2.第二章 方程（组）与不等式（组）（(教师用书)-【加速度中考】2025年陕西中考备考加速度数学课堂讲练本

台 本章知识结构导图 方程（组）与不等式（组） 一次方程（组）及其应用 一次不等式（组）及其应用 分式方程及其应用 一元二次方程及其应用 二元 代入 概 实际 解法 实际 不 不等式（组） 实际应用 等的条本 式三基性 方程的定义 一次 消元法 念 法 应用 念 根 应用 等 的解法 方程 方程 解法 去 荆别式 组 加减 分 的 质 消元法 母 与系数的关系 性质 解 注意： 分清楚取最 整式方程 直接开平方 值是取解集的最值 公式法 因式分解 配方法 根的情况 不等式（组 集的表示 还是取解集中整数 的晟值（根据实际 解法 方程（组）的实际应用 检验：代入公分 问题理解特征值的 母，判断所求根 法 法 用法) ①去分母： 是否为增根 ②去括号： 步： 常见类型： ③移项： 审； 常见类型： ①增长单问题： 含等号用实心圆点， ④合并同类项； ①行程问题： 步骤： 2每每谟型（销售问题）： 不含等号用空心國图 ⑤系数化为1 ②销售、利润问题； 审；设；列： 3握手膜型： 3工效问题： 解： 验（双检 ④面积问题 答 ④水中航行问题 验)：答 第4节 一次方程（组）及其应用 [5~8分] 【教材链接】北师：七（上）第五章P129~P153,八（上）第五章P103~P134: 人教：七（上）第三章P77~P112,七（下）第八章P87~P112. 今一题多练过基础 北师七上P133改编观察下列等式并填空. (4)下面是小芳解关于x,y的二元一次方程组 ①2x-3y-5:@1-青-2：③32-y+3: 2.x-3y=5, 的过程 x+3y=1 ④.x+3y=1:⑤x十a=-1:⑥3(x-1)=2x 2x-3y=5,① (1)以上方程是一元一次方程的是②③⑥（填 解： x+3y=1.② 序号)： ①十②得2.x+x=5十1， (2)方程1一号=2的解是x=—3,方程。 2 解得x=2 y十3的解是y=一1； 将x=2代入①，解得y=★， (3)若方程x十a=一1与方程1-=2的解相同， 则小芳在解方程的过程中所用的方法为加减 消元法，★代表的数为 则a=2； 令教材知识构体系 性质1：如果a=b,那么a士c=①b士c 等式的性质 性质2：如果a=b,那么ac=② 性质3：如果a=b,那么8-③ (c≠0) 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①1的整式方程 般形式：a.x十b=0(a,b是常数，且a≠0) 一元一次 (1)去分母：方程两边同乘各分母的⑤最小公倍数，注意不要漏乘不含分母 一次方 方程及其 的项 程（组）】 解法 解 (2)⑥去括号：注意括号前系数的符号 及其 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注 步 应用 意移项时一定要改变符号 (6年4次) (4)合并同类项：把方程化成a.x=一b(a≠0)的形式 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数4，得到方程的解为x=⑦一么 代人消元法：适用于方程组中某一个未知数的系数是1或一1，或者一 个方程的常数项为0 二元一次方程组的解法 加减消元法：适用于方程组中相同未知数的系数相同或互为相反数或 成整数倍 三元一 概念：一个方程组含有⑧三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是⑨1，并 次方程 且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组 次 组及其 解三元一次方程组的基本思路：三元一次方程组代成二元一次方程组代人政 消元 消元 程 解法 一元一次方程 利润问题：利润=售价一①进价：利润率=① 利润 进价 ×100% )及其 一次方程（组） 工程（工效）问题：工作量一工作效率×工作时间 实际应用的常 用 路程一速度X时间 见问题及关系式 行程问题 水中航行问题：顺水速度=静水速度②十水速： 逆水速度=静水速度⑧ 一水速 之真题模拟明考向 命题点刀一次方程 命题点2一次方程（组）的实际应用 1.数学文化[2021陕西，11幻方，最早源于我国，古 4.[2024陕西，20]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进 人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各 行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任 列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则中 务量，若小峰单独完成，需4h:若爸爸单独完 图中a的值为 成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间 后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩 余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h, 求这次小峰打扫了多长时间. 第1题阁 解：设小峰单独打扫了xh,则爸爸单独打扫了 (3-r)h. 2.[人教七上P89改编]解方程：2x一3 由题意得十 3子L解得x=2 解：去分母，得4x一6=31+2 移项，得4x一3.x=2+6, 答：这次小峰单独打扫了2h 合并同类项，得x=8. 3x-2y=9,① 5.数学文化[2024西安曲江一中一模]《算学启蒙》中 3.[北师八上P109改编]解方程组： 2x+y-2.@ 5 有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马 日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几 解：①十②×2，得7x=14,解得x=2. 何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里， 将x=2代入①，解得y=一 3 跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马 几天可以追上慢马？ 1x=2, 方程组的解为 解：设快马x天可以追上慢马， 3 由题意，得240x-150x=150×12,解得x=20. 答：快马20天可以追上慢马， 12 6.[2023陕西，20]小红在一家文具店买了一种大笔记 地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的 本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她 销售单价。 买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙 多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价. 地该商品的销售单价为y元， 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元， y-x=10, 根据题意，得 则这种小笔记的单价是(x一3)元 (y-5)-(1+10%)x=1, 根据题意，得4x十6(x一3)=62， x=40, 解得 解得x=8. y=50. 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙 6一1.变条件一改变单价数量关系小红在一家文 地该商品的销售单价为50元 具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6 个，共用了72元.已知她买的这种大笔记本的 9.传统文化[2024西工大附中四模]对联是中华传统 单价是这种小笔记本的单价的2倍少3元，求该 文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上，下空白 文具店中这种大笔记本的单价 处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为 解：设该文具店中这种小笔记本的单价为x元， 边.一般情况下，天头长与地头长的比是7：5， 则大笔记本的单价为(2x一3)元 左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 根据题意，得6x十4(2x一3)=72， 2某人要装裱一副对联，对联的长为120cm, 解得x=6,.2x-3=9 宽为33cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的 答：该文具店中这种大笔记本的单价为9元， 4倍，求边的宽和天头长。 装锁后的宽 天头 7.[2021陕西，19]一家商店在销售某种服装（每件 天头长 的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销 售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降 低30元销售11件的销售额相等，求这种服装每 清泉石 后 月松 边 件的标价 流 间 照 解：设这种服装每件的标价是x元 根据题意，得10×0.8.x=11(x-30), 33 cm 边的宽地头 解得x=110. 第9题图 答：这种服装每件的标价为1山0元 解：设天头长为7.xcm,则地头长为5xcm,边的 宽为.xcm 8.[2024西安铁一中滨河校区三模]根据经营情况， 根据题意，得4×(33十2x)=(7x十5.x)+120, 公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了 解得x=3,.7x=21(cm). 如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知 答：边的宽为3cm,天头长为21cm 销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲 13 第5节 一元二次方程及其应用 【教材链接】北师：九（上）第二章P30~P58: 人教：九（上）第二十一章P1~P2. 季一题多练过基础 华师九上P46改编已知关于x的方程(m一1).x2一 解得x=7,=一1. 2(m十1).x十m-9=0. ③因式分解法 (1)若该方程为一元二次方程，则m的取值范围 解：当m=2时，原方程可化为x2一6x一7=0， 为m≠1： 因式分解，得(x一7)(x十1)=0， (2)当m=2时，请分别用下列方法解方程. ∴.x-7=0或x十1=0， ①公式法 解得=7,1=一1. 解：当m=2时，原方程可化为一6x一7=0， 3)若x=号是该一元二次方程的一个根，则m的 6-4ac=(-6)2-4×1×(-7)=640, “方程有两个不相等的实数根 值为9，方程的另一个根是x=0: (4)当m=一1时，该一元二次方程根的个数为0； =6+,6-=7,=66 2 2 (5)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ②配方法 m的取值范围是>二且m≠1：若该一元二 解：当m=2时，原方程可化为x一6.x一7=0， 移项，得x-6r=7, 次方程有两个相等的实数根，则m的值为 配方，得x2-6.x十9=7+9 若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围 整理，得(x一3)=16， 是。 开方，得x一3=士4 字教材知识构体系 概念：只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的整式方程 一般形式：a.x十b.x+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 直接开平方法 因式分解法 元解法 次 公式法：求根公式为工=b生后a匹(B一4如c≥0) 2a 配方法 及其应 ③△0台方程有两个不相等的实数根 根的判别式（△=b一4ac)④△=0台方程有两个相等的实数根 ⑤△0台方程无实数根 根与系数的关系：若一元二次方程ar+br十c=0(a≠0)的两个根为m,2,则m十=⑥一么 Tx2=⑦ 平均增长率问题：增长率= 增长量×100% 基础量 利润问题：利润=售价一进价：利润率= 利润×100% 进 元 实际应用中 单循环问题：游戏次数=⑧ 循环问题（设参加游戏的人数为x) 2x(r-1) 次 的常见问题 双循环问题：游戏次数=⑨x(x一1】 及关系式 程 如图①，阴影区域的宽为x,则S白=⑩(a一2x6一2x) 如图②，阴影区域的宽为x,则S空白一①(a一x(b一x】 如图③，阴影区域的宽为x,则S白=②(ax)(bx 用 图形面积问题 图① 图② 图 一真题摸拟明考向 命题点刀一元二次方程的解法 的总面积为870m,则通道宽为1m. 1.[2024陕师大附中开学考]用配方法解方程x 8.x十1=0，变形后的结果正确的是 (D) A.(x-4)2=5 B.(.x-4)2=16 C.(x-4)1=7 D.(x-4)=15 2.[北师九上P30改编]解方程：(x+3)2+12=13 第4题图 解：移项、合并同类项，得(x+3)=25, 5.[2024陕师大附中开学考某品牌纪念品每套成本 x+3=士5， 为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量 ∴.1=-8，x=2. 为500套.经试销统计发现，如果该品牌纪念品 3.[北师九上P31改编]解方程：(2x一8)(2x5)=18. 售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减 解：去括号，得4x2-26x40—18, 少10套.为了维护消费者利益，物价部门规定： 移项、合并同类项，得42一26x十22=0， 该品牌纪念品售价不能超过进价的200%.设这 .2x2-13x+11=0. 种纪念品每套上涨x元，要使这种纪念品的销 ,a=2,b=-13,c=11, 售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品定 .△=-4ac=81>0, 价多少元？ .方程有两个不相等的实数根， 解：设这种纪念品每套上涨x元，则每套纪念品 184y,即-号= 定价为(40十x)元，平均每天的销售量为(500 10x)套 命题点2☒一元二次方程的实际应用 由题意得(40十x-30)(500-10.x)=8000, 4.[2024咸阳渭城区一模]一农户承包了一块矩形 解得x1=10,x=0(不符合题意，舍去)， 荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所 ∴.40+x=50. 示.已知矩形荒地的边AD=60m,AB=17m, 答：每套纪念品应定价50元 阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚 15 第6节 分式方程及其应用 [5分] 【教材链接】北师：八（下）第五章P125~P133: 人教：八（上）第十五章P149~P159. 冬一题多练过基础 北师八下P131改编观察下列式子： B.去分母，得2(x一1)+3(x+1)=6 1 032-3 C.解整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=1 ④求方程，3的解。 (1)上述式子中，是分式方程的是①④，其 解：去分母，得3x=x一3， 中原分式方程有增根的是①（填序号） 移项，得3一x=-3, (2)解方程3一2=3之·去分母时，方程两边要同 合并同类项，得2.x=一3 乘x一3，变形后的方程是1一2(。3)=一1■： 3 系数化为1，得2 3)解分式方程+，分以下四步。 6 检验：当r= 号时，r一30， 其中错误的一步是 (D A.最简公分母是(.x十1)(x一1) 3是原分式方程的解. 李教材知识构体系 概念：①分母中含有未知数的方程 解整式 解法步骤：分式 去分母 整式方程 检验 最简公分母为0一xa是方程的③增根 xd- 方程乘2最简公分母方程 xa是方程的解 最简公分母不为0 分式方 增根：去分母后的整式方程的根，也是使得原分式方程分母为0的根 程及其 【抢分要点】分式方程无解有两种情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)去分母后的整式方程 有解，但解是增根，故分式方程无解 应用 (6年3次) 购买（销售）问题：数量= 总价 单价 常见类型行程问题：时间= 路程 速度 分式方程的 工程问题：工作时间= 实际应用 赣晕·有时可将工作总量记为单位 解题步骤：实际问题 找等量关系列分式方程一解方程一→双检验一容 设未知数 16 真题模拟明考向 命题点)分式方程的解法 命题点2分式方程的实际应用 1.[2024西安曲江一中期未]若关于x的分式方程 6.[2024西安高新一中期末]某校组织540名学生去 kx 1=2无解，则k的值为 外地参观，现有A,B两种不同型号的客车可供 x-11-x (C) 选择.每辆B型客车比每辆A型客车多坐15 A.k=-1 B.k=1或2 人，在每辆车刚好满座的前提下，单独选择B型 C.k=-1或2 D.k=2 客车比单独选择A型客车少租6辆.设A型客 2.[2024陕师大附中月考]已知关于x的分式方程 车每辆坐x人，根据题意可列方程 (B) 兴十。1的解是非负数。则m的取值范 A.540-540=6 B.540540 x-15 围是 +15=6 (D) 540-6 B.m≥>4 C.540 x十15 D.540_540 =6 A.m>4 x x-15 C.m>4且m≠5 D.m≥4且m≠5 7.[2024西安爱知中学期未某校八年级同学为迎接 3.[2024陕西，16]解方程：x-1x—1 2 =1 十四岁“青春仪式”，计划由4个小组的志愿者 制作720面彩旗，后因1个小组另有任务，其余 解：去分母，得2十x(x十1）=x一1 3个小组的每名志愿者要比原计划多做5面彩 去括号，得2十x2十x=x一1 旗才能完成任务.如果这4个小组的人数相等， 移项、合并同类项，得x=一3 那么每个小组有志愿者多少名？ 检验：当x=一3时，x一1≠0 解：设每个小组有志愿者名 .原分式方程的解为x=一3 4.[2024西安逸翠园中学模拟]解方程： 由题意得22-5，解得x=12 2-2 检验：当x三12时，公分母12x≠0， x=-1. 2- ,x=12是分式方程的根 解：去分母，得4一x一一2十2x 答：每个小组有志愿者2名， 移项、合并同类项，得2x=4 8.[2024交大航天中学月考]某商场准备购进甲、乙 系数化为1，得x=2 两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每 检验：当x=2时，x2一2x=0, 个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品 原分式方程无解 的数量与用100元购进乙商品的数量相同.求 5.[2021西工大附中月考]解方程：中一42 甲、乙两种商品单个的进价分别是多少元？ 解：设每个甲种商品的进价是x元，则每个乙种 解：去分母，得x一2=4(x+1) 商品的进价是(x十2)元 去括号，得x一2=4x十4， 移项、合并同类项，得一3x=6, 由题意得2解得=8， 系数化为1，得x=一2 经检验，x=8是原方程的解，且符合题意， 检验：当x=一2时，(x十1)(x-2)≠0， .x十2=10. ,原分式方程的解为x=一2. 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品 的进价是10元 17 第7节一次不等式（组）及其应用 [3~5分] 【教材链接】北师：八（下）第二章P36~P63: 人教：七（下）第九章P113~P133. 李一题多练过基础 北师八下P62改编已知关于x的不等式3x一a≥x 的值： (a为常数). (1)当a一一1时，下列描述符合上述不等式的 解：解不等式3一a>,得>0 是B(填序号)： ≥-1，心2=-1=-2 A.x的3倍与1的差大于x B.x的3倍与1的和不小于x (4)若不等式3x一a≥x与不等式号十2≥x组成的 C.x的3倍与1的差不小于x 不等式组恰好有两个整数解，求α的取值范围， D.x的3倍与1的差不大于x (2)若a=2,求不等式3x一a≥x的解集，并在数轴 解：解不等式3x一a≥c,得>a, 上表示； 解：：a=2,.原不等式为3x-2 解不等式号十2>，得x≤， 移项、合并同类项，得2.2 “不等式组的解集为。u<≤4 系数化为1，得x≥1， 原不等式的解集在数轴上表示如答图 “不等式组恰好有两个整数解， 不等式组的整数解为4,3， -5-4-3-2-1012345 …21 3, 答图 .4<a≤6 (3)若不等式3x一a≥x的解集为x≥-1，求a 号教材知识构体系 性质1：若a>b,则a士c①>b士c(应用：移项，合并同类项) 不等式性质2：若>h.c>0,则a>x(应用：去分母)，4>（应用：系数化为1） 的性质 性质3：若a>b,c<0,则ac②<bc(应用：去分母)，“③< b(应用：系数化为1) 去分母：去括号：移项：合并同类项：系数化为1（注意不等 般步骤 号的方向是否改变) 一次不等 r<a 式（组）及 其应用 ④r>4 (6年5次) 一元一次不等式的 解集表示 解法及解集表示 ⑤x≤u ⑥x2u 注：在数轴上表示解集时，要注意“<”和“>”在数轴上表示为空心圆 圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 18 ~般步骤：(1)解每个不等式；(2)在数轴上表示各不等式的解集： (3)确定解集的公共部分：(4)写出不等式组的解集 类型 在数轴上的表示 口诀 解集 (a>b) r≥d 同大取大 ⑦≥4 一元一次不等式组的 xb 解法及解集表示 同小取小 ⑧r<b 次不等式（组）及其应 I<h r<d 大小小大 ⑨b<xa x-b 取中间 x≥d 大大小小 ⑩无解 x<b 取不了 常见关键词 符号 解不等式（组）的实际 大于，多于，超过，高于 > 应用题时常见关键词 小于，少于，不足，低于 < 与不等号的关系 至少，不低于，不少于 ≥ 至多，不超过，不高于，不大于 ≤ 李真题模拟明考向 命题点刀解一元一次不等式（组）】 解：解不等式①，得x≥一1， 1.[2024陕西，4]不等式2(x一1)>6的解集是(D) 解不等式②，得>3， 1 A.x≤2 B.x≥2 C.x<4 D.x≥4 2.[202陕百，1解不等式：2>2x 不等式组的解集为>} 命题点2一元一次不等式的应用 解：去分母，得3x-5>4 4.某校为开展“七彩六月，让梦齐飞”系列主题竞 移项，得3.x一4x>5, 赛活动，决定到文体超市购买钢笔和笔记本共 合并同类项，得一x>5, 50件作为奖品，但购买奖品的总费用不能超过 系数化为1，得x<-5. 500元.已知钢笔的标价为15元/支，笔记本的 2-1.度数据—增加分母解不等式：3,5>马 23 标价为10元/本，经协商，超市老板同意钢笔、 解：去分母，得9.x一15>4x, 笔记本均按标价的八折给予优惠，那么学校最 移项，得9.x一4x>15, 多能购买多少支钢笔？ 合并同类项，得5x>15, 解：设学校购买x支钢笔，则购买(50一x)本笔 系数化为1，得x>3. 记本. 3.[2024西安爱知中学二摸]解不等式组： 由题意得15×0.8.x+10×0.8(50-x)500, x十4≤3.x十6，① 解得z25, 1<2x-1.② .x的最大整数值为25， 2 ∴.学校最多能购买25支钢笔。 19