4.1函数 同步练习2024－2025学年北师大版数学八年级上册

4.1函数 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.“龟兔首次赛跑“之后,输了比赛的兔子总结惨痛教训后,决定和乌龟再赛一场,图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间,y1表示乌龟所行的路程,y2表示兔子所行的路程),下列说法中①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米;②兔子和乌龟同时从起点出发;③乌龟在途中休息了10分钟:④兔子比乌龟早10分钟到达目的地.正确的有( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.,地相距米,甲,乙两人从起点匀速步行去点,已知甲先出发分钟,在整个步行过程中,甲,乙两人之间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的关系如图所示,下列结论中错误的是( ) A.甲步行的速度为米/分 B.乙用分钟追上甲 C.乙走完全程用了分钟 D.乙到达终点时,甲高终点还有米 3.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论正确的是( ) A.乙前3秒行驶的路程为15米 B.在0到6秒内甲的速度每秒增加6米/秒 C.两车到第2.5秒时行驶的路程相等 D.在0至6秒内甲的速度都大于乙的速度 4.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系,其中y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 5.如图,在Rt PMN中,∠P=90 ,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和点M重合,点B、C(M)、N在同一直线上,令Rt PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止,设移动x秒后,矩形ABCD与 PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是( ) A. B. C. D. 6.油箱中存油升,油从油箱中均匀流出,流速为升/分钟,剩余油量(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是( ) A. B. C. D. 7.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数.如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.根据图中信息,下面4个推断中,合理的是( ) A.消耗1升汽油,车最多可行驶5千米 B.车以40千米小时的速度行驶1小时,最少消耗4升汽油 C.对于车而言,行驶速度越快越省油 D.某城市机动车最高限速80千米小时,相同条件下,在该市驾驶车比驾驶车更省油 8.圆面积公式,下列说法正确的是( ) A.S、是变量,r是常量 B.S是变量,、r是常量 C.r是变量,S、是常量 D.S、r是变量,是常量 9.如图,购买一种苹果所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段和射线组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省( ) A.4元 B.3元 C.2元 D.1元 10.常值函数并不是没有自变量,而是可以看作一次函数中自变量的系数为0,比如常值数即是,那么在这个函数中,当时,( ) A.10 B.0 C.2 D.任意数 11.如图1,在中,,动点P从点C出发,以的速度沿折线运动到点A,其中()的长与运动时间的关系如图2所示,则的周长为( ) A. B. C. D. 12.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下,弹跳高度m与下降高度h的关系. 则m关于h的函数解析式为( ) A.m=h2 B.m=2h C.m= D.m=h+25 二、填空题 13.如图①,在边长为4cm的正方形ABCD中,点P以每秒2cm的速度从点A出发,沿AB BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长度是 cm. 14.正方形的面积S随边长a的变化而变化,其中 是因变量, 是自变量. 15.一个圆的半径长为,如果半径减少,那么这个圆的面积减少值与的关系式是 . 16.了解一个新函数:(且)可以通过画图来研究它的图像,则它恒过点 . 17.小军用100元去买单价为5元的笔记本,他买完笔记本之后剩余的钱y元与买这种笔记本数量x本(,x为正整数)之间的关系式为 . 三、解答题 18.某工厂生产一种益智玩具,每天只生产8小时.一天,生产了3小时后开始包装(生产不停且生产效率不变).如图是这天未包装的玩具数量(件)和时间(小时)的变化关系图象.根据图象信息解决下列问题: (1)每小时生产多少件玩具? (2)每小时包装多少件玩具? (3)请通过计算说明:这天生产结束时,包装是否同时完成? 19.如图1,数轴上点O表示的数是0,点A表示的数是,点P是数轴上一动点,表示的数是x,它与点A之间的距离用y表示. (1)填写下表,在平面直角坐标系内画出y关于x的图象(图2); … 0 … … 2 1 0 1 2 3 … (2)若,则x的值是_; (3)下列说法正确的序号是_; ①变量x是变量y的函数; ②随x的增大而减小; ③图象经过第一、二、三象限; ④当时,y有最小值; (4)若,则x的取值范围是_. 20.下图是小明从家到超市的距离与时间之间关系的图象. (1)图中反映了哪两个变量之间的关系? (2)超市离家多远? (3)小明从超市返回家用了多少时间? (4)小明从家到超市时的平均速度是多少? 21.东明一中门口有甲乙两个图书超市,他们都经营同一种练习本,两个超市的标价都是1元. 甲超市的优惠条件是:购买10本以上,从第11本开始按标价的7折卖; 乙超市的优惠条件是:从第1本开始就按标价的折卖. (1)请分别求出购买的数量x(本)与所花的钱数(元),(元)之间的函数表达式; (2)小明要买22的练习本,到哪家超市购买较省钱? 22.科学家实验发现,声音在不同气温下传播的速度不同,声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化.某科学社团通过查阅资料发现,声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系: 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中,_是自变量;(填汉字) (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为_;(不要求写的取值范围) (3)某日的气温为,小乐看到烟花燃放后才听到声响,那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 23.水池有若干个进水口与出水口,每个口进出水的速度如图1、图2所示,只开1个进水口持续15小时可将水池注满. (1)某段时间内蓄水量与时间的关系如图3所示,时只开2个进水口,时只开1个进水口与1个出水口,时只开1个出水口.求证:; (2)若同时开2个出水口与1个进水口,多久可将满池的水排完? 24.阅读下面的材料: 如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2, (1)若,都有,则称f(x)是增函数; (2)若,都有,则称f(x)是减函数. 例题:证明函数f(x)=是减函数. 证明:设, ∵, ∴. ∴.即. ∴. ∴函数是减函数. 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(x)=(x<0),例如f(-1)==-3,f(-2)==- (1)计算:f(-3)= ; (2)猜想:函数f(x)=(x<0)是 函数(填“增”或“减”); (3)请仿照例题证明你的猜想. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A B B D C C 题号 11 12 答案 C C 1.B 【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确,本题得以解决. 【详解】解:由图象可得, “龟兔再次赛跑”的路程为1000米,故①正确, 兔子和乌龟不是同时从起点出发,乌龟先出发的,故②错误, 乌龟在途中休息了40﹣30=10分钟,故③正确, 兔子比乌龟早10分钟到达目的地,故④正确, 故选:B. 【点睛】本题考查函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 2.D 【分析】由题意和函数图象中的数据可以判断各个结论是否正确,最终可解答本题. 【详解】解:由图可知,甲步行的速度为:米/分,故A正确,不合题意; 乙追上甲用得时间为:分钟,故B正确,不合题意; 乙走完全程用的时间是分钟,故C正确不合题意; 乙到达终点时,甲离终点还有米,故D错误,符合题意; 故选:D. 【点睛】本题考查函数图象,从函数图象获取信息解题的关键. 3.B 【分析】前3s内,乙的速度−时间图象是一条平行于x轴的直线,即速度不变,速度 时间=路程; 甲是一条过原点的直线,则速度均匀增加;求出两图象的交点坐标,2.5秒时两速度大小相等,2.5s前甲的图象在乙的下方,所以2.5秒前路程不相等;图象在上方的,说明速度大,图在下方的说明速度小. 【详解】解:A、根据图象可得,乙前3秒的速度不变,为15米/秒,则行驶的路程为15 3=45米,故A不正确; B、根据图象得:在0到6秒内甲的速度是一条过原点的直线,即甲的速度从0均匀增加到36米/秒,则每秒增加36 6=6米/秒,故B正确; C、由于甲的图象是过原点的直线,速度每秒增6米/秒,可得v=4t(v、t分别表示速度、时间),将v=15m/s代入v=4t得t=2.5s,则t=2.5s前,甲的速度小于乙的速度,所以两车到第2.5秒时行驶的路程不相等,故C错误; D、由图象知,在0到2.5秒内甲的速度小于乙的速度,2.5秒时甲、乙速度相等,大于2.5秒时,甲的速度大于乙的速度,故D错误. 故选:B. 【点睛】此题考查了一次函数的应用,弄清函数图象表示的意义是解本题的关键. 4.B 【分析】函数必须满足:对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值,根据这一要求,结合图像逐个分析四个选项即可. 【详解】∵函数必须满足:对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值, 对于x的取值,y有两个值的情况,不符合函数的定义,故A错误; 对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值,符合函数定义,故B正确; 对于x的取值,y有两个值的情况,不符合函数定义,故C错误; 对于x的取值,y有两个值的情况,不符合函数定义,故D错误; 故选:B. 【点睛】本题考查函数的定义,以及数形结合的思想,熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键. 5.A 【详解】分析:在Rt PMN中解题,要充分运用好垂直关系和45度角,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况,(1)0≤x≤2;(2)2<x≤4;(3)4<x≤6;根据重叠图形确定面积的求法,作出判断即可. 详解:∵∠P=90 ,PM=PN, ∴∠PMN=∠PNM=45 , 由题意得:CM=x, 分三种情况: ①当0≤x≤2时,如图1, 边CD与PM交于点E, ∵∠PMN=45 , ∴ MEC是等腰直角三角形, 此时矩形ABCD与 PMN重叠部分是 EMC, ∴y=S EMC=CM•CE=; 故选项B和D不正确; ②如图2, 当D在边PN上时,过P作PF⊥MN于F,交AD于G, ∵∠N=45 ,CD=2, ∴CN=CD=2, ∴CM=6﹣2=4, 即此时x=4, 当2<x≤4时,如图3, 矩形ABCD与 PMN重叠部分是四边形EMCD, 过E作EF⊥MN于F, ∴EF=MF=2, ∴ED=CF=x﹣2, ∴y=S梯形EMCD=CD•(DE+CM)==2x﹣2; ③当4<x≤6时,如图4, 矩形ABCD与 PMN重叠部分是五边形EMCGF,过E作EH⊥MN于H, ∴EH=MH=2,DE=CH=x﹣2, ∵MN=6,CM=x, ∴CG=CN=6﹣x, ∴DF=DG=2﹣(6﹣x)=x﹣4, ∴y=S梯形EMCD﹣S FDG=﹣= 2 (x﹣2+x)﹣=﹣+10x﹣18, 故选项A正确; 故选A. 点睛:此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意运用数形结合和分类讨论思想的应用. 6.B 【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量,根据等量关系列出函数关系式即可. 【详解】解:由题意得:流出油量是, 则剩余油量:, 故选:B. 【点睛】此题主要考查了列函数解析式,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系. 7.B 【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确,从而可以解答本题. 【详解】解:A、由图象可知,当车速度超过时,燃油效率大于,所以当速度超过时,消耗1升汽油,车行驶距离大于5千米,故此项不合理,不符合题意; B、车以40千米小时的速度行驶1小时,路程为,,最少消耗4升汽油,此项合理,符合题意; C、对于车而言,行驶速度在时,越快越省油,故此项不合理,不符合题意; D、某城市机动车最高限速80千米小时,相同条件下,在该市驾驶车比驾驶车燃油效率更高,所以更省油,故此项不合理,不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的图象,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 8.D 【分析】在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量,由此即可判断. 【详解】解:A、是常量,是变量,故不符合题意; B、是变量,故不符合题意; C、是变量,故不符合题意; D、S、r是变量,是常量,符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查常量,变量,解题的关键是掌握常量,变量的定义. 9.C 【分析】根据图象可求得当,时苹果的单件,从而计算出一次购买3千克苹果和分三次每次购买1千克苹果的付款金额,从而可解答. 【详解】根据图象可得, 当时,每千克苹果的单价是(元), 当时,每千克苹果的单价是(元), 故一次购买3千克这种苹果需要花费:(元), 分三次每次购买1千克这种苹果需要花费:(元), (元), 即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元. 故选:C 【点睛】本题考查了一次函数图象的应用,首先仔细观察函数图象,从中找到信息进行求解. 10.C 【分析】本题考查求函数值,把代入函数解析式,计算即可解题. 【详解】解:当时,, 故选C. 11.C 【分析】本题考查动点问题的函数图象,根据图象可知,点运动的总时间为秒,进而求出的长,再利用周长公式进行计算即可. 【详解】解:由题意和图象可知:,点运动的总时间为秒, ∴, ∴, ∵, ∴的周长为; 故选C. 12.C 【详解】由表中数据知,弹跳高度m是下降高度h的二分之一, ∴m关于h的函数解析式为m=. 故选C. 13. 【分析】根据运动速度乘以时间,可得P点运动的距离,根据线段的和差,可得CP的长,根据勾股定理,即可求出答案. 【详解】解:由图②可知点P运动2.5秒,P在BC上, 由PQ∥BD,得Q在CD上,且∠CQP=∠CDB=45 ,即CQ=CP, CP=AB+BC-2.5 2=8-5=3cm, CQ=CP=3cm, 由勾股定理得:PQ==cm. 故答案为. 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和函数与图象,平行线的性质和勾股定理的知识,熟记知识点使解题的关键. 14. S x 【分析】根据在一个变化过程中,有两个变量x,y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的函数,x叫自变量,可得答案. 【详解】解:由题意,得 面积是S=a2, 其中自变量是x,因变量是S,S是x的函数, 故答案为:S,x. 【点睛】本题主要考查了函数的定义,正确理解函数的定义是解题的关键. 15. 【分析】设圆的面积变化前为S,变化后为则根据圆的面积公式可得,则计算求解即可. 【详解】设圆的面积变化前为S,变化后为 ∴, ∴ 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了函数关系式,解题的关键在于能够熟练掌握圆的面积公式. 16. 【分析】本题考查了函数的图象,零次幂; 根据任何一个不为零的数的零次幂都是1可得答案. 【详解】解:∵,(且) ∴函数恒过点, 故答案为:. 17. 【分析】由剩余的钱=原有的钱﹣用去的钱,可列出函数关系式. 【详解】解:依题意得, 剩余的钱y(元)与买这种笔记本的本数x之间的关系为:y=100﹣5x(0≤x≤20). 故答案为:y=100﹣5x(0≤x≤20). 【点睛】此题主要考查了列函数关系式,关键是明确剩余的钱与用去的钱之间的等量关系. 18.(1)200件 (2)320件 (3)是 【分析】(1)根据函数图象中的数据,3小时生产600件,即可得出答案; (2)设每小时包装件玩具,根据第5小时还剩下360件玩具还没包装,列出方程解之即可; (3)分别求出8小时生产的玩具件数,再求出5小时包装的玩具件数看是否相等即可得出答案. 【详解】(1)解:(件), 答:每小时生产200件玩具; (2)解:设每小时包装件玩具,根据第5小时还剩下360件玩具还没包装,得 , , 答:每小时包装320件玩具; (3)∵一天只生产8小时,又因为生产了3小时才开始包装, ∴到生产结束包装5小时, ∵8小时生产:件,5小时包装了:件, ∴这天生产结束时,包装同时完成. 【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答. 19.(1)画图见详解 (2)2或 (3)④ (4)或 【分析】 本题考查数轴动点问题,两点之间距离,函数图象及性质,一元一次不等式. (1)根据表格中得数据描点画图即可; (2)当时,列式计算即可; (3)观察图象即可; (4)将距离代数式列出,计算一元一次不等式即可. 【详解】(1)将表格中得坐标标出,画图如下: (2)∵,点表示的数是, ∴, ∴或, ∴或, 故答案为:2或; (3)∵变量取一个数值,变量有两个数值与之对应,不符合函数定义,故①不正确; ∵在所画图象中,随的增大而减小和增大而增大均有,故②不正确; ∵距离不为负数,即不经过第三象限,故③不正确; ∵通过观察图象可知,当时,有最小值,故④正确, 故答案为:④; (4)∵, ∴ 根据题意知:,, ∴, 解得:或, 故答案为:或. 20.(1)小明从家到超市的距离和时间 (2)900米 (3)15分钟 (4)米/分 【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到信息解决问题. (1)根据纵轴和横轴,知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系; (2)根据图可知超市离家的距离; (3)根据图可知小明从超市回到家所用的时间; (4)根据速度路程时间进行计算. 【详解】(1)解:根据图形可知:图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系; (2)解:超市离家900米; (3)解:小明从超市返回家用了(分钟); (4)解:小明从家到超市时的平均速度为:(米/分). 21.(1)在甲超市中,不超过10本时,,当超过10本时,, (2)到甲超市购买较省钱 【分析】本题主要考查了列函数关系式和求函数值,正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键. (1)在甲超市中分不超过10本时,超过10本时两种情况求解,在乙超市直接用单价乘以数量乘以折扣即可; (2)根据(1)所求代入,求出,,然后比较即可得到答案. 【详解】(1)解:在甲超市中,不超过10本时,则,当超过10本时,则,; (2)解:当时,(元),(元), 到甲超市购买较省钱. 22.(1)气温 (2) (3)1372m 【分析】本题主要考查变量的表示方法,常量与变量,理解常量与变量的定义,求出函数关系式是解题的关键. (1)根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案; (2)根据表格中的数据求出关系式; (3)根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度,从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离. 【详解】(1)解:由题意得,在这个变化过程中,气温是自变量,声音在空气中的传播速度是因变量, 故答案为:气温; (2)由题意得,气温每上升声音在空气中的传播速度增大, ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为, 故答案为:; (3)解: , 答:小乐与燃放烟花所在地大约相距远. 23.(1)见解析 (2)5个小时 【分析】(1)根据题意和图象,可以得到、、的值,从而可以得到、、的关系,即可证明结论成立; (2)根据题意,可以列出相应的算式,求出同时开2个出水口与1个进水口,多久可将满池的水排完. 【详解】(1)证明:由图1可知,进水口的速度为,则, 由图2可知,出水口的速度为,则,, , ; (2) (小时), 答:若同时开2个出水口与1个进水口,5小时可将满池的水排完. 【点睛】本题考查函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 24.(1);(2)减;(3)详见解析 【分析】(1)根据题目中函数,将代入f(x)=(x<0),即可求解f(-3)的值; (2)取,代入函数f(x)=(x<0),求得f(-2)的值,结合(1)比较f(-3)和f(-2)的大小,再根据材料信息进行判断即可; (3)根据题目中例子的证明方法,结合(1)和(2)可证明猜想成立. 【详解】解:(1)计算:f(-3)==, 故答案为:; (2)由(1)知,f(-3)=, 当时,f(-2)=, ∵,, ∴猜想:函数f(x)=(x<0)是减函数 故答案为:减; (3)证明:设, =, ∵, ∴,,, ∴, 即, ∴, ∴函数f(x)=(x<0)是减函数,猜想得证. 【点睛】本题考查函数的概念,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数的性质解答. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$