专项7 实际问题与二次函数-北师大版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 实际问题与二次函数 1．30 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，令 210 700 21000 31000t t  ﹣ ，求出 t的值，两个 t 值作差即可得出答案． 【详解】解：依题意，得： 210 700 21000 31000t t  ﹣ ， 解得： 1 20t  ， 2 50t  ， ∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为50 20 30  （秒）． 故答案为：30． 2． 65或 3 【知识点】求自变量的值或函数值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题的关 键，把 21m/sv  ， 18mh  代入 2 1 2 h vt gt  得一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将 21m/sv  ， 18mh  代入 2 1 2 h vt gt  得： 2 118 21 10 2 t t   ， 整理得： 25 21 18 0t t   ， 解得： 1 6 5 t  ， 2 3t  ， ∴当物体处在离抛出点18m高的地方时， t的值为 6 5或 3， 故答案为： 6 5或 3． 3．12.8 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先求出点D的坐标，把点 B的横坐标代入解析式可得 点 B的纵坐标，即点 C的纵坐标，用24.75减去点C的纵坐标即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：在 2 1 24.75 20 y x   中，当� = 0 时， 24.75y  ， ∴  0 24.75D ， ， ∵ 32AB  ， ∴ 16AC BC  ， ∴将 16x  代入 2 1 24.75 20 y x   ， 解得 11.95y  ， ∴  011.95C ， ， ∴ 24.75 11.95 12.8CD    (m)． 故答案为：12.8 4．8 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高 2.5m 时，可设 y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出 2.5a+b+1=0；喷头高 4m时，可设 y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得 9a+3b+4=0，联立可求出 a和 b的值，设喷头高为 h时，水柱落点距 O点 4m，则此时的解析式为 y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出 h． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高 2.5m时，可设 y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出 2.5a+b+1=0①， 喷头高 4m时，可设 y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得 9a+3b+4=0②， 联立可求出 2 3 a   ， 2 3 b  ， 设喷头高为 h时，水柱落点距 O点 4m， ∴此时的解析式为 2 2 2 3 3 y x x h    ， 将（4，0）代入可得 22 24 4 0 3 3 h      ， 解得 h=8． 故答案为：8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用 二次函数的平移性质是解题关键． 5． 20.2 3.5y x   4.5米 3.65米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为 2 3.5y ax  ，再代 入 ( 3,1.7) ，可直接求解析式； （2）令 3.05y  ，代入 20.2 3.5y x   ，即可求出答案； （3）根据题意设篮球弹出后运行路线所在抛物线 2( 0.5)y a x k    ，再代入 ( 3.5,2.3) ， 1.5,3( .05) 即可求出答案． 【详解】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为 2 3.5y ax  ，代入 ( 3,1.7) ， 21.7 ( 3) 3.5a   ， ∴ 0.2a   ， ∴ 20.2 3.5y x   ， 故答案为： 20.2 3.5y x   ； （2）令 3.05y  ，则 23.05 0.2 3.5x   ， ∴ 1.5x   ， 根据图象可得，篮筐在第一象限， ∴ 1.5x  ， 则 1.5 3 4.5L    ， 故答案为：4.5米； （3）∵篮球弹出后运行得水平距离为 2米时到达最高点，且篮筐到 y轴得距离为 1.5米，∴ 篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴时直线 0.5x   ， 故可设该抛物线的解析式为 2( 0.5)y a x k    ， ∵小明到篮筐的水平距离为 5米，篮筐到 y轴的距离为 1.5米， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴小明到 y轴的距离为 3.5米，故抛物线 2( 0.5)y a x k    ，经过点 ( 3.5,2.3) ， 又知抛物线经过点 1.5,3( .05)， 故有 2 2 3.05 (1.5 0.5) 2.3 ( 3.5 0.5) a k a k              ， ∴ 0.15 3.65 a k        ， 即 20.15( 0.5) 3.65y x    ， ∴篮球弹出后最高点的高度为 3.65米． 故答案为：3.65米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是掌握二次函数的定义、性质以及在实际 问题中的应用． 6．600 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质与判定求 面积 【分析】本题考查二次函数的应用、正方形的判定与性质，理解题意，正确列出函数关系式是 解答的关键．根据题意判断出四边形 BGPE、四边形HPFD是正方形，设 mBE x ，根据题意和 正方形的面积公式得到  225 6 600W x   ，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 45ABD CBD ADB CDB     ， 90ABC BCD BAD ADC        ， ∵EF BC∥ ，GH AB∥ ， ∴ 90BEP BGP EBG      ， 90DHP HDF DFP      ， BE BG ，HD DF ，DF AE ， ∴四边形 BGPE、四边形HPFD是正方形， 设 mBE x ，则  10 mDF AE x   ，0 10x  ， ∴ 2 1 2EGP S x△ ，   210HPFGS x 正方形 ， 设种植两种花卉的计划成本 W元，则  221 20 15 10 2 W x x    225 300 1500x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5  225 6 600x   ， ∵ 25 0 ，0 10x  ， ∴ 6x  时，种植两种花卉的计划成本最小，最小值为 600， 故答案为：600． 7．(1)320； (2)40； (3)当 x为 45时，该网络平台当天获得利润W最大，最大利润为3750元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意即可求解； （ 2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意，求出W与 x之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程和函数解析 式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵销售单价每提高1元，每天销售量减少10把， ∴ 当 38x  时，每天可销售电动牙刷：  350 38 35 10 320    把， 故答案为：320； （2）解：由题意可得，    30 350 10 35 3000x x      ， 方程整理得， 2 100 2400 0x x   ， 解得 1 40x  ， 2 60x  ， ∵物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%， ∴  30 1 50% 45x     ， ∴ 2 60x  舍去， ∴ 40x  ， ∴若当天的利润为 3000元，销售单价 x的值为40； （3）解：由题意可得，      2230 350 10 35 10 1000 21000 10 50 4000W x x x x x              ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵ 10 0a    ，对称轴为 50x  ， ∴当 45x  时，W最大， ∴  210 45 50 4000 3750W      最大值 元， ∴当 x为 45时，该网络平台当天获得利润W最大，最大利润为3750元． 8．(1)30 (2)31元或 39元 (3)不正确，票价为 35元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关 键． （1）由图像可知即可得出结论； （2）依题意，得   30 1200 30 36270x x   ，再解方程即可； （3）设门票总收入为W元，则      230 1200 30 30 5 36750W x x x       ，再根据二次函数的性 质求最值即可． 可设票价应定为 x元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程． 【详解】（1）解：1080 1050 30  张， 由图像可知，票价每增加 1元，则门票数量会减少30张， 故答案为：30； （2）   30 1200 30 36270x x   解得 1 1x  ， 2 9x  ， 30 1 31   或30 9 39  ， 答：票价应定为每张 31元或 39元． （3）不正确．由（2）可知，当票价为 31元和 39元时，门票收入一样． 设门票总收入为W元，则      230 1200 30 30 5 36750W x x x       30 0  ， 0 5x   时，W随 x的增大而增大， 5x  ，票价为30 5 35  时，W有最大值 36750． 答：票价为 35元时门票收入最高为 36750元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 9．(1)  21 2 0 84y x x x     (2)小船的最大宽度为 4.8米 (3)0 1m  或6 9 m 【知识点】求不等式组的解集、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、拱桥问 题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）先求出顶点 B的坐标，再根据待定系数法求解即可得解； （2）二次函数的表达式 21 24 y x x   中，令 2.26 0.3 2.56y    得 2 12 6 2.5 4 x x  ，求解该方程即 可得解； （3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为  ,0m ，对称轴平移后的对称轴为 4x m  ，点A 平移后的对应点为  8 ,0m ，从而得 4m x m   或 8x m  上，满足 y随 x的增大而减小，解不 等式组即可得解． 【详解】（1）解：∵ 8OA  ，且点A在 x轴上， ∴  8,0A ， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线 0 8 4 2 x   ， ∴点  4,4B ， 设抛物线的解析式为  24 4y a x   ，把原点  0,0 代入得  20 0 4 4a   ， 解得 1 4 a   ， ∴此二次函数的表达式    2 21 14 4 2 0 8 4 4 y x x x x         ． （2）解：∵二次函数的表达式 21 24 y x x   ， ∴令 2.26 0.3 2.56y    得： 212 6 2.5 4 x x  ， 解得： 1 6.4x  ， 2 1.6x  ， ∴小船的最大宽度为：6.4 1.6 4.8  米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （3）解：根据平移规律得到点O平移后的对应点为  ,0m ，对称轴平移后的对称轴为 4x m  ， 点A平移后的对应点为  8 ,0m ，根据图像性质，得到函数在 4m x m   或 8x m  上，满足 y随 x的增大而减小， ∴ 9 4 10 m m     或8 8 9m   ， 解得6 9n  或0 1m  ， 故m的取值范围是6 9n  或0 1m  ． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，解不等式组，抛物线的 应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． 10．(1) 20.2 0.8 1y x x    (2)1m (3)公园应将水管高度至少向上调节 0.4米才能符合要求． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用 等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令 1.75y  ，求得对应 x的值，然后确定两个 x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点     0,1 , 1,1.6 3,1.6 ， 设函数解析式为： 2y ax bx c   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 则有： 1.6 1.6 9 3 1 a b c a b c c          ，解得： 0.2 0.8 1 a b c       ， 所以函数解析式为： 20.2 0.8 1y x x    ． （2）解：令 1.75y  ，则有 21.75 0.2 0.8 1x x    ，解得： 1 22.5, 1.5x x  ， 所以该皮划艇顶棚的宽度为 2.5 1.5 1m  ． （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动 mn 才能符合要求，则调节后的水管 喷出的抛物线的解析式为： 20.2 0.8 1y x x n     ， ∴抛物线的对称轴为： 2x  ， 由题意可知，当横坐标为 22 3 2   时，纵坐标的值不小于1.5 0.5 2  ， ∴ 20.2 3 0.8 3 1 2n       ，解得： 0.4n  ， ∴水管高度至少向上调节 0.4米， ∴公园应将水管高度至少向上调节 0.4米才能符合要求． 11．(1) 21 ( 2) 1.6 10 y x    ，喷出水的最大射程OC为 6m (2)点 B的坐标为 (2,0) (3)不能 (4) 2 3 d 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、喷水问题(实际问题 与二次函数) 【分析】（1）由顶点 (2,1.6)A 得，设 2( 2) 1.6y a x   ，再根据抛物线过点 (0,1.2)，可得 a的值，从 而解决问题； （2）由对称轴知点 (0,1.2)的对称点为 (4,1.2)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m 得到的，可得点 B的坐标； （3）根据 3.2mOD d  ， 2mDE  ， 0.7mEF  ，可求得点 F的坐标为  5.2,0.7 ，当 5.2x  时， 求出 y的值，再与 0.7比较，从而得出答案； （4）根据 0.7mEF  ，求出点 F的坐标，利用增减性可得 d的最大值与最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得 (2,1.6)A 是上边缘抛物线的顶点，设 2( 2) 1.6y a x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 又抛物线经过点 (0,1.2)，∴4 1.6 1.2a   ， 解得： 1 10 a   ， 上边缘抛物线的函数解析式为 2 1 ( 2) 1.6 10 y x    ． 当 0y  时， 2 1 ( 2) 1.6 0 10 x    ，  1 6x  ， 2 2x   （舍去）． 喷出水的最大射程OC为 6m． （2）解：对称轴为直线 2x  ， 点 (0,1.2)的对称点的坐标为 (4,1.2)． 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m得到的， 即点 B是由点 C向左平移 4m得到，则点 B的坐标为 (2,0)． （3）解： 3.2mOD d  ， 2mDE  ， 0.7mEF  ， 点 F的坐标为  5.2,0.7 ， 当 5.2x  时，  21 5.2 2 1.6 0.576 0.7 10 y       ， 当 2x  时，y随 x的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． （4）解：先看上边缘抛物线， 0.7mEF  ， 点 F的纵坐标为0.7， 抛物线恰好经过点 F时， 21 ( 2) 1.6 0.7 10 x    ，解得 1 5x  ， 2 1x   （舍去）， 当 2x  时，y随着 x的增大而减小， 当 2 6x  时，要使 0.7y  ，则 5x  ． 当0 2x  时，y随 x的增大而增大，且 0x  时， 1.2 0.7y   ， 当  0 6x≤ ≤ 时，要使 0.7y  ，则0 5x  ．  2DE  ，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， d的最大值为5 2 3  ． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ， d的最小值为 2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 综上所述，d的取值范围是 2 3 d ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象 的平移、二次函数的性质、二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解 题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 实际问题与二次函数 1．航天飞机从某个时间 t秒开始，其飞行高度为 210 700 21000h t t    （单位：英尺），对人 而言不低于 31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒． 2．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h，初速度 v，抛出后所经历的时 间 t，这三个量之间有如下关系： 2 1 2 h vt gt  （其中 g是重力加速度，g取 210m / s ）．将一物体 以 21m/sv  的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方时， t的值为 ． 3． 919C 大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干 线客机，如图 1，在某次 919C 大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车 A B， 中斜向上 射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点O为坐标原点，平行于 AB的直线为 x轴，建立 如图 2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 21 24.75 20 y x   ，当两辆消防车喷射口位置的 水平距离 AB为32m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度CD为 m． 4．如图，水池中心点 O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时， 抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头 高 2.5m时，水柱落点距 O点 2.5m；喷头高 4m时，水柱落点距 O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距 O点 4m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是 1.7米，篮球的运行路线是 抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为 3米时达到最高点，最高点的高度是 3.5米，篮筐的 高度是 3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作 一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答下列问题． （1）小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为 ； （2）小亮投篮时与篮筐的水平距离 L为 ； （3）小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为 5米处的小明跳起来接住．已 知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为 2米 时到达最高点，小明接球的高度为 2.3米．则篮球弹出后最高点的高度为 ； 6．如图，某校计划在边长为10m的正方形花坛 ABCD内种花，过 BD上一点 P作EF BC∥ ， GH AB∥ ，分别交正方形 ABCD的四边于点 E，F，G，H，连接EG，在 EGP△ 区域种百合花， 在四边形HPFD区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为 20元/ 2m ，玫瑰花的成本为 15元/ 2m ， 则种植两种花卉的计划成本最少为 元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每 把电动牙刷售价为 35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10 把．已知销售单价不低于 35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50%， 设销售单价为 x元． (1)当 38x  时，每天可销售电动牙刷__________把． (2)若当天的利润为3000元，求 x的值． (3)当 x为多少时，该网络平台当天获得利润W（元）最大？最大利润为多少元？ 8．某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张 30元，那么 1200张门票可以全部售出； 但如果票价每张增加 x元，则售出的门票数量 y（张）与 x（元）的函数关系部分图像如图所 示． (1)由图像可知，票价每增加 1元，则门票数量会减少______张； (2)要使门票收入恰好为 36270元，票价应定为每张多少元； (3)销售总监认为：票价越高，则门票收入越高．请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？ 若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．如图某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 8mOA  ，桥拱 顶点 B到水面的距离是 4m． (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式； (2)要保证高 2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽 度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的 x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一 个新函数图象．现将新函数图象向右平移m（ 0m  ）个单位长度，使得平移后的函数图象在 9 10x  之间，且 y随 x的增大而减小，请直接写出m的取值范围． 10．如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从 垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物 线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为 mx ，喷出水流与湖面的垂直高度为 my ． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时 mx 与 my 的几组数据： (m)x 0 1 2 3 4.5 (m)y 1 1.6 1.8 1.6 0.55 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水 柱，求该皮划艇顶棚的宽度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过， 为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的 竖直距离均不小于0.5m，已知游船顶棚宽度为 2m，顶棚到湖面的高度为1.5m，那么公园应将 喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m才能符合要求？（直接写出结果） 11．如图 1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口 H离地 竖直高度为 h（单位：m）．如图 2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标 系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 2mDE  ，竖直 高度为 EF的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 A离喷 水口的水平距离为 2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到 l的离OD为 d（单位：m）．若 1.2h  ， 0.7mEF  ． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； (2)求下边缘抛物线与 x轴的正半轴交点 B的标； (3)若 3.2md  ，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带； (4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．