5.5三角恒等变换-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教2019A版专用）

5.5三角恒等变换（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 14 【提升训练】 26 知识回顾 1. 两角差的余弦公式 (1)任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β). 2. 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，其中α，β∈R. 3. 两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 4. 两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 5. 公式变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). 6. 二倍角的正(余)弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 7. 二倍角的余弦公式的变形 (1)cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (2)常用的二倍角公式的变形： ①1＋cos 2α＝2cos2α；②1－cos 2α＝2sin2α； ③cos α＝；④1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 8. 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝. 9. 辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·河南南阳·期末）化简=（    ） A．1 B． C． D．2 6．（21-22高一下·湖北荆州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川成都·开学考试）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 . 14．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)已知，求的值. 16. (15分) （23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)将函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的，横坐标也缩短到原来的，得到函数的图象，若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若且，求的值. 18. (17分) （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)若,求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在区间上的最小值为，求m的最小值. 19. (17分) （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C C A C D ACD BCD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【详解】， ， 故选：A. 2．A 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 3．B 【分析】根据三角函数的定义求得，利用二倍角公式求得正确答案. 【详解】由三角函数的定义得：， . 故选：B 4．C 【分析】根据二倍角公式可以求得，结合诱导公式对选项逐一判断即可. 【详解】因为，则， 即，解得或， 因为，则，， A选项，，故A选项错误； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项正确； D选项，，故D选项错误. 故选：C 5．C 【分析】利用三角恒等变换化简即得. 【详解】 . 故选：C. 6．A 【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可. 【详解】 故选：A 7．C 【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 8．D 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 9．ACD 【分析】根据正弦、余弦的两角和差公式即可逐一求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确， 故选：ACD. 10．BCD 【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11．BD 【分析】A选项，两式平方后相加得到；D选项，由得到；B选项，利用同角三角函数关系得到；C选项，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案. 【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得 ，所以，故A错误； D选项，因为，所以， 又，故， 由于，故， 又，所以，故D正确； B选项，，故B正确； C选项，， 故，故C错误. 故选：BD. 12． 【分析】利用同角的正弦余弦的平方和为1可求得，进而利用两角和的余弦公式即可求值. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】利用诱导公式，万能公式得到答案. 【详解】 . 故答案为： 14．/ 【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，， 所以， 则. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值后利用和角公式计算即可求得的值； （2）由题设条件，利用辅助角公式化简后解三角方程，推得，即可求的值. 【详解】（1）由 ， 故 ； （2）由，可得，即， 则有，即，于是. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦函数周期公式和整体替换的方法解出周期和单调减区间； （2）根据三角函数图象变换得到，根据函数在区间内有两个零点，数形结合得出实数的取值范围； 【详解】（1）由题得， 则最小正周期； 令 ，得， 所以函数的单调递减区间为： ； （2）函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的，横坐标也缩短到原来的， 得到函数，所以， 函数在区间内有两个零点， 可转化为函数的图象与的图象在内有两个交点， 由，得， 则，由图可得.    17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）依题意可得，再由平方关系及商数关系将弦化切，代入计算可得； （3）首先可得，，再由两角和的正切公式求出，结合角的范围，即可得解. 【详解】（1） ； （2）由已知，所以， 所以 . （3）由，，可知，， 所以. 因为，，则， 且，可得， 则，所以. 18．(1)或； (2). (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简可得，代入求得答案; （2）结合正弦函数的单调性即可求得答案; （3）由已知确定，结合正弦函数的最小值可得，即可求得答案. 【详解】（1）由辅助角公式知 已知，即， 因为，则，所以或， 可得或； （2）令，，则， 因为 的单调递减区间是， 且由，得； 所以函数的单调递减区间是. （3）当，则， 在区间上的最小值为， 即在上的最小值为， 又因为，所以， 即，所以m的最小值为. 19．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求出函数的单调区间； （2）求出时，，只需，从而得到不等式，求出. 【详解】（1）由题意可得：   令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）若，使成立 等价为 因为，所以，所以， 当时 所以 ， 所以 所以 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏吴忠·一模）函数图象的一条对称轴为直线，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是(    ). A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且，则（   ） A．9 B．3 C． D． 7．（24-25高三上·江西·期中）已知α为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为的奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．的值域是 10．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）若点关于轴对称点为，则的取值可以为（ ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江金华·一模）设函数，则（   ） A．的图象有对称轴 B．是周期函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知，则 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，且，，则的值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) ．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 16. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 17. (15分) （24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数，且. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 18. (17分) （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值，若，求的单调增区间： (2)若，，求的值. 19. (17分) （24-25高三上·湖北·期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. (1)若，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D B B D CD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】由辅助角公式，诱导公式，二倍角公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，. 因为，则 . 故选：B 2．D 【分析】利用正切差角公式得到，进而化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 解得， 则. 故选：D 3．C 【分析】借助辅助角公式与正弦型函数的对称轴计算即可得. 【详解】由题意可得，， ，其中，， 由函数图象的一条对称轴为直线， 即有，即， 又，故，故. 故选：C. 4．C 【分析】首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用余弦函数的值域求出的值域. 【详解】由题意可知：， 由于，所以当时，函数， 当时，函数， 所以函数的值域为. 故选：C. 5．D 【分析】根据三角函数的积化和差公式，化简后可得到，所以有，再根据正切的诱导公式及二倍角公式，即可得到答案. 【详解】由三角函数积化和差公式，得： 所以，即：，所以：. 故选：D. 6．B 【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案. 【详解】由题意知为第一象限角，且， 故，解得或（舍去）， 则， 故选：B 7．B 【分析】利用和差角正余弦公式，将条件化为，进而有，最后由二倍角正弦公式求结果. 【详解】由， 因为锐角，，所以. 故选：B 8．D 【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 . ，由于在区间上有且只有一个零点， 所以， 而， 其中，而， 在区间上单调递增， 所以，解得， 则. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围. 9．CD 【分析】先化简,,A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令,求出对称点坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过,确定的值域. 【详解】. A选项：周期为,不是奇函数，A错误； B选项：令,,解得：, 当时，， 所以关于对称，关于对称，B错误； C选项：令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，C正确； D选项：,则,,D正确. 故选：CD. 10．AC 【分析】根据对称性得到，，化简后得到，对四个选项一一计算，得到答案. 【详解】由题意得，， ，故， ，故， A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，由B选项知，，D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可. 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选：ABD. 12．/ 【分析】利用同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 故答案为： . 13． 【分析】法一、利用正切的和差角公式化简得，由二倍角公式构造齐次式，弦化切计算即可；法二、利用正切的和差角公式化简得，令，利用换元法计算t，再计算，由由二倍角公式构造齐次式，弦化切计算即可. 【详解】法一、由，得， 即，解得， 所以． 法二、由，得， 即． 令，则，解得或． 当时，， 所以． 当时，无解．故． 故答案为： 14． 【分析】应用差角正切公式先求出，再求，进而求角即可. 【详解】解：因为，且， 所以. 又因为，所以， 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2)， 【分析】（1） 利用三角函数的恒等式变形及辅助角公式，可化为,即可求出函数的周期； （2）利用正弦函数的单调区间以及整体思想来求解，即可得函数的单调递增区间. 【详解】（1）由    可得； （2）由可得的最小正周期为， 令 ， 解得：， 所以的单调递增区间是：. 16．(1)， (2)最小值为，最大值为1 【分析】（1）利用二倍角公式整理函数的表达式为，然后求出a，利用辅助角公式得，代入周期公式求出周期即可； （2）由（1）知，当时，，结合正弦函数的性质，即可求得的最值. 【详解】（1） ， 因为，所以，所以， 所以，所以的最小正周期. （2）当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以的最小值为，最大值为1. 17．(1)，单调递增区间为（） (2) 【分析】（1）由诱导公式，两角和的正弦公式变形函数式，再利用及的范围求得得函数解析式，结合正弦函数的单调性可得增区间； （2）由图象变换得，然后利用二倍角公式变形解得，再由正弦函数性质得结论． 【详解】（1）， 因为，所以，，可得，， 又，所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）因为的图象向右平移个单位得到的图象， 再将的图象上各个点横坐标变为原来2倍得到的图象， 所以； 所以不等式为，不等式化为， 所以，所以，所以， 结合函数在上的图象得， 所以原不等式的解集为. 18．(1)，增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用可求得的值，由正弦型函数的单调性可求得函数在上的增区间； （2）由已知条件求出，利用同角三角函数和二倍角的正弦公式求出的值，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】（1）因为 ， 所以，，解得，则， 当时，，由可得， 所以，当时，函数的增区间为. （2）因为，且，则， 所以，， 则. 所以，. 19．(1)； (2)或. 【分析】（1）利用三角函数的定义求出，进而求出，利用正弦函数的性质求出范围. （2）利用（1）的信息，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得. 【详解】（1）由三角函数定义，得，， ， 由，得，则， 因此，的取值范围是. （2）由（1）及已知，得，， 令 ，， ①当时，在上单调递减，，则； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， ，不符合题意； ③当时，在单调递增，，则， 所以或. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知角的终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知为第一象限角，且，则（    ） A．9 B．3 C． D． 5．（24-25高三上·青海·期中）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．存在非零常数，使得 C．的最小值为 D．方程无解的充要条件是 10．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数的最大值为1，则有（   ） A． B．单调减区间为 C．最小正周期为 D．的解集为 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，，恒成立，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．可以取 D．当时，的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）已知为锐角，且，则 . 13．（24-25高二上·广东·期中）已知点在角的终边上，则 . 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上的最小值为，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知函数 (1)求函数的最小正周期，并求其图象的对称轴方程； (2)求函数在上的最大值及取得最大值时x的取值. 17. (15分) （24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 18. (17分) （24-25高三上·安徽·期中）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式： 19. (17分) （24-25高三上·重庆·期中）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D D A D ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据三角函数的定义，结合二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由三角函数定义知，，，， 所以. 故选：C. 2．C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 3．A 【分析】先根据诱导公式和二倍角公式，化简函数，再根据其在上恰有4个零点，可列式求的取值范围. 【详解】因为. 由. 因为，且在上恰有4个零点. 所以，. 故选：A 4．C 【分析】由两角和的正切公式化简已知式可得，代入化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 即，即， 解得：或，因为为第一象限角， ∴，. 故选：C． 5．D 【分析】利用，结合三角恒等变换可求值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 ， 则． 故选：D. 6．D 【分析】利用辅助角公式化简，结合其图象关于点对称，可推出辅助角的表达式，结合其意义求得的值，再由结合函数最值以及周期，即可求得答案. 【详解】由题意得，，， 由于函数的图象关于点对称， 故，，可得，， 由于， 故，， 因为，， 故，可得最小正周期为， 由于， 故，中的一个为函数最大值，另一个为最小值， 即的最小值为. 故选：D. 7．A 【分析】利用三角函数的定义得到三角函数值，然后利用二倍角公式和辅助角公式计算. 【详解】， ，圆的半径为1． 根据三角函数的定义，易得，， 又， 为等边三角形，则，且为锐角，． 故选：A． 8．D 【分析】由已知可得，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 所以， 所以，所以， 当时，，等式变为，显然不成立， 所以，所以， 所以 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到，最值问题常常借助基本不等式求解. 9．ABD 【分析】对A：计算与是否相等即可得；对B：计算可得，即可得B；对C：举出反例即可得；对D：得到值域并结合充要条件定义即可得. 【详解】对A：由题意可得，即， ， 故为奇函数，即的图象关于原点对称，故A正确； 对B： ， 故存在非零常数，使得，故B正确； 对C：由， 故不是的最小值，故C错误； 对D：，， 函数在上单调递减，在上单调递减， 故， 若方程无解，则， 若，则方程无解， 故方程无解的充要条件是，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】利用三角恒等变换将转化为正弦型三角函数，根据正弦函数的单调性、周期性、三角不等式即可得逐项判断得结论. 【详解】 所以函数，则，故A正确； 则，所以其最小正周期为，故C正确； 所以单减区间满足： ，解得， 即函数单调减区间为，故B正确； 不等式，即，则， 解得，解集为. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】由偶函数的定义可得A正确；由递增函数的定义可得B正确；由函数为递增函数可得，再令，由辅助角公式得到，解出可得C正确；由辅助角公式得到，再画函数图像可得D错误； 【详解】对于A，可知为偶函数，故A正确； 对于B，又对有， ，故， 在上单调递增，故B正确； 对于C，故 ， 令，化为，， 故，解得，故，故C正确； 对于D，时，， 由图可知，，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键能够发现有辅助角公式得到自变量的范围，再结合函数图像求值域. 12． 【分析】对已知式整理可得，由二倍角公式得，根据角为锐角及可得，最后由平方关系即可求解. 【详解】由， 得，即. 所以. 由于为锐角，所以， 则，结合， 所以， 因此. 故答案为：. 13． 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则， 故答案为：. 14． 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的单调性即可求得答案， （2）由已知确定范围，结合正弦函数的最小值可得，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得， 令，则， 因为的单调递减区间是， 且由，得，所以的单调递减区间是； （2）当，则， 因为在区间上的最小值为， 即在上的最小值为， 又因为，所以 即，故的取值范围为. 16．(1)函数的最小正周期；对称轴方程为 (2)函数在上的最大值为1，此时 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，由周期公式可的周期，利用整体代入法求对称轴方程即可； （2）先求的范围，然后利用正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以函数的最小正周期， 令，解得， 所以函数图象的对称轴方程为. （2）由题意可知：， 因为，则，可得， 令，解得， 故函数在上的最大值为1，此时. 17．(1)， (2)， 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可； （2）根据正弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）由 ， 则，即， 又，即. （2）由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 18．(1)；证明见解析 (2)， (3)答案见解析 【分析】由条件类比得到，然后证明即可； 化简可得：，即， 解得或，然后回代求解即可； 原不等式可化为，对的范围讨论可求． 【详解】（1）由条件类比得到， 证明如下：因为， ， 所以； （2）因为， 令，则，即， 即，解得或， 又，所以，于是， 整理得， 于是或， 解得或， 所以函数的零点为，； （3）因为， ， 所以原不等式可化为， 于是，整理得， 也即 当时，原不等式的解集为； 当时， 令可得或，且， 原不等式的解集为； 当时， 令可得或，且， 原不等式的解集为 综上所述不等式的解集是： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】求函数零点（方程有根）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数图象的交点； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 19．(1) (2)①或② 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】（1） ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； （2）①令，当时，，， 所以，    所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5三角恒等变换（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 两角差的余弦公式 (1)任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β). 2. 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，其中α，β∈R. 3. 两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 4. 两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 5. 公式变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). 6. 二倍角的正(余)弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 7. 二倍角的余弦公式的变形 (1)cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (2)常用的二倍角公式的变形： ①1＋cos 2α＝2cos2α；②1－cos 2α＝2sin2α； ③cos α＝；④1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 8. 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝. 9. 辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·河南南阳·期末）化简=（    ） A．1 B． C． D．2 6．（21-22高一下·湖北荆州·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川成都·开学考试）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，则 . 14．（24-25高三上·上海·期中）已知点是角终边上一点，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)求的值； (2)已知，求的值. 16. (15分) （23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)将函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的，横坐标也缩短到原来的，得到函数的图象，若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若且，求的值. 18. (17分) （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)若,求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在区间上的最小值为，求m的最小值. 19. (17分) （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏吴忠·一模）函数图象的一条对称轴为直线，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是(    ). A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知角满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且，则（   ） A．9 B．3 C． D． 7．（24-25高三上·江西·期中）已知α为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为的奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．的值域是 10．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）若点关于轴对称点为，则的取值可以为（ ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江金华·一模）设函数，则（   ） A．的图象有对称轴 B．是周期函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知，则 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，且，，则的值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) ．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 16. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 17. (15分) （24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数，且. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 18. (17分) （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数的最小值为. (1)求的值，若，求的单调增区间： (2)若，，求的值. 19. (17分) （24-25高三上·湖北·期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. (1)若，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知角的终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知为第一象限角，且，则（    ） A．9 B．3 C． D． 5．（24-25高三上·青海·期中）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．存在非零常数，使得 C．的最小值为 D．方程无解的充要条件是 10．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数的最大值为1，则有（   ） A． B．单调减区间为 C．最小正周期为 D．的解集为 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，，恒成立，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．可以取 D．当时，的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）已知为锐角，且，则 . 13．（24-25高二上·广东·期中）已知点在角的终边上，则 . 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·湖南·期中）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上的最小值为，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知函数 (1)求函数的最小正周期，并求其图象的对称轴方程； (2)求函数在上的最大值及取得最大值时x的取值. 17. (15分) （24-25高三上·河南·期中）已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 18. (17分) （24-25高三上·安徽·期中）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式： 19. (17分) （24-25高三上·重庆·期中）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$