3.3.2.1空间向量运算的坐标表示、空间向量平行和垂直的条件课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.3.2.1空间向量运算的坐标表示、空间向量平行（共线）和垂直的条件 高中数学 南阳市宛城区豫阳外国语学校 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号： 顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！ 南阳市宛城区豫阳外国语学校 1.掌握空间向量的坐标表示及其运算. 2.理解空间向量平行与垂直的条件. @demon 和盘托出 南阳市宛城区豫阳外国语学校 探究1 平面向量的坐标是如何定义的？ @demon 三学理解 南阳市宛城区豫阳外国语学校 4 1.标准正交基 在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基. 知识梳理 单位 互相垂直 6 2.空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组________________，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.把三元有序实数组________________叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝________________，单位向量i，j，k都叫作__________，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量. (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 坐标向量 投影向量 7 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 终点坐标减去起点坐标 温馨提示 例1 以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 10 思维升华 训练1 易知B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2). 12 探究3 类比平面向量运算的坐标表示，能否得出空间向量运算的坐标表示？ 提示　可以. 13 知识梳理 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝_________________________ 减法 a－b＝_________________________ 数乘 λa＝___________________________ 数量积 a·b＝______________________ (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1)，λ∈R x1x2＋y1y2＋z1z2 14 温馨提示 例2 因为a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)， 所以c＝4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2) ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20). 所以a·c＝0＋18＋80＝98. 16 思维升华 关于空间向量坐标运算的两种形式 (1)直接利用坐标公式 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标. (1)已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于 A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3) (2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 训练2 √ 2 (1)b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)， 故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 18 探究4 平面向量中的结论：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.此结论在空间向量中能推广吗？ 提示　不能推广. 19 知识梳理 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 1.当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得_________________ 2.当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔__________________. 3.a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________________. 20 温馨提示 例3 已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，分别求满足下列条件的实数k的值： (1)(ka＋b)∥(a－3b)；(2)(ka＋b)⊥(a－3b). ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16). (1)若(ka＋b)∥(a－3b)， 22 思维升华 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. 训练3 √ 24 1、背诵空间向量坐标的求法 2、背诵记忆空间向量的运算法则 3、背诵记忆空间向量共线和垂直的条件 @demon 强化记忆 南阳市宛城区豫阳外国语学校 √ @demon 应用练习 南阳市宛城区豫阳外国语学校 27 √ 由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)， ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， 28 3.已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. -4 易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. 29 4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为________. 30 1、把课堂检测习题同桌互批，各组长将检测结果汇总交给老师 2、强化记忆内容没有记住的学生继续进行强化记忆 @demon 检测总结 南阳市宛城区豫阳外国语学校 0号作业：牢记强化记忆内容 1号作业：课本P114 练习1、2、3、4 2号作业：课本P114 练习5、6、7 作业布置 南阳市宛城区豫阳外国语学校 有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标， 记作a＝(x，y)， 有序实数对(x，y)坐标平面内的向量. 提示　令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量. ＝＋＝xi＋yj，a＝xi＋yj， 空间中＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). 探究2 在平面中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的坐标如何表示呢？ 在空间中若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则的坐标如何表示呢？ 提示　平面中＝(x2－x1，y2－y1)， 3.若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝________________________. 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 ___________________________. (1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0. (2)在空间直角坐标系O－xyz中，若＝p，则＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z). (3)向量的坐标由表示向量的有向线段的起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响. 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 设＝i，＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同(O为坐标原点). (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点.建立如图所示的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 因为E，F分别为棱BB1，DC的中点， 由中点坐标公式得E(2，2，1)，F(0，1，0)， 所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1). (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致. (2)向量的坐标就是点P在空间直角坐标系O－xyz中的坐标. 由b＝c－2a，得c＝4a＋2b. (链接教材P113例2)已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝c－2a，求c，a·c. ＝＝. x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0). (2)若a∥b，则 ＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 则＝＝，解得k＝－. (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)， 则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝. (1)若在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为 A. B.－ C.2 D.± ＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k)，因⊥，故·＝0，即 18＋2－2k2＝0，k＝±. 平行.因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以2a－b＝(3，2，－2)， 又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c. (2)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ ＝＝－，＝＋＝(9，1，1). 1.已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为 A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1) 2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4 C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1 ∴解得 ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝. $$