专题5.14 二次函数区间最值问题（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.14 二次函数区间最值问题（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。 【知识点1】二次函数区间最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法：主要抓住三要素 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】四种区间情况讨论 对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，求以下区间的最值。 1、若自变量为全体实数 （1）当a>0时，当时，函数有最小值，如图（1） （2）当a<0时，当时，函数有最大值，如图（2） 图1 图2 2、若：且 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（3）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（4）； 图3 图4 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 3、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（5）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（6）； 图5 图6 4、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值。 （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值。 图7 图8 【知识点4】总结归纳如下： 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 题型目录 【题型1】自变量为全体实数.................................................4 【题型2】自变量取值范围为且 ............................5 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时.........................5 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时.........................6 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论...............6 【题型6】直通中考.........................................................6 【题型7】拓展延伸.........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】自变量为全体实数 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． (1)求抛物线的对称轴． (2)二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【题型2】自变量取值范围为且 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【变式1】（24-25九年级上·陕西·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南大理·单元测试）已知二次函数． （）该二次函数图像的顶点坐标为 ； （）当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时 【例3】（20-21九年级上·广东广州·期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时 【例4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【变式1】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【变式2】当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为 . 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． （1）当时，y的最大值为 ，最小值为 ； （2）当时，y的最大值为 ，最小值为 ； （3）当时，y的最大值为 ，最小值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为 ． 【变式2】（23-24九年级下·浙江·自主招生）当时，函数的最小值是，最大值是0，求m、n的值． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【例2】（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【题型7】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.14 二次函数区间最值问题（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。 【知识点1】二次函数区间最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法：主要抓住三要素 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】四种区间情况讨论 对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，求以下区间的最值。 1、若自变量为全体实数 （1）当a>0时，当时，函数有最小值，如图（1） （2）当a<0时，当时，函数有最大值，如图（2） 图1 图2 2、若：且 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（3）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（4）； 图3 图4 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 3、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（5）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（6）； 图5 图6 4、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值。 （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值。 图7 图8 【知识点4】总结归纳如下： 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 题型目录 【题型1】自变量为全体实数.................................................4 【题型2】自变量取值范围为且 ............................6 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时.........................9 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时........................10 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论..............12 【题型6】直通中考........................................................15 【题型7】拓展延伸........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】自变量为全体实数 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． (1)求抛物线的对称轴． (2)二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】(1) (2)有最小值，最小值为1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 解：（1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2），抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】C 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 解：∵二次函数 (m为常数) 的图象经过， ∴ 解得：，， 二次函数的对称轴在轴左侧， ∴ ， ， 把代入， ， 二次函数有最小值为：． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式．根据题意可知当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的解析式为． 把点N的坐标代入得，解得． 当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小， 此时抛物线的解析式为． 令， ∴， 解得：或1， 即点M的横坐标的最小值为． 故选：D． 【题型2】自变量取值范围为且 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 解：（1）由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． （2）由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 【变式1】（24-25九年级上·陕西·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·云南大理·单元测试）已知二次函数． （）该二次函数图像的顶点坐标为 ； （）当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】（）化成顶点式即可求解； （）根据二次函数的性质求解即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：（）∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （）∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：，． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案为：． 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时 【例3】（20-21九年级上·广东广州·期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值． 【答案】m1＝，m2＝﹣ 【分析】根据二次函数的性质得到当x＜3时，y随x的增大而增大，根据题意列式计算即可． 解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1的对称轴是x＝3， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜3时，y随x的增大而增大， 由题意得，当x＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4， 则﹣（1﹣3）2+m2+1＝4， 解得，m1＝，m2＝﹣． 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含的代数式表示，将代数式转化为只含的代数式，配方后，求最值即可． 解：∵， ∴， ∴ ； ∵， ∴当时，的值最小为； 故选B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时 【例4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)二次函数的最大值为，最小值的为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 解：（1）∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 【变式1】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 【变式2】当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可 解：函数y＝－（x－1）2＋2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1， 当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小， 所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-． 故答案为-. 【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性质，然后根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑2≤x≤5的范围，单纯的考虑y＝－（x－1）2＋2的最大值，出现错误答案． 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． （1）当时，y的最大值为 ，最小值为 ； （2）当时，y的最大值为 ，最小值为 ； （3）当时，y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 7 14 2 【分析】本题考查了利用二次函数的增减性求最值，自变量取值范围确定，求二次函数最值需要分情况讨论：①若对称轴在自变量取值范围内，则要从顶点和自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值；②若对称轴不在自变量取值范围内，则要从自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值． （1）（2）（3）先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后利用二次函数的增减性求解即可． 解：由二次函数可知，抛物线开口向上，对称轴为直线． （1）当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为7，当时，y取得最小值为． 故答案为：7，； （2）当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值为，当时，y取得最大值为14． 故答案为：14，； （3）当时， ∵， ∴当时，y取得最小值－2， 又∵1－0<3－1， ∴当时，函数取得最大值，． 故答案为：2， 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据得到抛物线开口向下，对称轴为直线，分当时，，，四种情形解答即可． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且与对称轴的距离越大，函数值越小， 当时，，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得或（舍去）， ∴的值为4； 当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，， ∴都不符合题意，舍去； 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， 解得，， ∴都不符合题意，舍去； 当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，，不符合题意， 故答案为：4． 【变式2】（23-24九年级下·浙江·自主招生）当时，函数的最小值是，最大值是0，求m、n的值． 【答案】，或， 【分析】本题考查二次函数的最值，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 将二次函数配方确定对称轴，然后根据的取值分类讨论，即可得出答案． 解：，对称轴为， ①当，即时， ， 解得， ②，即时， ， 解得或（舍去）， ③，即时， ， 解得或（舍去）， ④当，即时， ， 解得， 综上所述，，或，． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． （1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 【例2】（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的思想是解题的关键． 根据完美点的概念，可得，即，根据只有一个完美点，可得，从而解出，所以函数，由此得出函数的顶点坐标和对称轴及性质，即可求解． 解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，y随x的增大而减小，在左侧，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，解得或4， ∴．    故选：C． 【例2】（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求出的取值范围以及的最值是解题关键．先将抛物线化为顶点式，得到对称轴为，顶点坐标为，再根据，得到，进而得到，，求出时，的最大值和最小值，得到，然后根据二次函数的性质和的取值范围，求出的最大值和最小值即可得到答案． 解：根据题意可得：， ∴抛物线的对称轴，顶点坐标为， ∵，即与的差值为， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴ 则对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 综上所述：； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$