法的意义解答。 【详解】低、中年级人数的比是＝5∶8 中、高年级人数的比是2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 低、中、高年级人数的比是5∶8∶12。 125× ＝125× ＝40（人） 答：中年级参加书法比赛的有40人。 【点睛】关键是写出低、中、高三个年级人数的连比，再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。 【考点十】按比例分配问题其十：差比问题。 【方法点拨】 差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。 【典型例题】 某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？ 【答案】桃树有54棵；李树有144棵 【分析】由题意可知，桃树和李树的棵数比是3∶8，即桃树占3份，李树占8份，所以桃树比李树少（8－3）份，即90棵，据此求出1份表示的棵数，进而求出桃树和李树分别有多少棵。 【详解】90÷（8－3） ＝90÷5 ＝18（棵） 18×3＝54（棵） 18×8＝144（棵） 答：该果园桃树有54棵，李树有144棵。 【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的棵数是解题的关键。 【对应练习1】 水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？ 【答案】960千克 【分析】已知苹果与橙子的质量比是3∶5，则把苹果的质量看作3份，橙子的质量看作5份，则苹果比橙子少（5－3）份，又已知运来苹果比橙子少240千克，则用240÷（5－3）即可求出每份是多少，进而求出（3＋5）份是多少，也就是水果店运来苹果和橙子一共多少千克。 【详解】240÷（5－3）×（3＋5） ＝240÷2×8 ＝120×8 ＝960（千克） 答：水果店运来苹果和橙子一共960千克。 【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出每份的量是多少。 【对应练习2】 把一条路按2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，已知甲队比乙队少修16千米，这条路全长是多少千米？ 【答案】144千米 【分析】由题意可知，把一条路按2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，则甲队比乙队少（3－2）份，即16千米，据此求出1份表示的长度，进而求出这条路的全长。 【详解】16÷（3－2）×（2＋3＋4） ＝16÷1×9 ＝16×9 ＝144（千米） 答：这条路全长是144千米。 【对应练习3】 六年级三个班举行“读写知识竞赛”，一班的参赛人数占总参赛人数的，二班与三班参赛人数的比是7∶9，二班的参赛人数比三班少6人。 （1）二班有多少人参加“读写知识竞赛”？ （2）六年级三个班一共有多少人参加“读写知识竞赛”？ 【答案】（1）21人 （2）72人 【分析】（1）根据：二班与三班参赛人数的比是7∶9，可知二班与三班参赛人数相差（9－7）份，再用6除以2求出一份的数量，再乘二班人数的7份，即可求出二班参加人数； （2）根据：二班的参赛人数比三班少6人，用（1）中求出的二班人数加上6求出三班的人数；根据一班的参赛人数是总参赛人数的，可知二班与三班占总参赛人数的（1－），再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用二班与三班的总人数除以（1－）即可求出三个班的总参赛人数；据此解答。 【详解】（1）6÷（9－7）×7 ＝6÷2×7 ＝3×7 ＝21（人） 答：二班有21人参加“读写知识竞赛”。 （2） 三班人数： 21＋6＝27（人） （27＋21）÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝72（人） 答：六年级三个班一共有72人参加“读写知识竞赛”。 【点睛】此题考查了分数除法与比的运用，关键能够理解题目意思再解答。 【考点十一】按比例分配问题其十：单量和比的问题。 【方法点拨】 单量和比的问题是已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。 【典型例题】 计算器的单价是24元，笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8。买一本笔记本需要多少元？ 【答案】9元 【分析】已知笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8，把笔记本的单价看作3份，计算器的单价看作8份，用计算器的单价除以8份，即可求出每份是多少，进而用乘法求出3份，也就是笔记本的单价。 【详解】24÷8×3 ＝3×3 ＝9（元） 答：买一本笔记本需要9元。 【对应练习1】 一件上衣的售价是60元，裤子与上衣单价的比是2∶3。每条裤子多少元？ 【答案】40元 【分析】已知裤子与上衣单价的比是2∶3，则说明上衣的价格有3份，裤子的价格有2份，已知上衣售价是60元，用60除以3可求出每份代表的价格，再跟裤子价格的份数相乘即可求出结果。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（元） 答：每条裤子40元。 【对应练习2】 某小区停车场普通车位和充电桩车位的数量比是7∶3，其中普通车位有210个。充电桩车位有多少个？ 【答案】90个 【分析】将比的前后项看成份数，普通车位个数÷对应份数＝一份数，一份数×充电桩车位对应份数＝充电桩车位个数，据此列式解答。 【详解】210÷7×3＝90（个） 答：充电桩车位有90个。 【对应练习3】 光明小学六年级开展“我帮父母做家务”活动。其中帮父母刷碗的男、女生人数的比是7∶8，如果帮父母刷碗的女生有56人，那么帮父母刷碗的男生有多少人？ 【答案】49人 【分析】从题意可知：男、女生人数的比是7∶8，女生是8份56人，用56÷8＝7人，即可求出1份的人数，再用7×7即可求出7份的人数，即男生的人数。 【详解】56÷8×7 ＝7×7 ＝49（人） 答：帮父母刷碗的男生有49人。 【考点十二】不变量问题其一：单量不变。 【方法点拨】 单量不变问题。 第1步：统一不变的单量； 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 【典型例题】 厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4，妈妈又买了7个苹果，此时苹果和橘子的个数之比为了4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？ 解析： 由题意可知，橘子的数量不变。 方法一: 因为橘子的数量不变，所以份数统一为4×3=12份 即原来苹果和橘子的比为9:12 现在苹果和橘子的比为16:12 苹果从9份变为16份，对应的数量为7个 每一份：7÷（16-9）=1（个） 原来苹果：1×9=9（个） 原来橘子：1×12=12（个） 方法二： 因为橘子的数量不变，因此把橘子看作单位“1” 原来苹果占橘子的，现在苹果占橘子的 根据量率对应，橘子的数量为7÷（-）=12（个） 原来苹果为12×=9（个） 答：略。 【对应练习1】 宿宿和权权两人所带的钱数之比为9:5，由于宿宿嘴馋买了一份8元的串串，他们的钱数比变为了5:3，那么原来他们各有多少钱？ 解析： 由题意，权权的钱是不变量。 根据5×3=15，原来的比变为27:15,现在的比变为25:15 原来宿宿：8÷（27-25）×27=108（元） 原来权权：8÷（27-25）×15=60（元） 答：略。 【对应练习2】 学校原有足球个数和篮球个数的比是，现在又买进10个足球，这时足球个数与篮球个数的比是，学校原有篮球多少个？ 解析： 由题意，篮球是不变量。 根据7×2=14份，原来足球和篮球的比变为16:14.现在的比变为21:14 原来篮球：10÷（21-16）×14=28（个） 答：略。 【对应练习3】 某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？ 解析： 35÷（－） ＝35÷ ＝60（人） 60×－60 ＝75－60 ＝15（人） 答：现在男职工比女职工多15人。 【考点十三】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变）。 【方法点拨】 差不变问题（同增同减差不变） 第一步：统一不变的差量； 第二步：统一一份量； 第三步：得出一份量。 【典型例题1】 壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？ 解析： （元 答：苹苹存了1000元。 【典型例题2】 甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？ 解析： 甲乙原来份数之差为25-13=12，现在份数之差为7-3=4 12和4的1最小公倍数为12 所以，现在数量之比变为21:9 每一份：20÷（25-21）=5（本） 甲原来：5×25=125（本） 乙原来：5×13=65（本） 甲乙原来一共：125+65=190（本） 【对应练习1】 小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？ 解析： 份数差统一为（6-1）×（5-1）=20（份） 原来小明与小芳课外书之比为24:4,现在之比为25:5 每一份：2÷（25-24）=2（本） 小明原来：2×24=48（本） 答：略。 【对应练习2】 艾迪和薇儿出去玩，艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是2:3，两人都用去了200元钱买东西，买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是4:7，问薇儿原来带了多少钱？ 解析： 份数之差统一为（3-2）×（7-4）=3份 原来之比变为6:9，现在之比为4:7 每一份为：200÷（6-4）=100（元） 薇儿原来：100×9=900（元） 答：略。 【对应练习3】 已知李亮与爸爸的年龄差是26岁，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，几年后,两人的年龄比是7∶20？ 解析： 李亮与爸爸的年龄差是26岁，这是不变量，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，相差26份，这26份即26岁,每份是1岁，所以今年李亮：1×9=9(岁)，爸爸:1×35=35(岁)，几年后两人的年龄比是7∶20，相差20-7=13(份)，这13份即26岁，每份是26÷13=2(岁)，所以李亮是2×7=14(岁)，爸爸是2×20=40(岁)，14-9=5(年),所以再过5年李亮与爸爸的年龄比是7∶20。 【考点十四】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变）。 【方法点拨】 总量不变问题（给来给去和不变） 第一步：统一不变的和量； 第二步：统一一份量； 第二步：得出一份量。 【典型例题1】 六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？ 解析： 40÷（－） ＝40÷（－） ＝40÷（－） ＝40÷ ＝40× ＝420（人） 答：六年级一共有420人。 【典型例题2】 小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？ 解析： 105÷（2＋3） ＝105÷5 ＝21（元） 小红现有钱：21×2＝42（元） 小明现有钱：21×3＝63（元） 小红原来有钱数：42＋18＝60（元） 小明原来有钱数：63－18＝45（元） 答：小红原来有60元，小明原来有45元。 【对应练习1】 六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？ 解析： 3＋5＝8（份） 2＋3＝5（份） 63÷（－） ＝63÷ ＝63× ＝280（本） 280×＝105（本） 答：原来二班有图书105本。 【对应练习2】 修一条小路，已修的和未修的米数比是1∶4，如果再修115米，已修的和未修的米数比是7∶5，这条小路全长多少米？ 解析： 115÷ ＝115÷ ＝115÷ ＝300（米） 答：这条小路全长300米。 【对应练习3】 甲筐有苹果80千克，乙筐有苹果60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以使甲、乙两筐苹果的质量比是5∶2？ 解析： （千克） （千克） （千克） 答：乙筐取出20千克给甲筐。 【对应练习4】 一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5∶3，如果第一小组中的14人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比是1∶2，原来两个小组各有多少人？ 解析： 14÷（－） ＝14÷（﹣） ＝14÷ ＝48（人） 48×＝18（人） 48﹣18＝30（人） 答：原来第一小组有30人，第二小组有18人。 【考点十五】比与工程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 一项工程由甲队单独完成，需要60天；由乙队单独完成，需要40天。两队合作完工后，按完成的工作量，总共领到15万元工程款，那么甲队、乙队分别能领到多少万元工程款？ 【答案】6万元；9万元 【分析】根据比的意义，写出甲队和乙队工作时间比，将时间比反过来就是效率比，也是工作量的比，总工程款÷总份数，求出一份数，一份数分别乘两队工作量对应份数即可。 【详解】甲乙两队工作时间比：60∶40＝3∶2 甲乙两队工作量的比：2∶3 15÷（2＋3） ＝15÷5 ＝3（万元） 3×2＝6（万元） 3×3＝9（万元） 答：甲队、乙队分别能领到6万元、9万元工程款 【点睛】关键是理解比的意义，确定两队工作量的比，再将比的前项和后项看成份数。 【对应练习1】 修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修，2天修了全长的。现在甲队先修5天，乙队再加入一起修。完成工程后，两队共得工资3000元。按工作量分配甲队应得多少元？ 【答案】1800元 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，据此表示出甲乙两队的工作效率；工作效率×工作时间＝工作总量，求出甲队5天的工作量，1－甲队5天的工作量＝剩余工作量，剩余工作量÷两队效率和＝两队合作天数；甲队单独工作时间＋合作工作时间＝甲队工作时间，甲队工作效率×甲队工作时间＝甲队工作量，总工资×甲队工作量＝甲队应得钱数，据此列式解答。 【详解】1÷15＝      ÷2＝ ×5＝ （1－）÷（＋） ＝4（天） ×（5＋4） ＝×9 ＝ 3000×＝1800（元） 答：按工作量分配甲队应得1800元。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，掌握按比分配问题的解题方法。 【对应练习2】 甲乙两人共同完成一项工程。甲、乙合做6天完成工程的，剩下的由乙独做8天完成。按完成的工作量的多少分配工资，甲获得工资5000元，乙应得多少元工资？ 【答案】7000元 【分析】由“甲、乙合做6天完成工程的，剩下的由乙独做8天完成”可知乙8天完成，乙的工作效率为（1－）÷8＝，乙6天完成×6＝；甲6天完成工程的－＝。那么两人完成工作量的比为∶（＋）＝5∶7．然后按比例分配的方法，解决问题。 【详解】（1－）÷8 ＝÷8 ＝ ×6＝ －＝ ∶（＋） ＝∶ ＝5∶7 5000÷5×7 ＝1000×7 ＝7000（元） 答：乙应得7000元工资。 【点睛】求得两人完成工作量的比，是解答此题的关键。 【对应练习3】 一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要12天。现在乙队先工作几天，剩下的由甲队单独完成。工作中各自的工作效率不变，全工程前后一共用了14天，共得劳务费2万元。如果按各自的工作量计算，甲、乙各获得多少万元？ 【答案】甲0.5万元；乙1.5万元 【详解】甲工作的天数： ＝ ＝（天）    乙工作的天数： （天） 甲、乙工作量的比：        甲获得的钱：（万元） 乙获得的钱：（万元) 答：甲获得0.5万元，乙获得1.5万元。 【考点十六】比与行程问题综合。 【方法点拨】 根据不同题目分析已知条件，列出算式。 【典型例题】 从甲地到乙地的路程分为上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时的速度为2.5千米/小时，路程全长为30千米，此人从甲地走到乙地需要多长时间？ 解析： 30÷（1＋2＋3）÷2.5 ＝30÷6÷2.5 ＝2（小时） 2÷4×（4＋5＋6） ＝0.5×15 ＝7.5（小时） 答：此人从甲地走到乙地需要7.5小时。 【对应练习1】 一条路全长48千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路的长度比是1︰2︰3，某人走各段路所用的时间之比是3︰4︰5。已知他走下坡的速度是每小时6千米，他走完全程用多少时间？ 解析： 48×=24（千米） 24÷6=4（小时） 4÷=（小时） 【对应练习2】 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4．已知小亮走平路时的速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共用了5小时．问：甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距25千米 【详解】试题分析：先求出平路用的时间，再乘在平路上行驶的速度求出平路的路程，再用平路的路程除以平路占总路程的分率就是甲、乙两地相距的距离． 解：平路用的时间：5×=（小时）； 平路的路程：4.5×=7.5（千米）； 7.5， =7.5×， =25（千米）； 答：甲、乙两地相距25千米． 点评：本题运用和比问题的解答方法及“速度×时间=路程”进行解答即可． 【对应练习3】 一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程比是2∶3∶4，淘气走完这三段路程所用的时间比是4∶5∶6.已知他上坡速度是每时4千米，路程总长36千米。淘气走完全程需要多少时？ 【答案】7.5时 【分析】各段路程比是2∶3∶4，那么上坡路就占全长的，把全长看成单位“1”，用乘法求出上坡路是多少千米；然后用上坡路的路程除以速度求出上坡路用的时间；这三段路用的时间比是4∶5∶6，上坡路用的时间就是全部时间的；把全部的时间看成单位“1”，用上坡路的时间除以就是需要的全部时间。 【详解】各段路程比是2∶3∶4，那么上坡路就占全长的∶ ＝； 36×＝8（千米）； 8÷4＝2（时）； 三段路程所用的时间比是4∶5∶6，那么上坡路时间就是全部时间的∶ ＝； 2＝7.5（时）； 答∶淘气走完全程需要7.5时。 【点睛】本题主要考查了比的应用，先根据路程比求出上坡路的路程，然后再根据时间比求出上坡时间是总时间的几分之几，进而求出总时间。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$