专题05一元二次方程应用题分类练2（增长率道路比赛动点水电费共50道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题05一元二次方程应用题分类练2 （增长率道路比赛动点水电费共50道） 目录 【题型1 增长率问题】 1 【题型2 几何图形道路问题】 3 【题型3 比赛问题】 6 【题型4 动点问题】 7 【题型5 水费电费】 11 【题型1 增长率问题】 1．宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元/千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？ 2．某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 3．目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商4至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份销售100辆，6月份销售144辆． (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为16.8万元/辆，则该经销商4至6月份共盈利多少万元？ 4．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 5．据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 6．“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ (2)求商城4月份卖出多少辆自行车？ (3)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 7．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 8．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 9．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 10．在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【题型2 几何图形道路问题】 11．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 12．如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使草坪总的面积为，应如何设计道路的宽度？ 13．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 14．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 15．天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 16．如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． (1)求道路应为多宽？ (2)如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 17．如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 18．如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 19．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 20．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【题型3 比赛问题】 21．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程是什么？ 22．2024年9月25日，西吉县第七中学决心秋季篮球运动会开赛仪式，据了解，本次比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？ 23．年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 24．中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是1979分，1980分，1984分，1985分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？ 25．某市组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 26．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 27．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 28．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 29．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买只，每个的单价可降低元，例如购买只时的单价为元，最低单价不能低于元；乙公司一律按折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量． 30．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排 场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【题型4 动点问题】 31．如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 32．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 33．在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 34．如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 35．如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 36．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 37．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 38．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 39．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 40．如图，在边长为的等边三角形中，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动．若、分别从、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，_____； (2)经过几秒后，是直角三角形？ (3)经过几秒的面积等于？ 【题型5 水费电费】 41．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 42．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）． （2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 43．为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 44．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 45．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 46．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 47．为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家月份用电度，交电费元；月份用电度，交电费元． （1）请直接写出小亮家月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）； （2）求的值． 48．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 49．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 50．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 (1)求出该市规定标准用水量的值； (2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05一元二次方程应用题分类练2 （增长率道路比赛动点水电费共50道） 目录 【题型1 增长率问题】 1 【题型2 几何图形道路问题】 8 【题型3 比赛问题】 17 【题型4 动点问题】 23 【题型5 水费电费】 37 【题型1 增长率问题】 1．宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元/千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？ 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)元/千克． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意正确列出等式和算式是解题关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可； （2）根据保持前两次降价的百分率列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：∵保持前两次降价的百分率， ∴“双十一”宣威火腿的价格是元/千克． 2．某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场获利6250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键； （1）设第一季度销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可； （2）设当商品降价m元时，商品获利6250元，根据总利润单个利润总数量列出方程即可． 【详解】（1）解：设第一季度销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得：（舍）， 答：第一季度销售量的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价m元时，商品获利6250元， 根据题意可得， 解得：（舍）， 答：当商品降价5元时，商场获利6250元． 3．目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商4至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份销售100辆，6月份销售144辆． (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为16.8万元/辆，则该经销商4至6月份共盈利多少万元？ 【答案】(1)该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为 (2)该经销商4至6月份共盈利655.2万元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据4月份销售100辆，6月份销售144辆，列出方程进行求解即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，进行计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为； （2）由（1）可知，该汽车5月份的销售量为：（辆）， （万元）； 答：该经销商4至6月份共盈利655.2万元． 4．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 5．据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的月平均增长率为 (2)红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为x，列式，进行计算，即可作答． （2）根据月平均增长率为，算出第四个月的进馆人次为，再与进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： 依题意，第四个月的进馆人次， 答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次． 6．“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？ (2)求商城4月份卖出多少辆自行车？ (3)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】(1)2、3月份的月平均增长率为 (2)辆 (3)购进辆A型自行车，辆B型自行车 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式组得应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意可方程或不等式组． （1）设月平均增长率为，根据“1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆”列方程解题即可； （2）利用有理数的乘法解题即可； （3）设购进B型自行车辆，利润为元，根据题意列不等式组求出的取值范围，然后求出关于的一次函数，利用增减性解题即可． 【详解】（1）解：设2、3月份的月平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：2、3月份的月平均增长率为； （2）解：商城4月份卖出自行车数量为：辆， 答：商城4月份卖出辆自行车； （3）解：设购进B型自行车辆，利润为元， 则， 解得：， 又∵为整数， ∴， 又∵， ∵随a的增大而减小， ∴当时，有最大值， 此时，辆， ∴该商城应购进辆A型自行车，辆B型自行车，利润最大． 7．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 8．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1） （1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可； （2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：应降价5元． 9．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元? 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率； （2）设涨价x元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）或， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 由题意得：， 整理，得， 解得： ， ∵商场规定每千克涨价不能超过8元， ∴， 答：每千克应涨价5元． 10．在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． （2）解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 【题型2 几何图形道路问题】 11．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 12．如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使草坪总的面积为，应如何设计道路的宽度？ 【答案】道路的宽度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设道路的宽度为，则草坪的面积可以看做一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为，则草坪的面积可以看做一个长为，宽为的长方形面积， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：道路的宽度为， 13．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 14．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 【答案】(1)每条道路的宽为1米 (2)原矩形空地长为20米，宽为15米 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）设每条道路的宽x米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为792列方程求解即可； （2）设长为米，宽为米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为208列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每条道路的宽x，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，由题意得： ， 解得：（舍去）， ∴每条道路的宽为1米； （2）解：， ∴设长为米，宽为米， ∴空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（舍）， ， ∴矩形长为20米，宽为15米． 15．天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1)道路宽为1米 (2)①；②每盆应降价15元 【分析】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； （2）解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 16．如图，为绿化环境，某小区在宽为，长为的矩形地面上，修建同样宽，相互垂直的三条道路（图中阴影部分），把地面分成大小不等的六块绿化带，要使六块绿化带的面积和为． (1)求道路应为多宽？ (2)如果修建道路每平方米造价80元，绿化地面每平方米造价100元，求小区花的总费用为多少元？ 【答案】(1)道路宽为 (2)总费用为62600元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设道路宽为，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． （2）根据计费方式列式计算即可． 【详解】（1）解：设道路宽为， 根据题意得： ， 解得：，． ∵， ∴舍去． 答：道路宽为． （2）解：元． 答：总费用为62600元． 17．如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 18．如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 【答案】横向道路的宽为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为，根据种植花的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积建立方程求解即可． 【详解】解：设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：横向道路的宽为． 19．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 【答案】道路的宽为2米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设道路的宽为，利用平移得到草坪为一个长为，宽为的一个矩形，利用矩形的面积公式列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：， 解得：（舍去），； 答：道路的宽为2米． 20．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为米 【分析】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，由道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，列一元二次方程，利用因式分解法求解即可得到答案，读懂题意，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，根据题意可得 ， ， 则， 解得或（负值不满足实际意义，舍去） 答：道路的宽度为米． 【题型3 比赛问题】 21．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程是什么？ 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共场比赛． 设有x个队参赛， 则由题意可列方程为：． 22．2024年9月25日，西吉县第七中学决心秋季篮球运动会开赛仪式，据了解，本次比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？ 【答案】一共13支球队参加比赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设一共x支球队，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：设x支球队参加比赛． 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：一共13支球队参加比赛． 23．年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 24．中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是1979分，1980分，1984分，1985分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？ 【答案】45名 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系解决问题．部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x则比了局，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设共有x名选手参加，依题意可得 ． ∵x是正整数，且大于1， ∴x、是两个连续的正整数． 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980， 则， 解得（不符合题意，舍去）． 答：这次比赛的选手共有45名． 25．某市组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【答案】(1)应该邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛13场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：应该邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场）． 答：实际共比赛13场． 26．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】(1)10； (2)小哲说的有道理，理由见解析； (3)13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由见详解； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 27．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛 (2)至少需要9天完成比赛 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 28．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 29．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买只，每个的单价可降低元，例如购买只时的单价为元，最低单价不能低于元；乙公司一律按折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量． 【答案】(1)该邀请赛的参赛选手为人 (2)该单位应选择甲公司购买，购买的羽毛球数量为只 【分析】（1）设该邀请赛的参赛选手为人，由题意列出方程，解方程即可． （2）设该单位计划购买的羽毛球数量为（为正整数）．由一场比赛至少准备只羽毛球，可确定整个比赛至少需要的球数，从而可得的取值范围；分别计算出两家公司单个球的价格再比较确定哪家公司，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手为人． 则比赛场次为． 依题意，．   整理得：． 解得（舍去），．    所以该邀请赛的参赛选手为人． （2）解：设该单位计划购买的羽毛球数量为（为正整数）．     则， 所以．    若选择乙公司购买，则单价为（元）． 若选择甲公司购买，则单价为元， ∵， ∵．     ∵， ∴该单位应选择甲公司购买． 依题意，．     化为． 解得（应舍去），或． 则（只）    所以该公司计划购买的羽毛球数量为只． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．难点是确定的范围，从而决定选择哪家公司购买． 30．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排 场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【答案】(1)应邀请 支球队参加比赛． (2)实际共比赛 场． 【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数=该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应该邀请 支球队参加比赛， 依题意得 解得或（不合题意，舍去） 答：应邀请 支球队参加比赛． （2）解：． 答：实际共比赛 场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型4 动点问题】 31．如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，依题意， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 32．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，； (3)不存在，理由见解析 【分析】设运动的时间为秒，可得：，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； 先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； 先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，点在的垂直平分线上， 设运动的时间为秒， 则，，， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． （2）解：设运动的时间为秒， 则有，， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （3）解：不存在； ，， ， ， 整理得：， ，，， ， 该方程无解， 不存在的值，使得的面积等于． 【点睛】本题考查了动点问题、线段垂直平分线的性质、一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，解决本题的关键是根据动点运动的时间用含的代数式表示出线段的长度，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列一元二次方程并求解． 33．在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)，； (2)为或时，的面积等于． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据，然后解一元二次方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意可知：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，，，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：为或时，的面积等于． 34．如图，在矩形中，，，P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发，分别沿，，，移动，且当有一个先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若，则，，． (1)当x为何值时，P，N两点重合？ (2)四个点移动过程中是否存在四边形的面积是矩形面积的一半？若存在请求x的值；若不存在，请说明理由． (3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)当时，P，N两点重合 (2)不存在，见解析 (3)当或时，四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查一元二次方程与平行四边形的性质综合，根据等量关系，列出方程，时是解题的关键． （1）当P，N两点重合时，即，建立方程，解方程即可； （2）根据四边形的面积是矩形面积的一半建立方程，解方程，再求出此时值进行判断即可； （3）分别根据P，N两点重合前和重合后两种情况进行讨论，根据平行四边形对边相等建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当P，N两点重合时，即， ∵，，， ∴， 解得，（舍去） ∴，当时，P，N两点重合． （2）解：不存在． ∵，， ∴， ∵， ∴ 整理得： 解得， 当时，，即各点停止运动． ∴四个点运动过程中不存在四边形的面积是矩形的面积的一半． （3）解：①P，N两点重合前，四边形是平行四边形，即， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ②P，N两点重合后，四边形是平行四边形，即， ∴ 整理得： 解得，（舍去） 综上所述：当或时，四边形是平行四边形． 35．如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】(1)2或4秒 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【详解】（1）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． （2）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 36．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 37．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查列代数式，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）根据路程=速度×时间解答即可； （2）根据可表示出四边形的面积，利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（2）的结论建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； （2）解：． ， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 38．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)在点运动过程中，的值不可能为5，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解，，，再利用勾股定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴； （2）解：由题意，，， ∴，， ， ， ∵ ∴， 整理，得， 解得，， ∵当点到达点时，点，同时停止运动， ∴， ∴， 答：当时，； （3）解：在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 39．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 40．如图，在边长为的等边三角形中，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒钟的速度移动．若、分别从、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过6秒后，_____； (2)经过几秒后，是直角三角形？ (3)经过几秒的面积等于？ 【答案】(1) (2)6秒或秒时，是直角三角形 (3)经过2秒的面积等于 【分析】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． （1）根据路程速度时间，求出，的值就可以得出结论； （2）先分别表示出，的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （3）作于，由勾股定理可以表示出，然后根据面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ，． 是等边三角形， ， ． 故答案为：； （2）解：是等边三角形， ，， 当时， ， ． ，， ， ， 当时， ， ， ， 答：6秒或秒时，是直角三角形； （3）解：设经过秒△的面积等于，则， 作于， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得；，， 时，，故舍去 ． 答：经过2秒的面积等于． 【题型5 水费电费】 41．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 42．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）． （2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 【答案】（1）；（2）60吨． 【详解】解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费元； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程： 解得， 因为，所以 该水厂规定的x吨是60吨． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 43．为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意列方程求解即可． 【详解】根据题意得： 解得： 月份用水立方米，缴纳水费元 ． 44．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 45．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键． 46．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 47．为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家月份用电度，交电费元；月份用电度，交电费元． （1）请直接写出小亮家月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）； （2）求的值． 【答案】（1）度．（2）的值为． 【分析】（1）根据题意可知，小亮家2月份超过a度部分的用电量为（80-a）度. （2）根据题意可得等量关系，2月份的电费=15+超过a度部分的用电量×超出部分每度多交的钱数，即可得出一元二次方程，解出取最大值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：小亮家月份超过度部分的用电量为度． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， 舍去． 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确找出等量关系是解题的关键. 48．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 49．为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 【答案】（1）的值为2.8，的值4.2；（2）2021年小刚家用水量为218.7吨. 【分析】（1）小明家：一阶梯水费+二阶梯水费=789.6；小刚家：一阶梯水费+二阶梯水费+三阶梯水费=1008；列出方程组，求得，即可. （2）连续两年降低，列一元二次方程即可解. 【详解】（1）由题意得，解得，. 即：的值为2.8，的值4.2. （2）由题意得，解得，（舍去）， （吨） 答：2021年小刚家用水量为218.7吨. 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程组的应用问题，难度适中，认真分析，找到等量关系，正确求解即可. 50．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 (1)求出该市规定标准用水量的值； (2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】(1) (2)，290元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出一元二次方程以及一次函数是解此题的关键． （1）根据七月份用水量以及交费总数得出关于的方程，解方程即可得出答案； （2）当，根据收费方式即可得出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，求出当 的值即可得解． 【详解】（1）解：因七月份用水量为140吨，，             所以需加收：（元），     即， 解得，，     又8月份用水量为95吨，，不超标， 故答案为； （2）解：当时，则． ∴， 用水量为150吨时，应交水费：（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$