精品解析：天津市滨海新区塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（共9个小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，（ ） A. B. C. D. 2. “”是“不等式成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 经过点作圆的切线，则切线的方程为 A. B. C. D. 6. 三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 9. 如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 288 B. 376 C. 448 D. 600 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知是虚数单位，________．（用数字作答） 11. 已知，且，则__________. 12. 的展开式中含项的系数是________（用数字作答）. 13. 已知直线与圆相交于，两点，且，则实数________． 14. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率________． 15. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为______，若，的面积为，则的最小值为______. 三、解答题（共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在三角形中，内角，，的对边分别为、、，已知，，． （1）求角大小； （2）求边； （3）求的值． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，点，且，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 19. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，. （1）求和的通项公式； （2）若， ①求数列的前项和. ②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）证明：对任意的，有； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（共9个小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集以及补集的定义即可求解. 【详解】，故， 故选：B 2. “”是“不等式成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】本题需要先求出不等式的解集，再判断与该解集的关系. 【详解】对不等式进行因式分解得到，解得. 不能必然推出，例如当时，满足，但不满足.而可以推出. 所以是“不等式成立”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对进行分段，由此判断出正确选项. 【详解】依题意，，，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 经过点作圆的切线，则切线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点在圆上，所以可得,即可求出切线斜率，，进而可求出切线方程. 【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得 【点睛】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题型. 6. 三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积． 详解】由于三棱锥中，平面ABC，，， 故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示： 则体对角线即为外接球的直径， 所以， 故三棱锥的外接球表面积为． 故选：D 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再证明当时，，由此确定正确选项. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象. 故选：C. 8. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项， ， 因为，所以，可得，A错； 对于B选项，因为，则， 所以函数图象关于点对称，B错； 对于C选项，函数图象向右移个单位后， 得到函数的图象， 由题意可知，函数为偶函数， 所以，解得， 因为，当时，取最小值，C错； 对于D选项，当时，， 故当时，即当时，函数取最大值， 且，D对. 故选：D. 9. 如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ） A. 288 B. 376 C. 448 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意把六面体可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解. 【详解】在长方体中，，. 根据题意可知：六面体可以看成长方体的一部分. 因为长方体的体积； 直三棱柱的体积； 直三棱柱的体积； 三棱锥的体积， 所以六面体的体积. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不规则几何体体积的求法，涉及柱体和锥体体积公式.解题关键在于不规则几何体借助于规则几何体去求解即可. 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知是虚数单位，________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将原式中的复数进行化简，然后再求其模. 【详解】复数进行化简， . 故答案为：. 11. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得. 故答案为： 12. 的展开式中含项的系数是________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式得，进而得到时会出现项，再计算其系数. 【详解】， 当时，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 13. 已知直线与圆相交于，两点，且，则实数________． 【答案】4 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径.再根据弦长公式，结合已知弦长求出圆心到直线的距离，进而求出实数的值. 【详解】圆，可化为. 所以圆心坐标为，半径. 对于直线和圆心，圆心到直线的距离. 已知弦长，根据弦长公式. 将，，代入可得：. 则，解得. 故答案为：4. 14. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率________． 【答案】 ① ## ②. 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，结合排列组合即可求解第二空. 【详解】从个人中任选人，全部情况有种， 恰好有两名男生的情况有， 故恰有名男生参加劳动学习的概率为， 有女生参加劳动学习的情况有种， 恰有一名女生参加劳动学习的情况有， 故在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为 故答案为：， 15. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为______，若，的面积为，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用，表示；根据的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值. 【详解】如图所示，中，， 是边的中点，是线段的中点，则， ， 即； 由的面积为，得， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6. 故答案为：；6 三、解答题（共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在三角形中，内角，，的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求边； （3）求的值． 【答案】（1） （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和特殊角的三角函数值求解即可； （2）由余弦定理求解即可； （3）由正弦定理、同角的三角函数关系、二倍角的正余弦、两角和的余弦展开式求出即可； 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 可得， 解得． 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 因为，故， 因此，， . 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，且，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） ;（2） 或． 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，用椭圆的基本量表示，解得方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示和，并且根据条件，表示坐标的关系，代入根与系数的关系后，消去或，得到关于斜率的方程，解得斜率，求得直线方程. 【详解】（1）依题意，，因为，故． 因，故，故， 故椭圆的标准方程为． （2）若与轴垂直，则的方程为，，为椭圆短轴上两点，不符合题意． 若与轴不垂直，设的方程，由得，． 设，，则，， 由，得，∴， ∴，，， 解得，直线的方程为，即或． 19. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，. （1）求和的通项公式； （2）若， ①求数列的前项和. ②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，根据条件直接求出首项为，公差为及公比为，即可求出结果； （2）由（1）得到，①利用错位相减法即可求出结果；②由①得到，再利用数列的增减性，求出的最大值，即可求出结果. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为，数列的公比为， 因为，且，所以，解得或（舍去） 所以， 又，得到，， 联立解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， ①③， 所以④， 由③④得到， 整理得到； ②因为，由①得到， 又因为，所以，得到， 令，则， 易知，当时，， 当时，，由，得到， 所以当时，递增，时，递减，故的最大值为， 所以实数的取值范围为. 20. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）证明：对任意的，有； 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用导数几何意义求导计算即可；（2）求导，运用导数正负得到单调性，进而得到极值；（3）构造函数，运用导数研究单调性，得到极值最值即可. 【小问1详解】 求导，令，则且. 运用点斜式，化简得到. 【小问2详解】 因为， 令，则， 又因为，，单调递减； ，，单调递增； 所以的极小值为，无极大值． 【小问3详解】 令， 可得，令， ，，单调递增，， ，，单调递减； ，，单调递增； 所以， 所以， 所以，即得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$