精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试题

邢台一中2024—2025学年第一学期第三次月考 高一年级数学试题 考试范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、函数的概念与性质、指数函数与对数函数 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用列举法表示集合B，进而可得交集. 【详解】由题意可知：，， 所以. 故选：D. 2. 2025°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故选：C. 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由可确定A；对于B，由能取到所有正数可确定集合B；对于CD，由AB选项分析，结合交集，并集定义可判断选项正误. 【详解】A选项，的定义域为,则. 当时，，解得，故定义域不是R，不满足题意； 当时，由.故要想的定义域为R， 实数的取值范围为，故，A错误； B选项，的值域为，则能取到所有正数. 当时，能取到所有正数，满足要求， 当时，要想能取到所有正数， 需且，解得， 综上，，故，故В错误； CD选项，所以，故C错误，D正确. 故选：D 5. 设函数，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 前3个答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数结合题意分析可得的符号，可得过点，代入运算求解即可. 【详解】显然的定义域为， 若， 当时，，可得； 当时，； 当时，，可得； 又因为在上单调递增，可知过点， 则，即，所以. 故选：A. 6. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求的解析式，结合图象判断的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】若，则，且函数是上的奇函数， 可得， 即，作出函数的图象， 由图象可知在定义域上单调递增， 若，则，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：C. 7. 若，且，则下列各式中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再根据不等式的性质和对数的运算性质及对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵且， ∴， 于是， 即，所以①， 又， ∴②， ③， 由①②③知最大. 故选：B. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增， ，题意，所以. 对于方程，即， 两边除以得， 函数，在上单调递增， ，所以有唯一零点在区间， 所以方程有唯一解. 故选：B 【点睛】思路点睛： 设定函数并分析单调性：首先设定函数（换元法），并根据定义域和题目条件，分析函数的单调性. 利用零点存在性定理判断解的个数：结合函数的单调性和零点存在性定理，判断方程解的个数，从而得出最终结论. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 10. 对于任意的表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；由取整函数的定义得，进而判断BC；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集. 【详解】对于A：当时，，当时，， 即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，则， 因此函数的值域为，B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 则，C正确； 对于D：由，得，解得， 而，则或，因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件推出周期性和奇偶性，A选项有函数的奇偶性的性质结合周期性判断，B由函数的周期性分组求和即可；CD画出图像，数形结合求解； 【详解】由于为偶函数，则关于对称，则， 故，结合可得， 用取代，得到，用取代，得到， 于是，的周期为4，由可得， 结合可得，故为奇函数. 对A，由幂函数的性质，在上单调递增，由奇函数的性质，在上递增， 又关于对称，则在上递减，又周期为4，故在上单调递减，故A错误； 对B，奇函数的定义域为，故，又周期为4，故， 由，取得到，取，得到， 故， 所以，故B正确； 对C，在同一直角坐标系中作出和的图像如下： 由图象可得有两个交点，故有两个零点，故C正确； 对D，先作出在上的图象， 由，根据对称性，四个点的横坐标之和为，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 利用分数指数幂计算该式___________.（式中字母为正数） 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂和根式的转化，结合指数幂的运算律计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案. 【详解】，而单调递减， 故， 若，由可得，故， 此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，由可得，故，此时，不合要求. 故答案为： 14. 设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据的取值讨论即可求解. 【详解】设，， 由可得：. 要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则，解得：或. (1)当时，，作出函数的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不满足题意； (2)当时，设函数的两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：； (3)当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； (4)当时，设函数的两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：，此时， 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合. （1）求B； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数函数单调性运算求解，即可得集合B； （2）根据题意结合包含关系列式求解，注意集合A不为空集. 【小问1详解】 由，得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，， 且，则，解得； 所以m的取值范围是. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是上的奇函数， 所以，即，解得，从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知， 任取，，且，则 因为，所以，所以，即， 所以在R上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 17. 一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. （1）求的函数关系式； （2）有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 【答案】（1） （2） 当时， ， 解得:， 所以； 当时，， 解得，所以， 综上时学生听课效果最佳. 此时. 所以，教师能够合理安排时间讲完题目. 故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完. 【解析】 【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可. (2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【小问1详解】 当时，设， 将点(14,81)代入得， ∴当时，； 当时，将点代入，得. 所以 【小问2详解】 略 18. 设函数，. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）求的值； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设函数的对称中心为：，根据函数为奇函数，求的值. （2）根据（1）中的结论，可得，利用该式可化简求值. （3）问题转化为函数在上的值域是在上的值域的子集，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 设函数的对称中心为：，则函数为奇函数. 所以，即， 所以 . 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 因为函数的对称中心为. 所以. 所以，，，…，， 所以. 【小问3详解】 因为，为增函数，且，， 所以函数，的值域为. 因为时，. 所以若，即，则； 若，即，则； 若，即，则； 若，即，则. 又函数的图象关于点对称， 所以当时，函数，的值域为，由可得； 当时，函数，的值域为，由，可得； 当时，函数，的值域为，由，可得； 当时，函数，的值域为，由可得. 综上可知：.即所求实数的取值范围是：. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2024—2025学年第一学期第三次月考 高一年级数学试题 考试范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、函数的概念与性质、指数函数与对数函数 说明： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 4. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 前3个答案都不对 6. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则下列各式中，最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意的表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 利用分数指数幂计算该式___________.（式中字母为正数） 13. 已知，，，则实数a的取值范围是______． 14. 设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合. （1）求B； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. （1）求的函数关系式； （2）有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 18. 设函数，. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）求的值； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $