专项5 线段中的动点问题-华东师大版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 5 线段中的动点问题 1．如图，点 C在线段 AB 上.点 M，N 分别是 AC，BC 的中点． (1)著 AC=9cm，CB=6cm，求线段 MN的长； (2)若 C为线段 AB 上任-点，满足 AC+CB=acm，其它条件不变，求线段 MN的长． 2．（1）如图，线段�� = 20cm，C为��的中点，点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度沿线段 ��向右运动，到点 B停止；点 Q从点 B出发，以 1cm/s的速度沿线段��向左运动，到点 A 停止．若 P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点 P的运动时 间为 x（� > 0）s． （ⅰ）�� =________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得 C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？ 若存在，求出所有满足条件的 x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边��、��与直线��上，∠��� = 45°， ∠��� = 60°． （ⅰ）∠��� =________度． （ⅱ）如图，三角板���固定不动，将三角板���绕点 O按顺时针方向旋转角�（即∠��� = �）， 在转动过程中两个三角板一直处于直线��的上方． ①当��平分��，��，��其中的两边组成的角时，� =________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足∠��� = 2∠���？若存在，求此时的角�；若不存 在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．如图 1，已知线段�� = 24，点 C为线段��上的一点，点 D、E分别是��和��的中点． (1)若�� = 8，则��的长为______； (2)若 BC a ，求��的长； (3)动点 P，Q分别从 A，B两点同时出发，相向而行，点 P以每秒 3 个单位长度沿线段��向右 匀速运动，Q点以 P点速度的两倍，沿线段��向左匀速运动，设运动时间为 t秒，问当 t为多 少秒时 P，Q之间的距离为 6？ 4．如图①，已知线段�� = 12，点 C为线段 AB上的一点，点 D，E分别是 AC和 BC的中点． （1）若�� = 4，则 DE的长为_____________； （2）若�� = �，求 DE的长； （3）如图②，动点 P，Q分别从 A，B两点同时出发，相向而行，点 P以每秒 3个单位长度 的速度沿线段 AB向右匀速运动，点 Q以点 P速度的两倍沿线段 AB向左匀速运动，设运动时 间为 t秒，问当 t为多少时，P，Q之间的距离为 6？ 5．如图①，已知点 C在线段��上，线段�� = 10厘米，�� = 6厘米，点 M，N分别是��， ��的中点． (1)求线段��的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设�� + �� = �，其他条件不变，求��的长度； (3)动点 P、Q分别从 A、B同时出发，点 P以 2 厘米/秒的速度沿��向右运动，终点为 B，点 Q以 1厘米/秒的速度沿��向左运动，终点为 A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运 动，求运动多少秒时： ①点 P恰好为线段��的中点？ ②直接写出 C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 6．如图所示，点 P是线段��上任意一点，�� = 12 cm，C，D两点分别从点 P，B同时向点 A运动，且点 C的运动速度为 2cm/s，点 D的运动速度为 3cm/s，运动时间为 ts． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)若�� = 8cm： ①两点运动 1s 后，求��的长； ②当点 D在线段��上运动时，试说明：�� = 2��； (2)当� = 2s 时，�� = 1cm，试探索��的长． 7．已知：线段�� = 25cm． : 1: 4AO BO  ， 2cmPO  ， 60POB  ，动点 C从点 P出发，绕着 点 O以 60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点 Q沿直线��自 B点向 A点运动，假若 C、 Q两点能相遇． （1）�� = ； （2）动点 Q的速度可以是 ． 8．如图，线段�� = 20cm，C为��的中点，点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度沿线段��向 右运动，到点 B停止；点 Q从点 B出发，以 1cm/s的速度沿线段��向左运动，到点 A停止．若 �, �两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点 P的运动时间为 x（x ＞0）s． (1)�� = cm． (2)是否存在某一时刻，使得�, �, �这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在， 求出所有满足条件的 x的值；若不存在，请说明理由． 9．如图 1，已知线段�� = 48cm，点�、�、�在线段��上，且��: ��: ��: �� = 1: 2: 1: 2． (1)�� =__________cm，�� =__________cm； (2)已知动点�从点�出发，以 2cm/�的速度沿� − � − � − � − �向点�运动；同时动点�从点� 出发，以 1cm/�的速度沿� − � − � − � − �向点�运动，当点�到达点�后立即以原速返回，直 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 到点�到达点�，运动停止；设运动的时间为�． ①求�为何值，线段��的长为 12cm； ②如图 2，现将线段��折成一个长方形����（点�、�重合），请问：是否存在某一时刻， 以点�、�、�、�为顶点的四边形面积与以点�、�、�、�为顶点的四边形面积相等，若存在， 求出�的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 5 线段中的动点问题 答案解析 1．(1)7.5�� (2)1 2 ��� 【分析】（1）由题意可得�� = 1 2 ��，�� = 1 2 ��，再根据已知边长求解即可； （2）由题意可得�� = 1 2 ��，�� = 1 2 ��，再根据已知条件求解即可； 【详解】（1）∵点 M，N分别是 AC，BC 的中点， ∴�� = 1 2 ��，�� = 1 2 ��， ∵AC=9cm，CB=6cm， ∴�� = �� + �� = 1 2 �� + 1 2 �� = 1 2 �� + �� = 1 2 × 15 = 7.5��； （2）∵点 M，N分别是 AC，BC 的中点， ∴�� = 1 2 ��，�� = 1 2 ��， ∵AC+CB=acm， ∴�� = �� + �� = 1 2 �� + 1 2 �� = 1 2 �� + �� = 1 2 ���； 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． 2．（1）（ⅰ）10（ⅱ）� = 6；� = 15 2 （2）（ⅰ）75（ⅱ）①�的值为 30°，90°，105°②当 105  或 125°时，存在∠��� = 2∠��� 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根 据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得 到结论；②当��在��的左侧时，当��在��的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为��的中点 ∴�� = 1 2 �� = 20 2 = 10 �� ． 故答案为：10； （ⅱ）存在， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ①∵P的速度 2��/�，Q的速度是 1��/�， ∴�� ≠ ��， 又�� = ��， ∴�� ≠ �� ∴�不是线段 PQ的中点； ②�为线段CQ的中点，得 2 2� − 10 = 10 − �，解得� = 6； ③�为线段��的中点，得 2� − 10 = 2 10 − � ，解得� = 15 2 综上所述：� = 6或� = 15 2 ． （2）（ⅰ）∵ ∠��� = 45°，∠��� = 60°， 180 75BOD AOB COD       ， 故答案为：75； （ⅱ）①当��平分∠���时， AOE   ，∠��� = 60°， 180 120AOD AOE COD          ， 1 160 45 2 2 AOB AOD        ， ∴ � = 30°， 当��平分∠���时， 180AOC     ， 190 45 2 AOB     ， 90  ； 当��平分∠���时， 60DOC   ， 30BOC  ， 180 45 30 105        ， 综上所述，旋转角度�的值为 30°，90°，105°； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ②当��在��的左侧时，则 120AOD     ， 135BOC    ， 2BOC AOD   ， 135 2(120 )       ， 105  ； 当��在��的右侧时，则 120AOD    ， 135BOC    ， 2BOC AOD   ， 135 2( 120)     ， ∴ � = 125°， 综上所述，当 105  或 125°时，存在∠��� = 2∠���． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性 质得出关于�的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 3．(1)��的长为 12； (2)��的长为 12； (3)当� = 2或� = 10 3 时，之间的距离为 6； 【分析】（1）由�� = 24，�� = 8，则�� = 16，由点D、E分别是��和��的中点，则�� = 4, �� = 8， 即可得到答案； （2）由�� = 24， BC a ，则�� = 24 − �，由点 D、E分别是��和��的中点，则�� = 12 − 1 2 �, �� = 1 2 �，即可得到答案； （3）由 3 , 6AP t BQ t  ，则�� + �� + �� = 24或 24AP BQ PQ   ，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵�� = 24，�� = 8， ∴ �� = 16， ∵点 D、E分别是��和��的中点， ∴ �� = 4, �� = 8， 12DE DC CE    ，即��的长为 12； （2）解：∵�� = 24， BC a ， 24AC a   ， ∵点 D、E分别是��和��的中点， ∴ �� = 12 − 1 2 �, �� = 1 2 �， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12DE DC CE    ，即��的长为 12； （3）解：∵ �� = 3�, �� = 6�， 如图， 24AP PQ BQ    ， 如图， ∴ 24AP BQ PQ   ， 3 6 6 24t t    或 3 6 6 24t t   ， 解得：� = 2或� = 10 3 ， ∴当� = 2或� = 10 3 时，之间的距离为 6； 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，一元一次方程的应用，解题的关键是根据 题意画出图形，得出线段之间的关系式． 4．（1）6；（2）6；（3）2 3 或 2 【分析】(1)根据图形，由 AB= 12，AC=4 得出 BC= 8再根据点 D，E 分别时 AC和 BC 中点，得 出 DC，EC，再根据线段的和求出 DE， (2)根据图形，由 AB= 12，BC=m 得出 AC=12-m 再根据点 D，E 分别时 AC 和 BC 中点，得出 DC， EC，再根据线段的和求出 DE， (3)用含 t的式子表示 AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于 AB，得到两个一元一次方 程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点 D，E 分别时 AC 和 BC 中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点 D， E 分别时 AC 和 BC 中点 ∴DC=6-1 2 m，BC=EC= � 2 ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12 或 AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12 或 3t + 6t- 6= 12 解得 t=2 3 或 t= 2 故当 t=2 3 或 t= 2时，P，Q 之间的距离为 6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线 段之间的关系式． 5．(1)�� = 8厘米 (2)�� = 1 2 � (3)①� = 26 5 ②� = 4或11 2 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于 t的方程是解题关键， 要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为�为线段��的中点和�为线段��的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据 解方程，可得答案； ②分为 C为线段��的中点和点�为线段��的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解 方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 �� = 10厘米， �� = 6厘米，点�, �分别是��, ��的中点, ∴ �� = 1 2 �� = 5厘米， �� = 1 2 �� = 3厘米， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ �� = ��+ �� = 8厘米； （2）∵点�, �分别是��, ��的中点, ∴ �� = 1 2 ��, �� = 1 2 ��， ∴ �� = ��+ �� = 1 2 �� + 1 2 �� = 1 2 �； （3）解：①当 5 < � ≤ 16 3 时，�为线段��的中点，2� − 10 = 16 − 3�， 解得� = 26 5 ； ②当 0 < � ≤ 5时，�是线段 PQ的中点，得 10 − 2� = 6 − �, 解得 � = 4; 当 16 3 < � ≤ 6时，�为线段��的中点， 6 − � = 3� − 16, 解得 � = 11 2 ; 当 6 < � ≤ 8时，�为线段��的中点， 2� − 10 = � − 6, 解得� = 4 (舍) , 综上所述：� = 4或11 2 ． 6．(1)①3cm；②见解析 (2)9cm 或 11cm 【分析】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式： （1）①先求出��、��、��的长度，然后利用CD CP PB DB   即可求出答案；②用 t表示 出��、��、��的长度即可求证�� = 2��； （2）当� = 2时，求出��、��的长度，由于没有说明 D点在 C点的左边还是右边，所以要分 情况讨论； 注意分类是解题的关键． 【详解】（1）解：①当� = 1时，�� = 2 × 1 = 2cm，�� = 3 × 1 = 3cm， ∵�� = 8cm，�� = 12cm， ∴�� = �� − �� = 12 − 8 = 4cm， ∴�� = �� + �� − �� = 2 + 4 − 3 = 3cm， ②∵�� = 8cm，�� = 12cm， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴�� = 4cm，�� = 8 − 2� cm， ∴�� = 4 − 3� cm， ∴�� = �� + �� = 4 − 3� + 2� = 4 − � cm， ∴�� = 2��； （2）解：当� = 2时，�� = 4cm， 6DB  cm， ①当点 D在点 C的右边时，如图①所示， ∴�� = �� + �� = 1 + 6 = 7cm， ∴�� = �� − �� = 12 − 7 = 5cm， ∴�� = �� + �� = 5 + 4 = 9cm， ②当点 D在点 C的左边时，如图②所示， ∴�� = �� − �� = 12 − 6 = 6cm， ∴�� = �� + �� + �� = 6 + 1 + 4 = 11cm， 综上所述，��的长为 9cm或 11cm． 7． 5cm 11cm/s或 3.6cm/s 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）根据 : 1: 4AO BO  得�� = 1 5 ��，代入即可求解； （2）由于点 P，Q只能在直线��上相遇，而点 P旋转到直线��上的时间分两种情况，先求出 点 P旋转到线段��上的时间，设点 Q的速度为� m/s ，然后根据速度、路程、时间的关系列 出方程，解方程即得答案． 【详解】（1）∵ �� ∶ �� = 1 ∶ 4，�� = �� + ��， ∴ �� = 1 5 ��， ∵ �� = 25cm ∴ �� = 1 5 × 25 = 5cm， 故答案为：5cm （2）∵初始位置 60POB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴初始位置∠��� = 120°， ∴点 P旋转到直线��上的时间为120 60 = 2�或120+180 60 = 5�； 设点 Q的速度为� cm/s ， ∵点 P，Q只能在直线��上相遇， ∴当点 P第一次到达直线上��时， 即当 2秒时 P、Q相遇，依题意得， 2 25 5 2y    ， 解得� = 11； 当 5秒时相遇，依题意得 5 25 5 2y    解得� = 3.6． 所以点 Q的速度为 11cm/s或 3.6cm/s． 8．(1)10 (2)存在，当� = 6�或 7.5�时，�, �, �三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义， 根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段�� = 20cm，C为��的中点即可得 AC的长； （2）依题意得：�� = 2�cm,�� = �cm,�� = �� = 10cm，然后分三种情况讨论如下：①当点 C为 PQ的中点时，②当点 P为CQ的中点时，③当点 Q为��的中点时，再根据每一种情况画 出图形，利用线段中点的定义列出方程求出 x即可． 【详解】（1）∵线段�� = 20cm，C为��的中点， ∴ �� = �� = 1 2 �� = 1 2 × 20 = 10 cm ． （2）存在． 依题意得：�� = 2�cm,�� = �cm， 由（1）可知：�� = �� = 10cm， 分三种情况讨论如下： ①当点 C为 PQ的中点时：则�� = ��，如图 1所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∵ �� = �� − �� = 10 − 2� cm，�� = �� − �� = 10 − � cm， ∴ 10 − 2� = 10 − �， 解得：� = 0（不合题意，舍去）； ②当点 P为CQ的中点时，则�� = ��，如图 1所示： ∵ �� = �� − �� = 2� − 10 cm， ∴ �� = �� − �� = 20 − 2� cm， ∴ �� = �� − �� = 20 − 2� − � = 20 − 3� cm， ∴ 2� − 10 = 20 − 3�， 解得：� = 6； ③当 Q为��的中点时，则�� = 2��，如图 2 所示： ∵ �� = �� − �� = 2� − 10 cm，�� = �� − �� = 10 − � cm， ∴ 2� − 10 = 2 10 − � ， 解得：� = 7.5． 综上所述：当� = 6�或 7.5�时，�, �, �三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 9．(1)16，8 (2)①� = 12�或 20�或 36�；②存在，� = 8� 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程 解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及 M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇 前（点 M在��上，N在��上），此时�� = ��即可列出方程求得，当 M点返回时，点 M在�� 上，点 N在��上，此时�� = ��，列出方程求得， 【详解】（1）解：�� = 48 × 2 1+2+1+2 = 16��，�� = 48 × 1 1+2+1+2 = 8��， 故答案是：16，8； （2）①当 M、N第一次相遇时，� = 48 1+2 = 16�， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 当 M到达 E点时，� = 48 2 = 24�， 如图 1， 当 0 < � < 16时，2� + 12 + � = 48， ∴� = 12， 如图 2， 当 12 < � < 24时，2� − 12 + � = 48， ∴� = 20， 如图 3， 当 24 < � < 48时，� = 2� − 48 + 12， ∴� = 36， 综上所述：� = 12�或 20�或 36�； ②如图 4， 当 0 < � < 16时， 由 AN CM 得，24 − 2� = �， ∴� = 8， 如图 5， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 当 24 ≤ � < 32时，2� − 48 = � − 24， ∴� = 24，此时不构成四边形，舍去 综上所述：� = 8�．