5.6三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与5.7三角函数的应用-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教2019A版专用）

5.6三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与5.7三角函数的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 16 【提升训练】 31 知识回顾 1. 探索φ(φ≠0)对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象. 2. ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是，把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 3. A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. (2)通过y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象方法： 先画出函数y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 4. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 5. 简谐运动的物理量 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 6. 拟合函数模型 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 2．（24-25高三上·四川成都·期中）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 4．（22-23高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 7．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一·全国·课后作业）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：    体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示： 高潮期 低潮期 体力 体力充沛 疲倦乏力 情绪 心情愉快 心情烦躁 智力 思维敏捷 反应迟钝 如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（    ） A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷 10．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与以为圆心，1为半径的圆交于点，射线绕点逆时针旋转后交圆于点，若点的纵坐标为，设，则（   ） A． B． C．函数的单调递增区间为 D．的对称中心为 11．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为的图象的一个对称中心 C．在上单调递增 D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）简谐运动可以用函数，表示，其中，．则初相为 ． 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 14．（23-24高一下·北京·期中）一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 16. (15分) （23-24高一·全国·课后作业）如图为某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次? (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A算起呢? 17. (15分) （22-23高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 18. (17分) （24-25高三上·山东淄博·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 19. (17分) （22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）重庆市第十一中学校开展生物课程基地建设工作.如图所示，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上． (1)当点分别在边的中点和靠近的三等分点时，求的余弦值； (2)实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须是1.2千米，请研究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B A A A A BC BC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】求出振幅，周期，初相. 【详解】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 2．A 【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案. 【详解】， 所以将函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：A 3．D 【分析】最小值和最大值之间的横坐标相差周期，由此可以知道答案. 【详解】因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期， 而乙在最低点， 所以经过周期后，乙点与丁点相同. 故选：D. 4．B 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 5．A 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数的解析式，进而可得函数值. 【详解】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得， 再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数， 所以， 故选：A. 6．A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    7．A 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 8．A 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解. 【详解】由题意可得， 由于的图象关于点对称，故， 故,解得， 取，为最小值， 故选：A 9．BC 【分析】根据图象求得体力周期、情绪周期、智力周期，根据周期性求得正确答案. 【详解】由题图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为． 从同学甲出生到今日的天数为5860， 故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力； 对于情绪，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快； 对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝． 故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．BC选项正确. 故选: BC 10．BC 【分析】由已知条件直接验算AB即可；对于CD，整体代入法求单调区间、对称中心，对比即可求解. 【详解】对于A，由题意，所以，故A错误； 对于B，由题意，故B正确； 对于C， ， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 对于D，， 所以的对称中心为，故D错误. 故选：BC. 11．AB 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数，最小正周期，故A正确； ，则为的图象的一个对称中心，故B正确； 时，，易知在上先减后增， 故在上先减后增，故C错误； ， 在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象如下所示， 观察可知，它们有3个交点，故D错误. 故选：AB    12． 【分析】略 【详解】略 13． 【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解. 【详解】， 则由，有，即， 的周期，故，又，故， 则有，解得， 又，故. 故答案为：. 14． 20 【分析】根据给定信息，利用的值求出，再利用周期求出. 【详解】依题意，，而，因此， 又飞机每15分钟飞行一周，则函数的周期小时，因此. 故答案为：20； 15．(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】根据周期的定义求解； 【详解】（1）由图像易知这个简谐运动从O点到D点往返一次，需要0.8 s； （2）如果从点O开始算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动，如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动. 综上，往返一次的时间是0.8s. 17．(1)， (2)5分钟或25分钟 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【详解】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米 18．(1) (2) 【分析】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果； （2）由平移规则可得，再根据正弦函数的性质即可得出其值域. 【详解】（1）由，根据图象可知，解得； 设函数的最小正周期为，由图可知，又， 即可得，解得， 代入，可得， 即，又，所以， 因此. （2）由题意可得， 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 19．(1) (2)是定值， 【分析】（1）由题意得，根据两角和的正切公式求得，进而求得； （2）设，所以，在直角三角形中，由勾股定理得，再根据两角和的正切公式得，即可求解． 【详解】（1）由题意可知， 所以， 由题意可知，所以， 所以，故 （2）是定值； 设，所以， 在直角三角形中，， 所以， 整理得， 因为， 所以 将代入上式可得， 所以， 所以为定值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 3．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 8．（2022·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 10．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在时取得最大值 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的一个对称中心是 11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．小球在内经过的路程为10cm D．时，小球正在向上运动 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·北京海淀·期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为 ，10月份的平均气温为 °. 13．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ． 14．（22-23高三上·北京·阶段练习）把函数的图像向左平移个单位，所得到的图像对应的函数为奇函数，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻时相对于平衡位置的位移由下列函数关系式确定： ． (1)以为横坐标，为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 16. (15分) （24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 17. (15分) （23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 18. (17分) （23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________. ①点在函数的图象上； ②函数的一个零点为； ③的一个增区间为. 请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题： (1)求的解析式； (2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象. 19. (17分) （24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D A B A AC BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 2．D 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D. 【详解】. 因为，的最小正周期为， 所以，解得，故A选项正确； 所以，， 因为，所以，函数图象关于点对称，B选项正确； 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以,即， 又，所以的最小值为，C选项正确； 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误. 故选：D. 3．B 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故选：B 4．B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据平移规律，即可求解. 【详解】由图象可知，，，得， 由五点法作图可知当时，，得， 所以，， ， 所以可以将向右平移个单位长度，即可得到的图象. 故选：B 5．D 【分析】根据平移得，进而根据整体法即可求解单调区间. 【详解】根据题意可知， 令,解得，， 故的递增区间是，， 故选：D 6．A 【分析】由正弦型函数的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，求出的值，可得函数的最小正周期，进而可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值. 【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知， 阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即， 由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又， 所以，，则， 因为，所以，即， 因为，所以. 故选：A. 7．B 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，由图可知，，函数的最小正周期， 故A正确； 由，，知， 因为，所以，所以，， 即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，， 所以，故B不正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 因为当时，， 所以得到的函数图象关于点对称，故D正确. 故选：B. 8．A 【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值. 【详解】解法一： ， 则， 因为满足， 所以函数的图象关于直线对称， 所以，，所以，， 因为，所以的最小值为．故选:A． 解法二 ， 则， 因为满足， 所以函数的图象关于直线对称． 因为，所以， 即， 所以，，所以，， 因为，所以的最小值为． 故选：A． 9．AC 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，当时，， 所以，函数在上不单调，B错； 对于C选项，因为， 所以，直线是函数图象的一条对称轴，C对； 对于D选项，因为， 所以，函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到，D错. 故选：AC. 10．BC 【分析】根据三角函数的性质，利用整体法即可求解AC，根据周期公式即可判断B,代入验证即可求解D. 【详解】对于A，令,则，故当时，取最大值，故A错误， 对于B，的最小正周期为，故B正确， 对于C，当，则，故在区间上单调递减，C正确， 对于D, ,故是的对称轴，故D错误， 故选：BC 11．ABD 【分析】根据题意，由函数周期可得，由时，小球位于最高点，可得，再由条件可得，然后结合正弦型函数的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意，，，， 当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确； 对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误； 对于D，当时，由周期性，等价于， 此时， 由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过轴，小球正在向上运动，故D正确， 故选：ABD. 12． / 【分析】根据题意，求得，得到，利用余弦函数的周期公式求解最小正正周期，将代入求解即可. 【详解】由函数， 因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为， 可得且，解得， 所以函数，所以函数的最小正周期为； 令，可得，即为. 故答案为：；. 13． 【分析】先根据条件确定函数周期，进而确定的值，再求对应的函数值. 【详解】因为， 又因为在区间上恰有两个极值点，且， 所以的最小正周期，即， 所以． 故答案为： 14．. 【分析】根据相位变化得到，由奇函数列方程，即可求解. 【详解】把函数的图像向左平移个单位，得到. 要使函数为奇函数，只需，所以. 因为，所以当时，最小. 故答案为：. 15．(1)详见解析； (2)详见解析； 【分析】（1）利用“五点法”作图； （2）利用振幅、周期、频率和初相的定义求解. 【详解】（1）解：列表： 0 2 0 -2 0 一个周期内的简图如图所示：    （2）因为， 所以该简谐振动的振幅为2、周期为、频率为、初相为. 16．(1)，； (2)；. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【详解】（1）由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 17．(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 18．(1)无论选哪个条件，函数的解析式均为. (2)答案见解析 【分析】（1）若选①，则，若选②，则，若选③，则，由此求出分别求出即可得解. （2）直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可. 【详解】（1）由题意最小正周期为，解得，所以， 若选①，则，所以， 又，所以， 所以函数的解析式为； 若选②，则，所以， 又，所以， 所以函数的解析式为； 若选③，即的一个增区间为， 当时，， 又， 由复合函数单调性可知，只能， ，所以函数的解析式为； 综上所述，无论选哪个条件，函数的解析式均为. （2）列表如下： 0 0 1 0 0 描点、连线（光滑曲线）画出函数一个周期内的图象如图所示： 19．(1)， (2)或 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简和正弦函数的性质可得，利用整体代换法计算即可求解； （2）令，利用换元法可得，解之即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小值为，解得. 即， 令 解得， 所以的单调递增区间为. （2）由已知可得， 所以不等式即为， 令，则由，得， 则原不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象可得或， 即或， 所以原不等式在区间上的解集为或. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 2．（2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象经过点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 11．（24-25高三上·浙江·期中）某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（   ） A． B． C．该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D．该路段改造后的停车位比改造前增加9个 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    13．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为 ． 14．（21-22高一下·山东日照·期末）若函数部分图像如图所示，则函数的图像可由的图像向左平移 个单位得到. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值； (2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围． （参考公式：．） 16. (15分) （24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数（，）图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为. (1)求的解析式； (2)若，求的最小值， 17. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 18. (17分) （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间单调，，且 (1)求图象的一条对称轴； (2)求的解析式； (3)在锐角中，若，求的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C C C A AC ACD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 2．A 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 3．A 【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解. 【详解】由题图可得，则， 当时，y取得最小值，为，得， ∵函数的图象过点， ∴，即，又，∴，∴. 当时，. 故选：A. 4．C 【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数的图象，由所得图象经过点和的范围可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，由所得图象经过点，可得， 则，，则，，又，所以的最小值为． 故选：C． 5．C 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可. 【详解】 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到数的图象，所以， 则，所以， 由图像可得，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：C. 6．C 【分析】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标. 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C 7．C 【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果. 【详解】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 8．A 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可. 【详解】由， 易知，令， 则由题意知. 故选：A 【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可. 9．AC 【分析】先通过条件求出，再利用三角函数的性质逐一判断选项对错. 【详解】，向左平移个单位得， 对于A：，A正确； 对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误； 对于C：，的图象关于直线对称，C正确； 对于D：，的图象不关于点对称，D错误. 故选：AC. 10．ACD 【分析】利用三角函数图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】由图象可得，，函数的最小正周期为， 故，则， 则，可得， 因为，则，所以，解得， 所以. 对于A选项，因为， 所以直线为函数的一条对称轴，故A正确； 对于B选项，当时，， 所以函数在上不单调，故B错误； 对于C选项，为奇函数，故C正确； 对于D选项，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ACD. 11．AD 【分析】根据构造对偶式求出，再根据的范围可得答案. 【详解】∵， ∴， 构造对偶式可得， ，平方相加得， 由，可得或， 又，所以，， 该路段改造后的停车位比改造前增加9个. 故选：AD. 12．/ 【分析】首先连结，设，，利用三角函数表示四边形的面积，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】过点分别作分别垂直于点，    则，，又， 所以，所以， 所以平行四边形的面积和长方形的面积相等， 设，， 则，，， 所以， 所以四边形的面积， 所以 ， 因为，所以， 故当即时，面积取得最大值为. 故答案为：. 13． 【分析】把的范围转化为的范围，再结合的图像性质即可得出结论. 【详解】因为，所以，由可得：， 根据的图像性质可知，要想满足题意，只需， 解得：. 故答案为： 14． 【分析】根据图像可确定，进而根据平移即可求解. 【详解】由图最高点可知,周期,所以可得最高点,故,将其代入，由于，故， 所以，故可由的图像向左平移个单位得到. 故答案为： 15．(1)4 (2) 【分析】（1）通过，得，再根据不等式恒成立建立不等式可求解； （2）先通过变换得，再通过换元转化为二次方程有解问题，最后通过分离及函数的单调性可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2， 所以． 由题意得，，所以对一切恒成立， 所以，解得， 所以整数m的最大值为4． （2）由题意知，， 将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得， 再向右平移个单位得， 因为关于x的方程在区间上有解， 整理得：， 即（*）在区间上有解， 令， 由 从而（*）式可转化为：在内有解， 所以，， 又因为和在为增函数， 所以在为增函数， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值， 所以， 综上所述：k的取值范围为． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用的图象与性质，即可求出，即可求解； （2）由，解得或，再结合图象，即可求解. 【详解】（1）因为图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为， 易知，，又，得到，所以， 又由，得到，又，所以， 所以的解析式为. （2）由（1）知，由，得到， 所以或，即或， 又，和的图象如图， 由图知，的最小值为. 17．(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由最小正周期，且且，可得图像的一条对称轴. （2）由（1）知，故，由，得，2或再由直线为图像的一条对称轴可得，又由，可得，或得出或，判断出当时从而得，即得答案. （3）因为，得，再根据三角形为锐角三角形得出B的范围，根据二倍角公式化简问题式结合对勾函数的性质计算即可. 【详解】（1）由题可知函数的最小正周期, 又因为且， 所以直线为图像的一条对称轴； （2）由（1）知，故，由，得，2或 由直线为图像的一条对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数，，使得，2或 若，则， 即不存在整数，，使得或3； 当时，，此时， 由，得，所以. （3）因为，所以, 因为在锐角中，，所以， 由，得，,则； 而， 当且仅当，即时，取最小值， 当或1时，，则的值域为， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的图象与性质分类讨论可求解析式；由三角形为锐角三角形确定B的范围，通过二倍角公式化简结合对勾函数的性质可计算范围. 19．(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【详解】（1） ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； （2）设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与5.7三角函数的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 9 【提升训练】 14 知识回顾 1. 探索φ(φ≠0)对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象. 2. ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是，把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 3. A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. (2)通过y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象方法： 先画出函数y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 4. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 5. 简谐运动的物理量 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 6. 拟合函数模型 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 2．（24-25高三上·四川成都·期中）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 4．（22-23高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 7．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一·全国·课后作业）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：    体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示： 高潮期 低潮期 体力 体力充沛 疲倦乏力 情绪 心情愉快 心情烦躁 智力 思维敏捷 反应迟钝 如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（    ） A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷 10．（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与以为圆心，1为半径的圆交于点，射线绕点逆时针旋转后交圆于点，若点的纵坐标为，设，则（   ） A． B． C．函数的单调递增区间为 D．的对称中心为 11．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为的图象的一个对称中心 C．在上单调递增 D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）简谐运动可以用函数，表示，其中，．则初相为 ． 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 14．（23-24高一下·北京·期中）一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 16. (15分) （23-24高一·全国·课后作业）如图为某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次? (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A算起呢? 17. (15分) （22-23高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 18. (17分) （24-25高三上·山东淄博·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 19. (17分) （22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）重庆市第十一中学校开展生物课程基地建设工作.如图所示，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上． (1)当点分别在边的中点和靠近的三等分点时，求的余弦值； (2)实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须是1.2千米，请研究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 3．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 8．（2022·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 10．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在时取得最大值 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的一个对称中心是 11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．小球在内经过的路程为10cm D．时，小球正在向上运动 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·北京海淀·期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为 ，10月份的平均气温为 °. 13．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ． 14．（22-23高三上·北京·阶段练习）把函数的图像向左平移个单位，所得到的图像对应的函数为奇函数，则的最小值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻时相对于平衡位置的位移由下列函数关系式确定： ． (1)以为横坐标，为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 16. (15分) （24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 17. (15分) （23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 18. (17分) （23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________. ①点在函数的图象上； ②函数的一个零点为； ③的一个增区间为. 请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题： (1)求的解析式； (2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象. 19. (17分) （24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 2．（2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象经过点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 11．（24-25高三上·浙江·期中）某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（   ） A． B． C．该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D．该路段改造后的停车位比改造前增加9个 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    13．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为 ． 14．（21-22高一下·山东日照·期末）若函数部分图像如图所示，则函数的图像可由的图像向左平移 个单位得到. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值； (2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围． （参考公式：．） 16. (15分) （24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数（，）图象的一个最高点的坐标为，与之相邻的一个对称中心的坐标为. (1)求的解析式； (2)若，求的最小值， 17. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 18. (17分) （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间单调，，且 (1)求图象的一条对称轴； (2)求的解析式； (3)在锐角中，若，求的取值范围. 19. (17分) （24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$