精品解析：湖南省祁阳市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024年下期祁阳一中高二数学期中考试 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 2 4. 一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. 5 8. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 10. 变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 12. 已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A. 点的纵坐标为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数__________． 14. 记为等差数列的前项和，若，则___________. 15. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为________. 16. 已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________. 四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期祁阳一中高二数学期中考试 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集概念进行计算. 【详解】. 故选：C. 2. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”， 但“能至”一定“有志”， 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件. 故选：D. 3. 已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，得出和的关系，利用基本不等式求出的最小值 【详解】由题意， 在等比数列中，，， 由等比数列的性质，可得，， 当且仅当，时，等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：D. 4. 一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，由题可得点B关于轴的对称点，后可得直线方程，则直线与轴交点即为点P. 【详解】如图，由题可得关于轴的对称点为， 则直线方程为： ，令，得， 则点P. 故选：D 5. 在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设平面的法向量为，根据向量的坐标运算求出，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】设平面的法向量为，则所以， 令，则，，所以以是平面的一个法向量． 点到平面的距离，故该三棱柱的高为． 故选：B 6. 已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解. 【详解】设的中点为， 因为，则， 因为点P在曲线上， 所以将代入曲线， 则，即， 所以的中点的轨迹方程是. 故选：C. 7. 已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式. 8. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，借助换元法将原不等式转化成不等式组求解. 【详解】由上的奇函数在上单调递减，得在上单调递减，， 由，得，令，则不等式， 于是或，由，得，则，解得， 由，得或，则或，解得 或， 因此或或，解得或或， 所以原不等式的解集为. 故选：D 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 10. 变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可. 【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确； 当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确； 当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线; 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线. 故D错误； 故选：AB. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题. 和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值. 12. 已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A. 点的纵坐标为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距．根据题意列方程求解． 【详解】令解得：，令解得，由题意得：，解得：． 【点睛】本题主要考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距． 14. 记为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】得 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 15. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论双曲线的焦点在x或y轴上，求得渐近线方程，可得或，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 【详解】由题意得，当双曲线的焦点在x轴上时， 此时， 此时双曲线的离心率为， 当双曲线的焦点在y轴上时， 此时， 此时双曲线的离心率为. 故答案为或； 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意讨论焦点的位置，考查渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题． 16. 已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件可得出关于和的方程组，即可解得的值. 【详解】根据题意，是奇函数，则， 由于是偶函数，则， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键就是利用两个函数奇偶性列举出关于和的方程组求解，容易出错的地方在于错误地理解为由为奇函数得出为奇函数，由为偶函数得出函数为偶函数，导致错解. 四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，结合已知条件列出方程，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差、等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由（1）知，则 . 18. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【小问1详解】 解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． 【小问2详解】 解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $