专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 1、 基础题型 1、 集合的运算 2、 全称量词命题与存在量词命题的否定 3、 基本不等式的性质 4、 充分条件与必要条件 5、 均值不等式 2、 重难点题型 1、 根据集合的关系求参数的取值范围 2、 集合新定义问题 集合的运算 1．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意， ，， ， 故中元素的个数为3， 故选：C. 2．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合,， 所以， 故选：B. 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 4．（23-24高一上·北京通州·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为全集，， 所以. 故选： C 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 6．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合包含所有小于2的实数，包含1和2两个元素，所以， 故选：B. 7．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 故选：C． 8．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 9．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 10．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：D. 全程量词命题和存在量词命题的否定 1．（23-24高一上·北京顺义·期末）命题“，使得”的否定为（   ） A．， B．，都有 C．， D．，都有 【答案】D 【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得 命题“，使得”的否定为，都有. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：命题“”的否定是“”. 故选：C. 3．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，都有”的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】A 【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确. 故选：A. 4．（2020·北京朝阳·一模）已知命题：，，那么命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】原命题是全称命题， 命题的否定是“，”. 故选：A. 基本不等式的性质 1．（23-24高一上·北京东城·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A,若取， 则，即，故A错误； 对于B，令，则有，故B错误； 对于C，令，则有，故C错误； 对于D，根据不等式性质可知D正确， 故选:D. 2．（23-24高一上·北京通州·期末）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为且， 对于A选项：当时不成立； 对于B选项：单调递减，所以不成立； 对于C选项：在单调递增，成立； 对于D选项：举反例，不成立． 故选：C． 3．（16-17高一上·山西运城·期中）若，，则一定有（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有， 故选：A. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误； 对于B中，当时，，所以B不正确； 对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确. 故选：C. 充分条件与必要条件 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，得， 由，得， 又， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 3．（2022·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】角与的终边关于直线对称,则, ,则， “角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件. 故选:A 4．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】函数的对称轴为， 当函数在区间上单调递增时，有， 因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 5．（15-16高一上·北京东城·期末）设R，则“＞1”是“＞1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 6．（23-24高一上·北京密云·期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误； 由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则， 所以是的充要条件，B选项错误； 当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误； 若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 7．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C. 8．（20-21高一上·北京东城·期末）“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，一定有，即必要性满足； 当时，其正切值不存在，所以不满足充分性； 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 故选：B. 均值不等式 1．（18-19高一·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】解：原不等式等价于不等式组 解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为: . 2．（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】根据不等式整理可得， 即，等价于， 解得； 所以不等式的解集为 故答案为： 3．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）已知，若，则 ． 【答案】 【详解】由，可得：，， 所以，则， 故答案为： 4．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知，则当 时，取得最小值为 . 【答案】 【详解】因为，，所以 ，当且仅当，即时取等， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：；. 5．（17-18高一上·河南·阶段练习）设，则的最小值为 . 【答案】5 【详解】 ，当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则当 时，函数取到最大值且最大值为 . 【答案】 / 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时等号成立. 故答案为：； 根据集合的关系求参数的取值范围 1．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)当时，求； (3)若，都有，直接写出一个满足条件的m值． 【详解】（1）因为，， 所以或. （2）当时，， 则. （3）， 若，都有，则, 所以，则， 故的值可以为3（答案不唯一）. 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知不等式的解集为A，非空集合. (1)求集合A； (2)当时，求； (3)若，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由； （2）当时，， 所以； （3）因为，， 所以有， 因此实数m的取值范围为. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题知，， ， 因为，所以， 所以. （2）因为， 且，， 所以. 5．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，，或， ； （2），当时，，解得， 当时，，解得， 故实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·北京平谷·期末）设集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，得到，即， 由，得到，即， 所以. （2）由（1）知，由，得到， 又，由图知，.    7．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合． (1)求; (2)记关于x的不等式的解集为，若，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为，解得，所以， 又因为，解得或，所以或， 所以或； 又因为， 所以. （2）因为， 所以， 若，则，解得， 所以的取值范围是. 8．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 集合新定义问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 2．（2021高一·北京·专题练习）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 3．（23-24高一上·北京通州·期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 4．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 5．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 1、 基础题型 1、 集合的运算 2、 全称量词命题与存在量词命题的否定 3、 基本不等式的性质 4、 充分条件与必要条件 5、 均值不等式 2、 重难点题型 1、 根据集合的关系求参数的取值范围 2、 集合新定义问题 集合的运算 1．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京通州·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 全程量词命题和存在量词命题的否定 1．（23-24高一上·北京顺义·期末）命题“，使得”的否定为（   ） A．， B．，都有 C．， D．，都有 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，都有”的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 4．（2020·北京朝阳·一模）已知命题：，，那么命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 基本不等式的性质 1．（23-24高一上·北京东城·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·北京通州·期末）若且，则（    ） A． B． C． D． 3．（16-17高一上·山西运城·期中）若，，则一定有（    ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 充分条件与必要条件 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2022·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（15-16高一上·北京东城·期末）设R，则“＞1”是“＞1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·北京密云·期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（20-21高一上·北京东城·期末）“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 均值不等式 1．（18-19高一·全国·课后作业）不等式的解集为 . 2．（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）不等式的解集为 . 3．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）已知，若，则 ． 4．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知，则当 时，取得最小值为 . 5．（17-18高一上·河南·阶段练习）设，则的最小值为 . 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则当 时，函数取到最大值且最大值为 . 根据集合的关系求参数的取值范围 1．（23-24高一上·北京·期末）已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)当时，求； (3)若，都有，直接写出一个满足条件的m值． 3．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知不等式的解集为A，非空集合. (1)求集合A； (2)当时，求； (3)若，求实数m的取值范围. 4．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·北京平谷·期末）设集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知集合． (1)求; (2)记关于x的不等式的解集为，若，求实数m的取值范围． 8．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 集合新定义问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 2．（2021高一·北京·专题练习）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 3．（23-24高一上·北京通州·期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 4．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 5．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 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