专题01 一元二次方程计算题分类训练（6种类型60道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题01 一元二次方程计算题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 直接开平方法】 1 【题型2 配方法】 4 【题型3 因式分解法】 8 【题型4 公式法】 11 【题型5 十字相乘法】 15 【题型6 换元法】 19 【题型1 直接开平方法】 1．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得： 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；先求出，再直接开平方求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 4．解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴． 5．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：． 6．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时除以121，再把方程两边同时开平方，进而解两个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 7．解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开方法解一元二次方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 8．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶， ∴， ∴，． 9．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．据此解答即可． 【详解】解： ， ∴，． 10．解方程 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【题型2 配方法】 11．用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 移项得， 整理得， 解得，． 12．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先方程两边同除以2，再利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 所以方程的解为． 13．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程移项变形后，配方即可得到结果． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，． 14．用配方法解方程； 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可． 【详解】解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 15．配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，准确进行计算． 移项后两边同时加配方，再直接开方，进行求解． 【详解】解： 移项配方得：， 即， 开方得：， ∴． 16．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 17．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 方程整理，利用完全平方公式变形配方，开方即可求出解． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 18．配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：”是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， ， ∴， ∴，． 19．用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴，． 20．用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 【题型3 因式分解法】 21．用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先整理得到，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴，． 22．用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，方程移项后提取公因式，将方程转化为两个一元一次方程，求出这两个方程的解即可． 【详解】解：， ， ∴ 23．用因式分解法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．移项后分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， 分解因式得：， 即， ，， 解得：，． 24．用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 25．用因式分解法解方程：． 【答案】，； 【分析】利用因式分解法直接求解即可得到答案； 【详解】解：因式分解得， ， ∴，， ∴，； 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法及选择适当的方法解一元二次方程． 26．用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键． 27．用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ∴或， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 28．利用因式分解法解方程： ． 【答案】 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 则 ， ∴ 或 ， 解得． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 29．用因式分解法解方程＝3x﹣9． 【答案】x1=3，x2=6 【分析】先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵＝3x﹣9， ∴﹣3（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得＝3，＝6． 【点睛】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键． 30．用因式分解法解方程：2x（x﹣3）＝x﹣3. 【答案】 【分析】先移项，提取公因式（x-3），进而因式分解，令每一个因式等于零得出答案． 【详解】解：， ， ， 解得． 【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程，正确因式分解是解题的关键． 【题型4 公式法】 31．用公式法解方程：. 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键. 先运用根的判别式判定根的情况，然后运用求根公式求解即可. 【详解】解：， ∴，即该方程有两个不等的实数根， ∴， ∴. 32．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， ∴， ∴ ∴． 33．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先求出，再由求根公式，即可求解；掌握求根公式“”是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 34．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得，． 35．用公式法解一元二次方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．把原方程可化为一般形式后，找出，计算出进而代入求根公式即可求解． 【详解】解：化为， ∴, ∴， ∴， ∴． 36．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，根据公式法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 37．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 38．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 解得：． 39．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 40．用公式法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据公式法解题即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ，. 【题型5 十字相乘法】 41．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 42．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 43．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 44．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）； （2）应用：请用上述方法解方程： ①x2﹣3x﹣4＝0； ②x2﹣7x+12＝0． 【答案】（1）2，4；（2）①或；②或 【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得； （2）①利用十字相乘法将左边因式分解为后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：2，4； （2）①， ， ， 则或， 解得：或， ②， ， ， 则或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法． 45．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 【题型6 换元法】 46．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 47．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴． ∴原方程的解是． 48．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 49．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝ (2) 【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解； （2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解 【详解】（1）解： 设 则 或 解得， ∴或 ∴或 解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝； （2）解： 设， 则 ， 或， 解得，， 或， 或， 解得， 【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键． 50．利用换元法解下列方程： （1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； （2）x2﹣（1+2）x﹣3+=0． 【答案】(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+ 【分析】（1）设y＝x+2，将原方程变形，再利用完全平方式法求得y的值，进而得到原方程x的解； （2）先整理原方程得到(x﹣)2﹣(x﹣)﹣6＝0，再设y＝x﹣，将原方程变形，再用因式分解法求的y的值，进而得到原方程x的解. 【详解】（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； 设y=x+2，则原方程可变形为： y2+6y﹣91=0， 解得：y1=7，y2=﹣13， 当y1=7时，x+2=7， x1=5； 当y2=﹣13时，x+2=﹣13， x2=﹣15； （2）原方程可化为x2﹣x﹣2x﹣3+=0， x2﹣2x+3﹣x++6=0， 即(x﹣)2﹣(x﹣)﹣6＝0， 设y= x﹣， 则y2﹣y﹣6=0， (y﹣3)(y+2)=0， 解得：y1=3，y2=﹣2； 当y1=3，x﹣=3， 得x1=3+； 当y2=﹣2，x﹣=﹣2， 得x2=﹣2+. 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程计算题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 直接开平方法】 1 【题型2 配方法】 1 【题型3 因式分解法】 2 【题型4 公式法】 2 【题型5 十字相乘法】 2 【题型6 换元法】 4 【题型1 直接开平方法】 1．解方程： 2．解方程：． 3．解方程：． 4．解方程∶ 5．解方程： 6．解方程：． 7．解方程：； 8．解方程：． 9．用直接开平方法解方程：． 10．解方程 【题型2 配方法】 11．用配方法解方程：． 12．用配方法解方程：． 13．用配方法解方程：． 14．用配方法解方程； 15．配方法解方程：． 16．用配方法解方程：． 17．用配方法解方程：． 18．配方法解方程：． 19．用配方法解方程： 20．用配方法解方程： 【题型3 因式分解法】 21．用因式分解法解方程：． 22．用因式分解法解方程：． 23．用因式分解法解方程． 24．用因式分解法解方程：． 25．用因式分解法解方程：． 26．用因式分解法解方程：． 27．用因式分解法解方程：． 28．利用因式分解法解方程： ． 29．用因式分解法解方程＝3x﹣9． 30．用因式分解法解方程：2x（x﹣3）＝x﹣3. 【题型4 公式法】 31．用公式法解方程：. 32．用公式法解方程：． 33．用公式法解方程：． 34．用公式法解方程：． 35．用公式法解一元二次方程：． 36．用公式法解方程：． 37．用公式法解方程：． 38．用公式法解方程：． 39．用公式法解方程：． 40．用公式法解方程： 【题型5 十字相乘法】 41．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 42．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 43．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 44．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）； （2）应用：请用上述方法解方程： ①x2﹣3x﹣4＝0； ②x2﹣7x+12＝0． 45．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【题型6 换元法】 46．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 47．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 48．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 49．解下列方程： (1)； (2)． 50．利用换元法解下列方程： （1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； （2）x2﹣（1+2）x﹣3+=0． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$