5.第五章 四边形(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第五章 四边形 第21节 平行四边形与多边形 【教材链接】八（上）第十一章P19~P29:八（下）第十八章P40~P51. 季一题多练过基础 1.北师八下P160改编如图，已知正六边形ABC (1)①若AB∥CD,请添加一个条件，使四边形 DEF.回答下列问题： ABCD为平行四边形：AD∥BC,判断依据： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②若AD=BC,请添加一个条件，使四边形AB CD为平行四边形：AB=CD,判断依据： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 第1题图 ③若∠DAB=∠DCB,请添加一个条件，使四边 形ABCD为平行四边形：∠ADC=∠CBA, (1)正六边形ABCDEF的内角和等于720， 判断依据：两组对角分别相等的四边形是平 每一个内角等于120°，外角和等于360 行四边形； 每一个外角等于60°，共有9条对角线 (2)若AO=CO,请添加一个条件，使四边形 (2)若正六边形ABCDEF的边长为4，则其较长 ABCD为平行四边形：B)=D),判断依据： 的一条对角线长为8： 对角线互相平分的四边形是平行四边形； (3)已知对角线AC与BD交于点G,则∠(GD (3)若四边形ABCD为平行四边形，OA=6, 60°； OB=3,∠ADB=90°，回答下列问题： (4)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图 ①□ABCD的对称中心为点O: 形可进行拼接镶嵌.若用正六边形ABCDEF和 ②AD=35,AB=3w7: 另一种正多边形进行镶嵌，则另一种正多边形 ③□ABCD的面积为18v3,周长为63 为等边三角形。 2.北师八下P138改编如图，四边形ABCD的对角 6/7,AE+BF=3v3,四边形ABFE的 线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD, 面积为93： BC分别相交于点E,F ④若SmE=6Sm,则DE= 33 ⑤连接DF,BE,则四边形BEDF的形状为平 行四边形· 第2题图 79 一教材知识构体系 概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别①平行 且②相等，如图中的AD∥ 边 ③BC,④AD=BC 两组对角分别⑤相等.如图中的∠BAD=⑥∠BCD,∠ABC 角 性质 =⑦∠ADC 对角线 对角线⑧互相平分.如图中的OB=⑨OD,OA=⑩OC 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，对称中心是 对称性 两条对角线的交点 (1)两组对边①分别平行的四边形是平行四边形（定义）： 平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 判定 (3)有一组对边②平行且相等的四边形是平行四边形： 平行四边形与多边形 (4)两组对角⑧分别相等的四边形是平行四边形： (5)对角线④互相平分的四边形是平行四边形 面积 S=ah(a表示边BC,h表示BC边上的高AE 公式 【知识拓展】1.平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个三角形：2.若 条直线经过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积 多边形 内角和定理：n边形的内角和为⑤(n一2)×180° 的性质 外角和定理：n边形的外角和为⑤360 (n边形， 对角线：过n边形一个顶点可引⑦n一3 条对角线，n边形共有 n≥3) ⑥3到条对角线 2 多边形 (1)各边相等，各内角相等，各外角相等，每一个内角的度数为 ⑧2180，每一个外角的度数为@ 正多边形 (2)正n边形有④n条对称轴 的性质 (3)对于正n边形，当n为②奇数时，是轴对称图形；当n为⑧偶数时，既 是轴对称图形，又是中心对称图形 (4)有一个外接圆和一个内切圆，它们为同心圆 云情境试题分阶练 今情境夯基础 打牢根基掌握被心知识 2.[2024河南]如图，在□ABCD中，对角线AC, 1.[2024乐山]如图，下列条件中不能判定四边形 BD相交于点O,点E为OC的中点，EF∥AB ABCD为平行四边形的是 (D) 交BC于点F.若AB=4,则EF的长为(B) A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC A司 B.1 C.AO=CO,BO=DO D.2 D.AB∥DC,AD=BC 第1题图 c 第2题图 80 3.[2024聊城]如图，点E为□ABCD的对角线AC .AD=2EF=2. 上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F, '∠EFB=90°，tan∠FEB= 使得EF=DE,连接BF,则BF的长为(B) EF c号 .BF=3EF=3. B.3 D.4 .DF=FB,.DF=BF=3. AD∥CE,∴∠ADF=∠EFB=90, .AF=/AD+DF=/13. ,四边形AFCD为平行四边形， 第3题图 第5题图 ∴.CD=AF=/13 4.[2024重庆A卷]如果一个多边形的每一个外角 .DF=BF,CEBD,..BC=CD=13. 都是40°，那么这个多边形的边数为9 会情境提思维 综合提升煲活运用知识 5.如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形9.[2024河北]直线L与正六边形ABCDEF的边 的两个顶点，则∠1与∠2的度数和为180° AB,EF分别相交于点M,N,如图所示，则a十 6.[2024广州]如图，□ABCD中，BC=2,点E在 3= (B) DA的延长线上，BE=3,若BA平分∠EBC,则 A.115 B.120 C.135 D.144 DE=5 第9题图 第10题图 第6题图 第7题图 10.[2024自贡]如图，在□ABCD中，∠B=60°， 7.[2024山西]如图，在□ABCD中，AC为对角线， AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发，以 AE⊥BC于点E,F是AE延长线上一点，且 1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C ∠ACF=∠CAF,线段AB,CF的延长线交于点 出发，以3cm/s的速度沿C→B-→C→…往 G.若AB=5,AD=4,tan∠ABC=2,则BG的 复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止 长为 205 运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的 19 次数是 (B) 8.[2024北京]如图，在四边 A.3 B.4 C.5 D.6 形ABCD中，E是AB 11.[2024广安]如图，在□ABCD中，AB=4,AD= 的中点，DB,CE交于点 5,∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则 F,DF=FB,AF∥DC. 第8题图 MA+MD的最小值为√/41 (1)求证：四边形AFCD为平行四边形： (2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3,EF=1,求 BC的长. (1)证明：E是AB的中点，.AE=BE 第11题图 第12题图 ,DF=BF,,EF是△ABD的中位线， 12.[2024宜宾]如图，在□ABCD中，AB=2,AD .EF∥AD,.CF∥AD 4,E,F分别是边CD,AD上的动点，且CE ,AF∥CD,∴.四边形AFCD为平行四边形 DF.当AE+CF的值最小时，CE= (2)解：由(I)知，EF是△ABD的中位线， 81 第22节矩形、菱形、正方形 【教材链接】八（下）第十八章P52~P69, 字一题多练过基础 北师九上P15改编在口ABCD中，对角线AC与 tan∠ADE=2,则AE的长为 10 ,AB的长为 BD相交于点O. 4 (1)①要使□ABCD为矩形，可添加的条件为 52 2 ,矩形ABCD的面积为252： AC=BD(写出一个即可)，判断依据：对角 (3)已知□ABCD为菱形 线相等的平行四边形是矩形； ②要使□ABCD为菱形，可添加的条件为AC⊥BD ①若AB=4,∠BAD=120°，则∠ABD=30°， (写出一个即可)，判断依据：对角线互相垂直的 对角线AC的长为4，对角线BD的长为43， 平行四边形是菱形； 菱形ABCD的面积为83，菱形ABCD的周 ③要使□ABCD为正方形，可添加的条件为AC 长为16； BD且AC⊥BD(写出一个即可)，判断依据 ②若AC-8,BD=6,过点B作BF⊥CD交CD于 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形； 点F,则菱形ABCD的高BF为 24 (2)已知□ABCD为矩形. (4)已知□ABCD为正方形，AB=5,则∠ABD= ①若AB=6,∠AOB=120°，则∠BAC=30 BC=25,矩形ABCD的周长为12+4w3 45,对角线AC=52,正方形ABCD的 面积为25，正方形ABCD的周长为20. ②过点A作AE⊥BD交BD于点E,若AD=10, 教材知识构体系 特殊四边形的性质 图形 矩形 菱形 正方形 图示 边 对边平行且相等 对边平行，四条边相等 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 互相②垂直平分，平分一组 互相③垂直平分且相等，平 对角线 相等且①互相平分 对角 分一组对角 既是轴对称图形，又是中心对称 既是轴对称图形，又是中心对称 既是轴对称图形，又是中心对称 对称性 图形，有④2条对称轴，对称 图形，有⑤2条对称轴，对称 图形，有⑥4条对称轴，对称 中心为对角线交点 中心为对角线交点 中心为对角线交点 面积 S=ub S=ah=2mn(m,n为两条对 S=a2=号P(1为对角线的 角线的长) 长) 82 知识点2？特殊四边形的判定 有三个角是直角 矩形 ①一组邻边相等 ②对角线互相垂克 ①有一个角是直角 ①两组对角分别相等 2对角线相等 四边 ②两条对角线互相平分 平行 形 ③两组对边分别平行 四边形 形 ④两组对边分别相等 ⑤一组对边平行且相等 ①一组邻边相等 ②对角线互相垂直 四条边都相等 ①有一个角是直角 ②对角线相等 知识点③中点四边形 原四边形 中点四边形 平行四边形 ⑦平行四边形 矩形 ⑧菱形 菱形 ⑨矩形 正方形 0正方形 令情境试题分阶练 令情境夯基础 打牢根基掌报核心知识 4.[2024济宁]如图，菱形ABCD的对角线AC,BD 1.[2024绥化]如图，四边形ABCD是菱形.CD=5. 相交于点O,E是AB的中点，连接OE.若OE= BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(A) 3,则菱形的边长为 (A) 24 48 A.6 B.8 C.10 D.12 A. B.6 D.12 5 第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 2.[2024上海]四边形ABCD为矩形，过点A,C作 5.[2024辽宁]如图，在矩形ABCD中，点E在边AD 对角线BD的垂线，过点B,D作对角线AC的 上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为(C) 垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那么这个 A.30° B.45 C.60° D.120° 四边形为 (A) 6.[2024陕西]如图，正方形CEFG的顶点G在正 A.菱形 B.矩形 方形ABCD的边CD上，AF D C.直角梯形 D.等腰梯形 与DC交于点H,若AB=6, 3.[2024甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC, CE=2,则DH的长为(B）B BD相交于点O,∠ABD=60°，AB=2,则AC的 A.2 B.3 第6题图 长为 (C) A.6 B.5 C.4 D.3 c n号 83 7.[2024广西]如图，边长为5的正方形ABCD,E, 证明：，四边形ABCD是菱形， F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE .AB=BC=CD=AD,∠A=∠C DF,交点分别为M,V,P,Q,那么四边形MV :BE=BF,∴AE=CF PQ的面积为 (C) DA=DC, 在△DAE和△DCF中，∠A=∠C, AE=CF, .△DAE≌△DCF(SAS),∴.DE=DF, 第7题图 ∴∠DEF=∠DFE. A.1 B.2 C.5 D.10 11.[2024兰州]如图，在△ABC中，AB=AC,D是 8.[2024呼伦贝尔]如图，边长为2的正方形ABCD BC的中点，CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC 的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上 (1)求证：四边形ADCE是矩形： 一点，F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长 是 第11题图 (日)证明：在△ABC中，AB=AC,D是BC的 第8题图 中点 A.2、2 B.2+2 .AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90 ,CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90° C.4-2② D.2 ·AELAD,∴·∠EAD=90 9.[2024常州]如图，在矩形ABCD中，对角线BD ∠AD=∠ECD=∠EAD=90°， 的垂直平分线分别交边AB,CD于点E,F,若 ,四边形ADCE是矩形 AD=8,BE=10,则tam∠ABD (2)解：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，BC=4, .BD-CD-KC-2. 由(1)得四边形ADCE是矩形， 第9题图 10.[2024广安]如图，菱形ABCD中，点E,F分别是 .AE=CD=2,∠AEC=90 AB,BC边上的点，BE=BF,求证：∠DEF 在R1△AFC中，AE=2,CE=3, ∠DFE. 由勾股定理得AC=√AE十CE=√13 EF LAC, S= 2AC·EF=2AE·CE, ∴EF=AE,CE_6IS 第10题图 AC 13 84 12.[2024扬州门如图①，将两个宽度相等的矩形纸14.[2024德阳]如图，四边形ABCD是矩形， 条叠放在一起，得到四边形ABCD. △ADG是等边三角形，F是GD的中点，P是 (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由： 矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底 (2)已知矩形纸条宽度为2，将矩形纸条旋转至 的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的 如图②位置时，四边形ABCD的面积为8，求 面积的比值是2 此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数， 第14题图 图① 图② 第12题图 15.[北师九（上）PI9第5题改编]如图，在矩形ABCD 解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下： 中，AD=2W5,P是AD上的一个动点，过点P 如答图①，作CH⊥AB于点H,CG⊥AD于点G 分别作AC,BD的垂线，垂足分别是E,F,若 ,两个纸条为宽度相等的矩形， PE--PF=2,则tan∠DOC的值为 .AB∥CD,AD∥BC, ,四边形ABCD是平行四边形 ,SM=AB·CH=AD·CG,且CH=(G, .AB=AD,.四边形ABCD是菱形 第15题图 (2)如答图②，作AM⊥CD,垂足为M. 16.[2024泸州改编]如图，在边长为6的正方形 S菱形D=CD·AM=8,且AM=2, ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的动点， .CD=4,.AD=CD=4. 且满足AE=BF,AF与DE交于点O,M是 在Rt△ADM中，sin∠I DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则 .∠1=30 OM什。FG的最小值是5。 图① 图② G 第12题答图 第16题图 交情境提思维 综合授升员活运用知识 17.[2024扬州]如图，点A,B,M,E,F依次在直线 13.[2024龙东地区]如图，菱形ABCD中，O是BD I上，点A,B固定不动，且AB=2,分别以AB, 的中点，AM⊥BC,垂足 EF为边在直线L同侧作正方形ABCD、正方 为M,AM交BD于点 形EFGH,∠PMN=90°，直角边MP恒过点 N,OM=2,BD=8,则 C,直角边MN恒过点H. MN的长为 (C) 第13题图 (1)如图①，若BE=10,EF=12,求点M与点 A./5 B4⑤ D.25 B之间的距离； 5 C.35 5 5 (2)如图①，若BE=10,当点M在点B,E之间 85 运动时，求HE的最大值： 值时点H的位置，B'C的长度即为CH+HB (3)如图②，若BF=22,当点E在点B,F之间 的最小值.过点C作CQ⊥GF于点Q,连接 运动时，点M随之运动，连接CH,O是CH的 BG.,∠BFH=∠B'FH=45,点B在FG 中点，连接HB,MO,则2OM+HB的最小值 的延长线上.：∠CBF=∠BFQ=∠FQC 为 90°，∴.四边形CBFQ为矩形，.FQ=BC=2 .BF=BF=22,.B'Q=BF-QF=20,CQ= BF=22.在R△BCQ中，BC=/CQ+BQ= 222I,.2O0M十HB最小值为2√/22I 图1 图② 第17题图 解：(1)由题意得∠CBM=∠CMH=∠HEM 90, ∴.∠CMB+∠MCB=∠CMB+∠HME=9O, .∠MCB=∠HME,.△MCBo△HME, 第17题答图 品器 18.[2024山西综合与探究 【问题情境】如图①，四边形ABCD是菱形，过 .BC=AB=2,EH=EF=12,BE-10. 点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD ..EM=BE-BM=10-BM, 于点F. 10解得=4或6， 2 【猜想证明】 点M与点B之间的距离是4或6. (1)判断四边形AECF的形状，并说明理由： (a由(1知%-别 【深入探究】 (2)将图①中的△ABE绕点A逆时针旋转，得 设EH=y,BM=x 到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H. ,BE=10,∴.EM=10 ①解题菜开效如图②，当线段AH经过点C 2 =，整理得y=一 -+ 时，GH所在直线分别与线段AD,CD交于点 M,N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说 :-}<0,∴当=5时取得最大值为受， 明理由： 即HE的最大值为总。 ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分 别与直线AD,CD交于点M,N,直线AH与 (3)222 线段CD交于点Q.若AB=5,BE=4,直接写 【解析】，∠CMH=90,O是CH的中点，.CH 出四边形AMNQ的面积. 2OM,∴.2OM+HB=CH+HB,即当CH+ HB的值最小时，2)M十HB的值最小，如答 图，作射线FH,则点H在∠EFG的平分线 上，作点B关于FH的对称点B',连接B'C交 图①① 图② FH于点H',则点H即为CH+HB取得最小 第18题图 86 解：(1)四边形AECF为矩形.理由如下： ∴.GN=AE=3, ,AE⊥BC,CF⊥AD .NH=1. ∴.∠AEC=90°，∠AFC=90. AD∥BC, 四边形ABCD为菱形， .∠GAM=∠B, ∴.AD∥BC, ∴.tan∠GAM=tanB, .∠AFC+∠ECF=180°， 即器能- ∴.∠ECF=180°-∠AFC=90°， 四边形AECF为矩形 解得GM=9,则MH=GH-GM=? (2)①CH=MD.理由如下： ,AG∥CN, 解法一：四边形ABCD为菱形， ∴.∠GAH=∠AQC=∠NQH. .AB=AD,∠B=∠D 由旋转得AB=AH,∠B=∠H, 在Rt△QNH中，an∠NQH= QN .AH=AD,∠H=∠D m∠GAH-能-NH-1,则QN-是 49 .∠HAM=∠DAC, .△HAM≌△DAC(ASA) Smh形Nn=SH一S.OH= MH·AG ∴.AM=AC ∴.AH-AC=AD-AM, 2NH.QN- ..CH=MD. 情况二：如答图③，当点G旋转至BA上时， 解法二：如答图①，连接HD 63 GH⊥CD,此时S四边形Q一1 ,四边形ABCD为菱形， 同第一种情况的计算思路可得NH=7,QV .AB=AD,∠B=∠ADC AG=3,MH= 由旋转得AB=AH,∠B=∠AHBM ∴AH=AD,∠AHM=∠AIDC NH·QN ∴.∠AHD=∠ADH 2MH·AG- 63 ∴.∠AHD-∠AHM=∠ADH-∠ADC, .∠MHD=∠CDH .DH=HD, 综上所述，四边形AM小NQ的面积为或的 .△CDH≌△MHD(ASA), ∴.CH=MD ②四边形AMNQ的面积为或票 图 图② [解法提示]情况一：如答图②，当点G旋转至 BA的延长线上时，GH⊥(CD ,AB=5,BE=4, .AE=3. 图3 由旋转得AG=AE=3,GH=BE=4,∠H=∠B 第18题答图 .GN⊥CD, 87