精品解析：2024年浙江省温州市苍南县苍南中学提前招数学卷

2024年科学探究数学部分 一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x，y的方程组有无数组解，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意可得，然后问题可求解． 【详解】解：由可得， ∵关于x，y的方程组有无数组解， ∴， ∴； 故选B． 2. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可． 【详解】解：设，则，， 则，， 故，，， 故 ， 故， 故选：A． 【点睛】本题考查了作差法的应用、因式分解的应用，换元，逆用幂的乘方，作差法是是比较代数式大小常用的方法，要求学生掌握． 3. 如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d=2，+=4，那么+的值为（　　　） A. 1 B. C. 0 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据a+b+c+d=2，，将所求式子变形便可求出． 【详解】∵a+b+c+d=2，， ∴ = =﹣1+﹣1+﹣1+﹣1 =2×（）﹣4 =2×4﹣4 =8﹣4 =4， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键． 5. 当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数最值问题，涉及三元一次方程组，一元一次不等式组，非负数等知识点．解题的关键是用表示出和．根据关系式与求出和与的关系式，又因，，均为非负实数，求出的取值范围，于是可以求出的最大值． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ ， 又∵，，均为非负实数， ∴， 解得：， 当时，有最大值为：． ∴的最大值为． 故选：C． 6. 已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（ ） A. B. C. 44 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，记，将转化为，设，，，中有个，个，则，求出，结合为正整数，当时，有最小正值，即可解答． 【详解】解：记， ∴， ∵，每个数只能取或两个值之一， ∴， ∴， 设，，，中有个，个， ∴， ∴， 由题意可得两两之积都是整数， ∴是整数，是偶数， 要使为最小正值， ∴，即， ∵为正整数， ∴当时，有最小正值， ∴， 故选：D． 7. 设四位数满足，则这样的四位数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数字的表示方法与有关性质．首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【详解】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵， ∴可得是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， ∴如果，，则，，此时这个四位数为2010， 如果，，则，，此时这个四位数为2011， 如果，，则，，此时这个四位数为1112， 如果，找不到符合要求的数， 如果，，则，，此时这个四位数为1130， 如果，，则，，此时这个四位数为1131， 如果，则，不符合题意， 故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 故选：C． 二、填空题（本题有7个小题，每小题6分，共12分） 8. 如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组．设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，再利用三角形面积公式结合三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 9. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，先求出，，当时，，即，代入计算即可得解． 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 10. 如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作于点E，判定是等边三角形，过点C作于点G，根据轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数解答即可．． 【详解】解：过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，是等边三角形， ∴； 过点C作于点G， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点A，点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当M，C，E三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当时，取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值，此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形性质，特殊角的三角函数是解题的关键． 11. 已知，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义得出最小值为，的最小值为，根据题意可得当时，取得最小值，取最大值，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵要使最小， ∴取最小值，取最大值， ∴当时，最小值为，最小为 当时， 的最小值为，最大为 ∴的最小值为 故答案为：． 12. 团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；先判断，且，为正整数，再分，，再建立方程组解题即可． 详解】解：∵， ∴两个部门的人数和超过人， ∴，且，为正整数， 当时， ∴， ∴①， ∵， 当两部门的人都小于人时，不是整数，不符合题意； ∴，， ∴②， 联立①②可得： ，不符合题意， 当时， ∴， ∴③， ∵， 当，， ∴④， 联立③④可得：， ∴， 当，时， ∴，此时不符合题意，舍去， 当时，则， ∴⑤， 联立③⑤可得：，不符合题意，舍去， 综上：， 故答案为：． 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，算术平方根的非负性，由题意得出，再将两边平方求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴将方程两边同时平方可得：， 即， ∴， ∴， 两边同时平方可得：， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或， 故答案为：． 14. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 【答案】112 【解析】 【分析】本题主要考查了选数求和．熟练掌握选数规则，分类讨论求和，是解题的关键． 根据选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数求和有8种情况，分别计算比较即得． 【详解】选中4个数分以下8种情况： 图1：， 图2：， 图3：， 图4：， 图5：， 图6：， 图7：， 图8：， ∴4个数和的最大值为112． 故答案为：112． 三、解答题（本大题共3题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，三个等腰直角三角形，，的直角顶点分别为D，P，E，且它们直角边长度均不相等，不平行，求证：P是的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，是解决本题的关键． 延长交于点F，连接，根据等腰直角三角形性质，得，，，得，得，得，得，，得，得 ，得，得，得，得，得P是中点． 【详解】证明：如图，延长交于点F，连接， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在上， ∴P是的中点． 16. 如图，正方形的边，在坐标轴上，点B的坐标为，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连结，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点D．与轴交于点，连结．设点P运动的时间为． （1）的度数为__________，点的坐标为__________（用t表示）； （2）当t为何值时，是以为顶点的等腰三角形． （3）探索周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由，若不变，试求这个定值． 【答案】（1）， （2）或4时，是以为顶点的等腰三角形 （3）周长不随时间t的变化而变化，这个定值为8 【解析】 【分析】（1）先将两动点的路程表示出来：，，证明，得等腰直角，得出，及点D的坐标； （2）分三种情况讨论：①若，得，则Q与O重合，不成立；②若，则，得，则点E与点C重合，点P与点O重合，则可求解；③若，延长到F，使得，连接，如图2，证明和，用t表示的长，然后列方程求出t的值； （3）把转化为和的和，则的周长就变成了正方形两边的和，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴，即, ∵四边形是正方形，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为，； 【小问2详解】 解：分三种情况： ①若，则， ∴， ∵， ∴， ∴点E与点D重合， ∵交y轴于E点， ∴点Q与点O重合， 与条件“轴”矛盾， ∴这种情况不成立； ②若，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点C重合， ∴点P与点O重合， ∵， ∴， 此时； ③如图2，若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长到F，使得，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上所述：当或4时，是以B为顶点等腰三角形； 【小问3详解】 解：的周长是定值，该定值是8；理由如下： 由（2）可知：， ∴的周长 ； ∴的周长是定值，该定值是8． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了动点问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形，三角形周长等知识点；解题关键是深刻理解动点的路程、时间，理解两动点的完整运动过程；同时，采用了分类讨论一个三角形是等腰三角形的三种情况． 17. 已知，且，作二次方程． （1）若方程有实数根，求证：； （2）当方程有实数根，时，求正整数，，的值． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程判别式和根与系数的关系， （1）利用二次函数根与系数之间的关系列出不等式，结合已知得出，化简即可证明； （2）由根与系数的关系可得，，的关系，进而解得，，的值． 【小问1详解】 由式方程有实数根，得 其中 又∵，且， ∴， ∴， 那么有， 得， ， 故有． 【小问2详解】 由根与系数关系有， ∴， ∴． 由（1）知，可知， 故有， ∴， 又，， ∴或， ， ∴， 所以，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年科学探究数学部分 一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x，y的方程组有无数组解，则（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，则与的大小关系为（ ） A B. C. D. 无法确定 3. 如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d=2，+=4，那么+值为（　　　） A. 1 B. C. 0 D. 4 4. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（ ） A. B. C. 44 D. 46 7. 设四位数满足，则这样的四位数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题有7个小题，每小题6分，共12分） 8. 如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为___________． 9. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令 表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么___________． 10. 如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为___________． 11. 已知，则的最小值为___________． 12. 团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积___________． 13. 已知，则的值为___________． 14. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 三、解答题（本大题共3题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，三个等腰直角三角形，，的直角顶点分别为D，P，E，且它们直角边长度均不相等，不平行，求证：P是的中点． 16. 如图，正方形边，在坐标轴上，点B的坐标为，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连结，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点D．与轴交于点，连结．设点P运动的时间为． （1）的度数为__________，点的坐标为__________（用t表示）； （2）当t为何值时，是以为顶点的等腰三角形． （3）探索周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由，若不变，试求这个定值． 17 已知，且，作二次方程． （1）若方程有实数根，求证：； （2）当方程有实数根，时，求正整数，，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$