5.1.1 从算式到方程 课件-2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.1.1 从算式到方程 第五章 一元一次方程 学习目标 1．掌握方程、方程的解的概念，会检验一个数值是不是方程的解； 2．通过观察、归纳一元一次方程的概念，理解一元一次方程的定义，会判断一个方程是不是一元一次方程. 新课导入 新课导入 新课导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 如何用算术解决这个问题？ 新知探究 一、方程 【探究1】 【思考】上述问题中涉及到了哪些量？ V乙= 0.8 km/h V甲= 1.2 km/h 甲 乙 大本营 一号营地 二号营地 1 km 3 km 会合 路程 速度 时间 一、方程 大本营 一号营地 二号营地 1 km 3 km 会合 甲 乙 如果设两队行进的时间为 x h，用含 x 的式子表示上面关系： 甲队行进的路程为：1.2x km 乙队行进的路程为：0.8x km 甲队距大本营的路程为：(1.2x + 1) km 乙队距大本营的路程为：(0.8x + 3) km 想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？ 1.2x km 0.8x km V乙= 0.8 km/h V甲= 1.2 km/h 一、方程 甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 这是一个含有未知数 x 的等式 大本营 一号营地 二号营地 1 km 3 km 会合 甲 乙 1.2x km 0.8x km V乙= 0.8 km/h V甲= 1.2 km/h 设两队行进的时间为 x h. 【问题1】用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 一、方程 设小水杯单价为 x 元， 则大水杯单价为 (x + 5) 元. 3(x + 5)= 4x 相等关系： 3×大水杯单价 = 4×小水杯单价 【问题2】如图，一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8 : 5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 一、方程 设这枚纪念币长为 x mm， 则这枚纪念币长为 mm. = 4 000. 相等关系：长×宽 = 4 000 . 【定义总结】 一、方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 3x = 4( x-5 ) 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 一、方程 【溯源】 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 一、方程 比较：列算式和列方程 列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难. 列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便. 从算式到方程是数学的进步！ 练习巩固 下列式子中，是方程的有___________. ①7-1 = 6； ②3x + y = 10； ③x-1； ④ ； ⑤x > 3； ⑥x = 1； ⑦a2-1 = 0； ⑧b2 ≠ -1. ②④⑥⑦ 一个式子是方程必须同时满足两个条件: （1）含有未知数(未知数都是用字母表示)； （2）必须是等式(标志就是含有“＝”). 练习巩固 【教材P113】 例1 根据下列问题，设未知数并列方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ 解：设这所学校的学生一共 x人，那么女生一共 人， 男生一共 人， 列得方程： 0.52x - (1 - 0.52)x = 80. 女生人数 - 男生人数 = 80 0.52x (1 - 0.52)x 练习巩固 （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. x m x m 5 m 解：设正方形绿地边长为 x m，那么扩大后的绿地面积为 m2， (x2 + 5x) 列得方程： 原绿地面积 + 扩大面积 = 500 x2 + 5x = 500. 一、方程 【归纳】 请同学们思考： 1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2. 列方程的依据是什么？ 实际问题 方程 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 二、方程的解 【探究2】列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值. 1.2x + 1 = 0.8x + 3 设两队行进时间为 x h，可列方程 当 x = 5 时，左边 = 1.2×5 + 1 = 7， 右边 = 0.8×5 + 3 = 7， 这时，方程左边的值 = 右边的值 总结 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 练习巩固 例2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？ 【教材P114】 解：当 x = 2 时，方程 2x = 3 的左边 = 2×2 = 4， 右边 = 3， 方程左、右两边的值不相等， 所以 x = 2 不是方程 2x = 3 的解. 练习巩固 例2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？ 【教材P114】 右边 = 3， 方程左、右两边的值相等， 当 x = 时，方程 2x = 3 的左边 = 2× = 3， 所以 x = 是方程 2x = 3 的解. 练习巩固 （2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？ 当 x = 10 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×10 = 30， 右边 = 4×(10-5) = 20， 方程左、右两边的值不相等， 所以 x = 10 不是方程 3x = 4(x-5) 的解. 练习巩固 （2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？ 当 x = 20 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×20 = 60， 右边 = 4×(20-5) = 60， 方程左、右两边的值相等， 所以 x = 20 是方程 3x = 4(x-5) 的解. 二、方程的解 检验一个数是否是方程的解的方法： 把这个数分别代入方程的左、右两边， 当左边＝右边时，这个数是方程的解， 当左边 ≠ 右边时，这个数不是方程的解. 【解题策略】 三、一元一次方程 【探究3】 观察方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 3x = 4( x-5 ) 它们有什么共同特征？ 0.52x－(1-0.52)x = 80 只含一个未知数的等式 未知数的次数都是 1 含有未知数的式子都是整式 三、一元一次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的三个要素： ①只含有一个未知数； ②未知数的次数都是 1； ③是整式方程 三者缺一不可 练习巩固 下列式子中，是一元一次方程的是______（填序号）. ①1+4 = 2+3； ② x + y = 1； ③ = 3； ④x2 -2x-1 = 0；⑤ = 3； ⑥6 + 5y = 2y -3. 不含未知数 含有两个未知数 是 未知数最高次数是2 不是整式 是 ③⑥ 三、一元一次方程 【溯源】 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程，现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. 练习巩固 练习巩固 【针对训练1】下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ （1）2+3 = 3+2； （2）8y-9=9-y；（3）x2+2x+1=4. 解：（2）（3）是方程， （2）是一元一次方程. 【选自教材P115 练习 第2题】 练习巩固 【针对训练2】根据下列问题，设未知数并列出方程： 1. 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元，用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？ 解：设甲种铅笔买了 x 支，则乙种铅笔买了(15-x)支. 依题意得 1.4x + 1.8(15-x) = 23. 练习巩固 2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计). 解：设截下的那段电线的长度为 x m. 依题意得 90-x = 40 + x . 练习巩固 3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 解：设内沿小圆的半径是 r cm. 依题意得 π×102 - πr2 = 200. 练习巩固 【针对训练3】已知关于 x 的方程 (k - 2)x|k|-1+6= 3k 是一元一次方程，则 k =_______. 分析： 一元一次方程 一元 一次 x 次数为 1 |k| - 1 = 1 x 的系数不为0 k - 2 ≠ 0 k = ±2 k ≠ 2 -2 课堂小结 实际问题 设未知数 用含有未知数的等式表示相等关系 方程 使用数学解决实际问题的一种方法，这个过程可以表示如下： 使方程中等号左右两边_____的未知数的___，这个值就是方程的解 如果只含有_____个未知数(元)，且含有未知数的式子都是______，未知数的次数都是_____，这样的方程叫作一元一次方程 相等 一个 方程的解 1 整式 值 一元一次方程 求方程的解的过程，叫作________ 解方程 课堂小结 习主席在北京大学的讲座上说:青年有着大好机遇，关键是要迈稳步子、夯实根基、久久为功。“天下难事，必作于易”，我们从最简单的生活实例中探寻数学力量，学着用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，学着合作，学着创新，今天是我们方程单元的开始，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础，“天下大事，必作于细”，成功的背后水远是艰辛努力，希望你们可以坚持到底，不断在数学学习中获得力量! 学完这节课，同学们还有哪些收获？ 当堂练习 1.在 ①2 - 5；②1 + 7x = -8y + 3；③x = 6；④3x = 2x - 9；⑤2x>7中，方程共有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 当堂练习 D 2.下列方程中，一元一次方程的是 ( ) 当堂练习 3.下列方程中，解是 x＝2 的方程是 ( ) D 当堂练习 4.已知：方程 (m - 3)x|m|-2 + 3 = m - 6 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值. 解：由题意，得 |m| - 2 = 1， 且 m - 3 ≠ 0. 解得 m = -3， 所以 m 的值为 -3. 作业布置 必做：《新课程》P88-91 选做：《新课程》P90第12题. A. x＝ A －2 B. 2x－3y＝3 C. x2－2x＝1 D. 2x－ A ＝3 A. A x＋4＝6 B.－ A x＋6＝5x C. 15－ A x ＝0 D. 7x－ 10＝4 $$