3.3.2抛物线的简单性质（第一课时）课件 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第一课时） 一 二 三 学习目标 依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养. 掌握抛物线的简单几何性质及其应用，培养数学抽象与数学建模的核心素养. 学习目标 2.抛物线的标准方程是什么？ 复习回顾 1.抛物线的定义是什么？ 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 点F— 抛物线的焦点, 直线l —抛物线的准线. M · F l · d 定义告诉我们： (1)判断抛物线的一种方法 (2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 (- - - - 新课导入 问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 y2=2px(p>0) ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 椭圆的简单几何性质： 1.范围; 2.对称性; 3.顶点; 4.离心率 双曲线的简单几何性质： 1.范围; 2.对称性; 3.顶点; 4.渐近线；5.离心率 与利用椭圆、双曲线的方程研究它们的几何性质一样，我们利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质，包括抛物线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 新知探究 问题2 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的范围是怎样的？ K F M • • x y O H 由抛物线 y2 =2px(p>0)有 所以抛物线的范围为 从图像上看： 抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，ǀyǀ的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 5 问题3 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性是如何的？ K F • • x y O H 新知探究 从图形上看，抛物线 关于x轴对称. 若点P(x,y)在抛物线上, 即满足 y2 = 2px， 关于x轴对称 则(-y)2 = 2px 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 6 新知探究 K F M • • x y O H 问题4 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的顶点是什么？ 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在 y2 =2px(p>0)中， 令y=0，则x=0. 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0). 7 新知探究 K F M • • x y O H 问题5 结合椭圆与双曲线的第二定义，并观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的离心率是什么？ 抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示. 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1. 问题6 那其他的形式的抛物线的范围、对称性、顶点、离心率又该如何呢？ 8 新知探究 抛物线的简单几何性质 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) e=1 典例解析 例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,)，求它的标准方程. 因为抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2, 所以可设它的标准方程为y2=2px (p>0) 因为点M抛物线上，所以2p2 解得p=2 因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x 解： 变式 已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,)，求它的标准方程. y2=4x 或 x2= y 分类讨论 巩固练习 课本P136 1.求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)关于x轴对称，并且经过点M(5,-4); (2)关于y轴对称，准线经过点E(5,-5); (3)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4; (4)焦点在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P, 且FP平行于准线. 典例解析 例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长. l F A x y B 思考 解这道题，你能想到哪些解法呢？ 思考 能否结合抛物线的定义，想出其它解法呢？ 12 解：由题意可知，， ∴焦点的坐标为，准线方程为 . 设,两点到准线的距离分别为. 由抛物线的定义，可知 ， 于是 ∵直线的斜率为1，且过焦点， ∴直线的方程为 典例解析 l F A x y B A′ ┑ B′ ┑ 将方程带入，得，化简，得 由韦达定理，得 =6 ∴ =+2=8 所以，线段AB的长是8. 如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于p吗？ 例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长. 典例小结 在例4中，线段AB叫做抛物线的焦点弦,线段AF、BF都叫抛物线的焦半径. l F x y 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径 焦半径公式： (x0,y0) M 由焦半径公式可知： 抛物线的顶点到焦点的距离最小，且最小值为 典例小结 在例4中，线段AB叫做抛物线的焦点弦,线段AF、BF都叫抛物线的焦半径. l F A x y B (x1,y1) (x2,y2) 焦点弦 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： 过焦点而垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径. 通径 2p 2p越大，抛物线张口越大. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 抛物线的通径是所有焦点弦中最短的弦. 追问 椭圆、双曲线的通径分别是什么？ 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 典例小结 巩固练习 课本P136 2.在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的x系数的关系： (1) ； (2)； (3)； (4)； 抛物线如图，x的系数的绝对值越大， 抛物线的开口越大． 巩固练习 课本P136 3.过M(2,0)作斜率为1的直线,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|. 解: 巩固练习 课本P136 4.垂直于轴的直线交抛物线于A，B两点，且，求直线AB的方程. 课堂小结 方程 图形 焦点 准线 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) (- - - - e=1 法一:直接求两点坐标, 计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求, 运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义, 运用韦达定理,计算弦长. $$