1.第一章 数与式(教师用书)-【加速度中考】2025年内蒙古中考备考加速度数学课堂讲练本

第一部分 教材县础知识精说练 加鹿度美 第一章数与式 第1节 实数的分类及相关概念 【教材链接】七（上）第一章P1~P52:八（上）第十五章P145. 子一题多练过基础 人教七下P56改编如图，A,B,C,D,E为数轴上的五示的数是一5，它的绝对值是5； 个点，可以用来表示2，一1.5，N5,π，3这五个数 (4)若一个数的绝对值可以用点E所在位置的数 -24 0 B C DE 4 表示，则这个数是π或一π； (1)数轴上点B表示的数为√2，点A表示的数 (5)将点A向右平移 9 个单位长度可以 为-1.5； 和点D重合；点D与点E之间的距离为x一3； (2)点D表示的数的绝对值是3，倒数是 (6)将数字3扩大为原来的2500倍，则扩大后的 相反数是一3； 数用科学记数法表示为7.5×10；将数字3平 (3)F是数轴上不与上述五个点重合的一点，且到 均分成200份，则其中的一份用科学记数法表示 原点的距离与点C到原点的距离相同，则点F表 为1.5×10-2； 教材知识构体系 整数 有理数 有限小数或无限循环小数 分数」 按定义分类 无理数：①无限不循环小数，如：v2,0.010010001…(每相 实数的分类 邻两个1之间依次多一个0)，π等 正数 按大小分类②0（既不是正数，也不是负数） 负数 正负数的意义：一般地，具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正，并在 实数的分类 表示的这个量前面加上“十”，把与它意义相反的量规定为负，并在表示的 及相关概念 这个量前面加上“一” 原点正方向 数轴 三要素：。有 单位长度 实数的相 对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的 关概念 (1)非零实数a的相反数是③一a.特别地，0的相反数是0 (2)实数a,b互为相反数台a十b=0 相反数 (3)几何意义：互为相反数(0除外)的两个数所对应的点分别位于数轴 上原点的两侧，且到原点的距离④相等 a(a>0) (1)|a|=0(a=0) (绝对值具有非负性，即a≥0) ⑤ -a(a<0) 绝对值 (2)几何意义：数轴上表示α的点到原点的距离.离原点越远的数的绝对值越大 实数的相 (3)绝对值相等的两个数相等或⑥互为相反数，即a=b1台a=b或⑦a=一b 关概念 倒数 (1)非零实数α的倒数是。，特别地，0没有倒数，倒数是它本身的数是⑧士1 (2)实数a,b互为倒数台ab=⑨1 数 概念：把一个数写成a×10的形式，其中1≤|a<10,n是非零整数，这种记数法叫做科学 记数法 类 (1)对于一个绝对值大于10的数，n是正整数，其值等于原数的整数位数减去1 科学记n的 (2)对于一个绝对值大于0且小于1的数，n是负整数，n的绝对值等于原数左起第一 数法 确定 关 个⑩非零实数前所有0的个数（包括小数点前的0） 念 【抢分要点】常考的计数单位：1千=103,1万=10,1亿=10°： 常考的计量单位：1mm=103m,1以m=10-6m,1nm=10-9m 近似数：与准确数相近的数.四舍五入法是常用的取近似数的方法 近似数与 精确度：近似数与准确数的接近程度.一个近似数四舍五人到哪一位就说这个近似数精确 精确度 到哪一位 情境试题分阶练 孕情境夯基础 打牢根基学提校心知识 6.羊◆文化[2024江西]“长征是宣言书，长征是宣传 1.2024山西]中国空间站位于距离地面约400km 队，长征是播种机”二万五千里长征是中国历史 的太空环境中.由于没有大气层保护，在太阳光 上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹.将25000 用科学记数法可表示为 (C) 线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃， A.0.25×10 B.2.5×10 其背阳面温度可低于零下100℃.若零上150℃ C.2.5×10 D.25×103 记作+150℃，则零下100℃记作 B) 务情境提思耀 A.+100℃ B.-100℃ 综合换升灵语远用知识 C.+50℃ D.-50℃ 7.[2024烟台]实数a,b,c在数轴上的位置如图所 示，下列结论正确的是 (B) 2.[2024凛山州]下列各数中：5，-号，-3,0，-25.8， +2,负数有 (C) 第7题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.bc>3 B.a-c<0 3.[2024遂宁]下列各数中，无理数是 (C) C.lal>lcl D.-2a<-2b A.-2 B含 C.2 D.0 8.[2024广元]2023年10月诺贝尔物理学奖授予 三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中 4.[2024兰州]2024的绝对值是 (B) 的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法” A.-2024B.2024 1 C.2024 D. 1 2024 什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分 5.[2024陕西]一3的倒数是 (A) 之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个 阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数 A.一3 B.3 C.-3 D.3 法可表示为4.3×107秒. 第2节数的开方及二次根式 【教材链接】七（下）第六章P40~P52:八（下）第十六章P1~P20. 多一题多练过基础 人教七下P47第2题改编已知代数式：①一√3； (2)若√x+5为二次根式，则x的取值范围为 ②3：③-，④⑤5，⑥+5： x≥-5；若二次根式√x十5的值为0，则 x=-5; ⑦y2+2. (3)设a=√y2+2,则a的取值范围为a≥2； (1)以上代数式是二次根式的有①③④⑦； (4)在数轴上，与√3相邻的两个整数是1和2。 √一3不是二次根式的原因是被开方数小于零； ◆教材知识构体系 二次根式：形如Wa(a①≥0)的式子 相关概念 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0 二次根式的 最简二次根式：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式 相关概念及 (1)(√a)2=②a(a0) 性质 性质 (2)a-la= ③a(a≥0)，此时√a=(Wa)2 a(a<0) 加、减法：首先将二次根式化为④最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式进行合并 数的开 二次根式的运算乘法a·6=⑤ab(a≥0，b≥0) 及二次根 除法：日=⑥ (a≥≥0，b>0) (1)先对二次根式平方，如(11)2=11 二次根式的估值 (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如9和16 以√1I为例) (3)对以上两个整数开方，如√9=3，√/16=4 (4)确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的值之间，如3<√11<4 概念：零和所有的正数统称为非负数，常见的非负数形式有|a|,√a(a>0),a 非负数及其性质 (1)所有非负数均大于或等于零 性质 (2)若几个非负数的和为⑦零，则这几个非负数均为零 3 子情境试题分阶练 令情境夯基础 打牢根基学握枝位知识 解：原式=33×2×22-6v2 3 1.[2024内江]16的平方根是 (D) A.2 B.-4 C.4 D.±4 =12√2-62 2.[2024常州]若式子√x一2有意义，则实数x的值 =6√2. 可能是 (D) 情境提思维 综合提升灵活运用知识 A.-1 B.0 C.1 D.2 16.[2024广东]完全相同的4个正方形面积之和是 3.[2024湖南]计算√2×√7的结果是 (D) 100,则正方形的边长是 (B) A.2√7 B.7√2 C.14 D.14 A.2 B.5 C.10 D.20 4.[2024重庆B卷]估计√12(W2+√3)的值应在(C) 17.[2024呼伦贝尔]实数a,b在数轴上的对应位置 A.8和9之间 B.9和10之间 如图所示，则√(a-b)2-(b一a一2)的化简结 C.10和11之间 D.11和12之间 果是 (A) 5.[2024青海]一8的立方根是一2 6 32-1012 6.[2024烟合]若代数式与 一在实数范围内有意 第17题图 A.2 B.2a-2 C.2-2bD.-2 义，则x的取值范围为x>1 18.[2024盐城]矩形相邻两边长分别为√2cm、 7.[2024威海]计算：√12-√8×√6=一23■， √5cm,设其面积为Scm2,则S在哪两个连续 8.[2024德阳]化简：√(-3)2=3 整数之间 (C) 9.[2024长春]计算：√12-√3=√3 A.1和2B.2和3 C.3和4D.4和5 10.[2024天津]计算（√1I+1)(1I一1）的结果为 19.结论开数[2024广西]写出一个比W/3大的整数，可 10 以是2 11.[2024成都]若m,n为实数，且(m+4)2十 20.[2024河北]已知a,b,n均为正整数. √n一5=0，则(m十n)2的值为1 (1)若n<√10<n+1,则n=3; 12.[2024甘肃]计算：V18-12×√昌 (2)若n一1<√a<n,n<6<n十1，则满足条件 解：原式=3√2一32 的a的个数总比b的个数少2个 =0. 21.若二次根式√2x一10在实数范围内有意义，则 13.[2024河南]计算：√2×√50-(1一√3). x的取值范围是x≥5· 解：原式=√100一1 22.从一√2,3，√6中任意选择两个数，分别填在算 =10-1 式（口十○）2÷√2里面的“☐”与“○”中，计算该 =9. 算式的结果是5-2（写出一种结果。 14.[2023兰州]计算：√6×√3-√8. 23.[2023呼伦贝尔]实数m在数轴上对应点的位置 解：原式=3√2-2√2 =√2. 如图所示，化简：V(m-2)=2一m 加 1成.[2023金昌]计算：V27÷9×2,反-6v2. 012 第23題图 第3节 实数的大小比较及运算 【教材链接】七（下）第六章P53~P62. 一题多练过基础 1.人教七上P9第1题改编如图，数轴上A,B,C三2.计算： 点表示的数为a,b,c,请用“>”“<”或“=” a3)'=32=4: 填空： (3)9-64=-4;(4)(3.14-x)°=1 0 1 (5)川2-2√21=22-2； 第1题图 (1)a,b,c,的大小关系为a<c<b(用“<”连 (6)4×(-)=-6； 接)； (7)sin30°= ;(8)sin45°= 2 (2)a<b,-a>-b,lal<6l. (9)tan60°=3. 子教材知识构体系 (1)数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数①大于左边的点表示的数 (2)类别比较法：正数大于0，负数小于0；两个负数比较大小，绝对值大的数较小 实数的大小比较(3)作差比较法：设a,b为任意实数，若a一b>0,则a>b;若a一b=0,则a=b;若 a一b<0,则a<b 实数的 (4)平方比较法：a>√b→a2②>b(b>0) 四则运算：加、减、乘、除 乘方：a”表示n个相同的因数a相乘，即a”=a·a·a·…·a 比较及运算 n个a ③a-b(a>b) 去绝对值符号：a一b= 0(a=b) 实数的运算 常考运算类型 ④b-a(a<b) 零次幂：a°=⑤1(a≠0) ⑥-1(n为奇数) -1的奇、偶次幂：（一1）"= 1(n为偶数) 负整数指数幂：a-(a0,n为正整数) (1)先乘方，再乘除，后加减，有括号时先计算括号里面的 实数混合运算的步骤 (2)同级运算按照从左到右的顺序进行 5 子情境试题分阶练 华情境夯基确 打牢根基掌堤核心知识 8[2024广本]计算：2×-+-3。 1.[2024自贡]在0，一2，一√3，π四个数中，最大的 数是 (C) 解：原式=1×号+2青 A.-2 B.0 C.π D.-√3 -3+2- 2.[2024深圳]如图，实数a,b,c,d在数轴上表示如 =2. 下，则最小的实数为 (A) 9.[2024通辽]计算：w3-2|+2sin60°-(-π)°. g。一 解：原式=2一3+2×5-1 第2题图 A.a B.b C.e D.d =2-√3+3-1 3.数学文化[2024安徽]我国古代数学家张衡将圆周 =1. 率取值为√10，祖冲之给出圆周率的一种分数形 10.[2024湖南]计算：-31+(-号)°+c0s60°-4 式的近似值为号比较大小：0>号（填 解：原式=3十1+}-2 “>”或“<”) 4.[2024福建]计算：（一1）°+|-5一√4. 解：原式=1+5-2 1.[2024广安]计算：(5-3)°+2sn60+W3-21- =6-2 =4 5.[2024连云港]计算：|一2|十（π-1）°-√16. 解：原式=计2×号2-月-2 解：原式=2+1一4 =1+5+2-3-2 =3-4 =1. =-1. 6.[2024大庆]求值：|3-2|-(2024+π)°+ 12.[2024陕西]计算：8X(-0+(-》°+1-3. tan60°. 解：原式=-32+1十√3 解：原式=2-√3-1+√3 =-31+3. =1. 13.[2024渐江]计算：()-8+1-51. 解：原式=4-2+5 7.[2024自贡]计算：(tan45°-2)°+|2-3一√9. =7. 解：原式=1十1一3 =-1 6 第4节 整式及因式分解 【教材链接】七（上）第二章P53~P76;八（上）第十四章P94~P125. 一题多练过基础 北师八下P1O0改编如图所示的图形均由边长为a,则V1,V2的大小关系为V,V2(用“<”连接)； b的正方形以及长为a、宽为b的矩形组合而成。 (3)将边长为a的正方形以其中一边为半径剪下 一个圆心角为90°的扇形，则该扇形所对的弧长 为 ;若将该扇形围成一个圆锥的侧面，则该 图① 图 图3 图④ 圆锥的侧面积为 4； (1)如图①，图形的周长为2a+4b;如图②，图 (4)如图④，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b 形的周长为4a十4b,面积为a2+2ab+; 的正方形A,则剩余部分图形的面积为2一仔； (2)图③是长为a十b、宽为a的矩形，将其 (5)如图④，在(4)的基础上，通过将剩余图形中的 中一组对边相接，可以设计为圆柱的侧面，则该圆 区域①移转至区域②的位置，可得到将一个整式 柱的底面圆半径为只或“十b 2或2元 ;设两条长边相接和进行因式分解的结果，则这个因式分解的过程为 两条短边相接得到的圆柱体的体积分别为V,V2, (a十b)(a-b)=a-(用含a,b的等式表示). 多教材知识构体系 列代数式 代数式及其求值 直接代入法 代数式求值 整体代入法 整式：单项式、多项式 整式的运算：加减运算、幂的运算、乘法运算、除法运算 整式及因式分解 提公因式法：如ma十mb十mc=①m(a+b+c） 基本方法 a2-be 因式分解 整式乘法 ②(a+b)(a-b) 公式法 a2±2ab+ 因式分解 ③（(a±b) 因式分解 整式乘法 两项且 观察 是 提取 观察 相 平方差 般步骤 公因式 刺余预 公式 检查是否 否 观察 三项 究全平方 分解彻底 多项式 公式 子情境试题分阶练 令情境夯基陆 打牢根基学握被位知识 解：原式=2m-m2+2m十m2-9 1.[2024广安]下列对代数式一3x的意义表述正确 =4m一9. 的是 (C) 当m=3时，原式=4×号-9=1 A.一3与x的和 B.一3与x的差 13.[2024甘肃]先化简，再求值：[(2a+b)2-(2a+ C.一3与x的积 D.-3与x的商 b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 2.[2024广西]如果a+b=3,ab=1,那么a3b十 解：原式=[4a2+4ab十b-(4a2-b)门÷2b 2a2b2+ab3的值为 (D) =(4a2+4ab+b-4a2+b)÷2b A.0 B.1 C.4 D.9 =(4ab+2b)÷26 3.[2024烟台]下列计算结果为a的是 (D) =2a+b. Aa2·a3 B.al2÷a2 当4=2，b=-1时，原式=2×2+（-1)=3. C.a+a D.(a2) 学情境提思维 综合提升灵活运用知识 4.[2024浙江]下列式子运算正确的是 (D) A.+x2=x B.x3·x2-x9 14.数学文化[2024扬州门数学家斐波那契在《计算之 C.(x3)2=x D.x5÷x2=x 书》中记载了一列数：1,1,2,3,5…这一列数 5.[2024云南]分解因式：a3-9a= 满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的 A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9) 前两个数之和，则在这一列数的前2024个数 C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) 中，奇数的个数为 (D) 6.[2024绥化]下列计算中，结果正确的是(A A.676 B.674 C.1348 D.1350 15.$学科·化学[2024重庆A卷]烷烃是一类由碳、氢 A（-3)=号 B.(a十b)2=a2+b 元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前 C.√9=士3 D.(-x2y)3=x5y 四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表 7.[2024苏州]若a=b+2,则(b-a)2=4 碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个 8.[2024凉山州]已知a2-b=12,且a-b=-2,则 氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图 a+b=-6 ③有8个氢原子…按照这一规律，第10种化合 9.[2024达州门分解因式：3x2-18x+27=3(x一32 物的分子结构模型中氢原子的个数是 (B) 10.[2024临夏州]因式分解：x-青 (x+2 e-) 11.[2024常州]先化简，再求值：(x+1)2一x(x+1), 第15题图 其中x=√3-1. A.20 B.22 C.24 D.26 16.斯定义[2024内江]一个四位数，如果它的千位与 解：原式=x2+2x十1一x2一x =x十1. 十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字 之和也为9，则称该数为“极数”.若偶数m为 当x=√3-1时，原式=3-1+1=3 12.[2024长沙]先化简，再求值：2m-m(m-2)十 “极数”，且贺是完全平方数，则m一118器或 (m十3)(m-3),其中m=号 4752· 第5节分式 【教材链接】八（上）第十五章P126~P148. 一题多练过基础 下P9改已知代数式：①名会，②生乡 2 《⑤)先化简，再求值：（产+1）÷二g其 @-06g回兰g 中x=5. (1)上述算式中，是分式的有①③④⑤（填序号）； 解：原式=-9十x一6x+9.x+3e-3】 (x-3) 2T (②将6昌化为最简分式为 x十3 x-3 _2x(x-3).x+3 x-3 2x (③)要使有意义，则x的取值范围为4： =x+3. 当x=5时，原式=8. (40若2g=0,则x=0 多教材知识构体系 分式：形如哈(A,B都是整式，且B中含有①字母，B≠0)的式子 有关概念 分式增有意义的条件：②B≠0 分式号的值为零的条件：③A=0且B≠0 最简分式：分子与分母没有④公因式的分式 基本性质：会-合：0用于通分)-合C(用于约分)(C≠0，其中A,B.C都是整式) 符号变化法则：在分式中，分式本身、分子、分母的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 分式 通分关键，确定 (1)取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 (2)取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母 最简公分母 (3)如果分母是多项式，那么应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母 约分关健确定公因式 (1)取分子、分母系数的最大公因数作为公因式的系数 (2)取分子、分母中的相同因式的最低次幂的积作为公因式 同分母分式的加减：二土么=⑤ a士b 加减运算 异分母分式的加减：号士旨器±烧-回 ad±bc bd 运算法则 乘法：号·⑦ ac 乘除运算 子情境试题分阶练 季情境夯基础 打牢根基掌圾核心知识 解：原式= 2(a+1) a+ia-可]： a L(a+1(a-可- 1.[2024甘肃]计算：2a-b2a-6 4a 2b (A) a+1 a+2 A.2 B.2a-b 2 C.2a-b ·品名 a+2 ,a+1 (a+1)la-1万a+2 2.[2024河北]已知A为整式，若计算A xy+y2 a-1 义的结果为二义，则A= x2十xy (A) TV 10.[202泸州]化简：（任+x一2列）小：2 A.x B.y C.x+y D.x-y 3[2024镇江]要使分式，2有意义，则x的取值 解：原式=x二y ·(x+y)(x-y 范围是x≠2 x+y 4.[2024济南]若分式2云的值为0，则实数z的值 1.[2024*州]先化简，再求值：（中+1）÷ 为1 子其中x=-8 磨态开[2024吉林]当分式的值为正数时， 解：原式=工十1十x-2.x+2x-2) x-2 x(2x-1) 写出一个满足条件的x的值为0· 6.[2024缨化]化简：义÷（x-2zy二Y -2x-1.(x+2(x-2】 x-2 x(2x-1) =x+2 x-y 7[2024续江]化简，告2÷1+》】 当x=-3时，原式=3十2=1 -331 解：原式=a+2:a十2 12.[2024盐城]先化简，再求值：1-a-3÷a2-9 a a2ta' a 其中a=4. -a+2,a a2a+2 解：原式=1-a一3， a(a+1) 1 a(a+3)(a-3】 =1-4十1 a+3 8[202泰安]化简：2）÷号 -a十3_a十1 解：原式一中·子 a+3a+3 2 =z-12 a+3 (x+1)(x-1 22 当a=4时，原式=4千3一7 x+ 1[224广安]先化简(a+1-。马)÷a+4, a-1 9[2024陕百化简：（名a马）号 再从一2,0,1,2中选取一个适合的数代入 10