5.4三角函数的图象与性质-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

5.4三角函数的图象与性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 14 【提升训练】 25 知识回顾 1. 正弦函数的图象 　(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 2. 余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 3. 正弦、余弦函数的周期性 (1)设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π. 4. 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数；余弦函数是偶函数.5. 6. 正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 7. 正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 8. 正切函数的周期性与奇偶性 正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π.9. 10. 正切函数的图象 (1)正切函数的图象叫做正切曲线. (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 11. y＝tan x的单调性和值域 (1)正切函数在每一个区间，k∈Z内都单调递增. (2)正切函数的值域是实数集R. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高三上·广西·学业考试）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高三上·北京·期中）函数，，，且的最小值为，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高三上·福建·期中）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·甘肃白银·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（   ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 10．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的一个对称中心为 D．的单调增区间为 11．（24-25高二上·广东深圳·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 13．（24-25高三上·辽宁·期中）满足不等式的的集合为 ； 14．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 16. (15分) （24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 17. (15分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，其中，且函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 18. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）如图，函数的图像由折线段组成，且当x取偶数时，对应的y的值为0；而当x取奇数时，对应的y的值为2. (1)写出函数的最小正周期； (2)作出函数的图像. 19. (17分) （24-25高二上·云南迪庆·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D A A C B AB ABD 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 2．A 【分析】根据已知条件判断出的最小正周期，从而求得. 【详解】依题意，，，且的最小值为， 所以. 故选：A 3．D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D 4．D 【分析】利用三角函数零点的分布情况求解即可. 【详解】时， 因为函数在上至多有一个零点， 故解得 故选：D. 5．A 【分析】根据正弦型函数的对称性有，，结合已知确定的值. 【详解】由题设，，则，， 又，故. 故选：A 6．A 【分析】判断定义域以及奇偶性，再根据函数值的正负可排除错误选项，得出正确结果. 【详解】函数，其中，且，由定义域可以排除B， 因为，该函数为奇函数，所以C错误， 因为，所以D错误，A正确， 故选：A. 7．C 【分析】根据五点法作图，分别作出两函数图像，即可得解. 【详解】 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 结合函数的周期性，作出两函数图像，如图所示， 可知两函数共个交点， 故选：C. 8．B 【分析】根据正弦型函数单调性求参数范围即可. 【详解】由题设，则在上递增， 所以，又，故. 故选：B 9．AB 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C. 【详解】∵的两条相邻对称轴距离为. ∴，∴.∴. ∵，∴，又，则. ∴.∴选项A正确； 选项B：由， 可得函数对称中心的横坐标：. 当时，对称中心为.B正确； 选项C：当时，，， ∴在上不递增，C错误； 选项D：由，. 可得对称轴：，.∴不是对称轴. 或验证法把代入得，∴不是对称轴. ∴D错误； 故选：AB. 10．ABD 【分析】由图象可得函数的周期，再由特殊角的三角函数值可得A，B正确；代入检验可得C错误；由正弦函数的单调增区间可得D正确； 【详解】A：由图象可得，所以， 代入可得，则且， 所以，故A正确； B：由选项A的解析可得最小正周期为，故B正确； C：因为，代入，可得，故C错误； D：由正弦函数的递增区间，可得， 所以的单调增区间为，故D正确； 故选：ABD. 11．AB 【分析】根题意结合正弦型函数性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确； 对于选项BD：因为为最大值， 可知的图象关于直线对称，故B正确，D错误； 对于选项C：因为， 所以不为的零点，故C错误； 故选：AB. 12．4 【分析】由余弦函数的性质可求最大值. 【详解】当时，， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 13． 【分析】根据余弦函数的图象，结合其单调性和周期性，直接求解即可. 【详解】，得，即， 故答案为：. 14． 【分析】根据最值可得，根据周期可求解，代入最高点即可求解. 【详解】由图可知,解得， 故， 周期,故， 又, 解得，由于所以， 故， 故答案为： 15．作图见解析 【分析】根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象. 【详解】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 16．(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简，结合周期公式即可； （2）通过，进而可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）令， 则， 所以的单调递增区间为. 又因为，分别取和，得到， 所以的单调递增区间为. 17．(1) (2) 【分析】（1）化简函数，根据函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为，知，再根据周期公式求出即可； （2）根据正弦型函数图象写出值域即可. 【详解】（1）． 因为函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为， 设最小正周期为，则，即，所以，又，所以， 所以． （2）∵，∴， 由正弦型函数的图象可得． 18．(1)2 (2)见解析 【分析】（1）利用图象与周期的意义可求最小正周期. （2）利用图象的变换可作图象. 【详解】（1）由图象可知最小正周期为2； （2）作出图象如图所示： 19．(1) (2)， 【分析】（1）根据周期公式即可得到答案； （2）根据正弦函数性质得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C． D．   4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·广西·期中）如题图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 11．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的值为 . 13．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最小正周期的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求函数的定义域． 16. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 17. (15分) （24-25高二上·云南玉溪·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 18. (17分) （24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 19. (17分) （22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A D C A A BCD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用正切函数的周期性、对称性计算即可得出结果. 【详解】由图可知，的最小正周期，则， ，则， 由，得，则． 故选：C 2．A 【分析】根据函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当，则， 所以当，即时取得最小，即. 故选：A 3．C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊函数值验证求解. 【详解】函数的定义域为， ， 则函数为奇函数，排除选项和； 当时，函数值为，取，排除选项, 故选： . 4．A 【分析】由奇函数及单调性逐项判断即可. 【详解】，奇函数且在上单调递增，正确； ，当时，无意义，错误； ，，， 显然，即不是奇函数，错误； ，当时，无意义，错误； 故选：A 5．D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得. 【详解】由，得，而，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D 6．C 【分析】将问题转化成图象交点个数即可. 【详解】由题意可将问题转化成，在上的根的个数， 也即在上的交点个数， 通过五点作图法画出两函数图象：    由图象可知共有6个交点， 所以在区间上的零点个数为6. 故选：C 7．A 【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可. 【详解】由的图象关于直线对称可得，， 而，故，. 若，则，故由可知在上有最小值. 所以，. 故选：A． 8．A 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示：    令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 9．BCD 【分析】由正弦型函数的图像求时，先根据图像的横坐标数据，判断函数的周期，根据求出，将图像中的特殊点代入函数中，求. 【详解】根据题中的图像可得，即， ，即， 将图像中的点代入函数中，， 即 ， ，而，可得A错误； 对于B选项，，可得B正确； 对于C选项，，可得C正确； 对于D选项， 可得D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到范围的判断. 【详解】对于A，当时，， 又在上单调递增，所以，可得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，所以，故B错误； 对于C，由题意得，即，故C正确； 对于D，由题意得，解得，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】利用三角函数的周期公式结合加绝对值后的图象变化，即可得到结果. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故B正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期减半，变为， 所以函数的最小正周期为，故C错误； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故D正确. 故答案为：ABD. 12．或 【分析】由函数的图象的对称性，可得，，即可求得的值． 【详解】函数的图象关于点对称，且， ，， 故， 则令，可得实数，取，则， 故答案为：或 13． 【分析】先根据已知条件得出上且仅有2个零点，则列不等式组求参即可. 【详解】因为上有且仅有2个零点， 所以， 所以. 故答案为： 14． 【分析】由的范围，确定，再结合即可求解. 【详解】因为当时，，因为在区间上只有1个零点， 故，解得，故最小正周期的最小值为. 故答案为： 15． 【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】由题可知，，即，解得， 由正弦函数的性质可得， 所以函数的定义域为． 16．(1) (2) 【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2）， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 17．(1) (2)． 【分析】（1）结合图象和，求得，再根据对称轴求得，即可得的解析式； （2）根据函数图象再结合与有两个交点运算求解. 【详解】（1）由函数图象可得，，∴，∴， 即，根据图象可得，，解得，， 因为，所以，所以； （2），∵，∴ 关于x的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点，结合函数图象可知． ∴实数m的取值范围为． 18．(1)； (2)2， 【分析】（1）化简，由，求得范围，即可求解； （2）由（1），令，求解即可. 【详解】（1）， ，，. 所以函数的最大值为，，. （2）由（1）得， 当时，函数的最小值为2， 此时，解得， 即时取最小值. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，由求出可得的解析式； （2）根据正弦函数的单调性可得答案； （3）根据的范围求出的范围，由已知可化为，设，即求，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，函数的最小正周期， 可得，且，可得， 又由，所以，所以； （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为； （3）， 所以，， 因为可化为， 设，所以， 设，则，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为设，求. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·河南漯河·阶段练习）若关于x的程恰有三个解，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知是定义在上的周期函数，周期，且当时，若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．时，可以有三个解 B．时，可以有三个解 C．时，可以有一个解 D．时，可以有四个解 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·吉林长春·一模）函数的最小正周期为，则（    ） A．是的一条对称轴 B．与函数相等 C．在区间上单调递减 D．在区间上的取值范围是 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域（） B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 11．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 14．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域. 16. (15分) （24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 17. (15分) （24-25高二上·云南大理·开学考试）若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数". (1)判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由； (2)若函数和，且是"同域函数"，求的值. 18. (17分) （24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知函数. (1)若为的一个内角，且恒成立，求实数的取值范围； (2)若，对于，总成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)若，求； (2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B D B D B AD ABD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】由得，即， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点， 故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为． 故选：B． 2．B 【分析】先判断函数的奇偶性排除C，D，再通过时，的符号确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为. 由题得, 所以函数是奇函数，所以排除选项C，D. 当时，，，即， 所以时，的图象应该在轴上方，结合图象知选项A错误，选项B正确. 故选：B 3．A 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【详解】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 4．B 【分析】根据三角函数的单调性及对称中心分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:在上单调递减，A选项错误； 对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确； 对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误； 对于D:在上单调递减，D选项错误； 故选：B. 5．D 【分析】设，证明及的图象关于对称，结合条件证明，，由此即可求解. 【详解】设， 由已知有3个零点，且为其零点， 因为， ， 所以，所以函数的图象关于点对称， 又， 因为有3个零点，且为其零点，， 所以，且，所以. 故选：D. 6．B 【分析】分析两个函数的函数特征，结合图象可判断结论. 【详解】因为是周期为1的周期函数，且在上， 要判断有多少个解，需分析与在一个周期内的解的个数， 当时，在一个周期内，因为是二次函数，是线性函数，与最多有2个交点， 当时，在一个周期内，因为是二次函数，是线性函数，与最多有1个交点， 作出函数在两个周期内的图象，如图所示： 由图象可知， 当，若时，直线过原点与，此时只有1个交点， 向下平移至与曲线相切之前有两个交点，相切时有1个交点， 所以与最多两个交点，最多二个解，故A错误； 当时，若，直线过原点与，与可能有二个交点， 向下平移至与曲线相切之前有三个交点，故可以有三个解，故B正确； 当时，若，直线过原点与， 与有两个交点，左右平移也有两个交点， 所以与一定有两个交点，不可能有一个解，故C错误； 当时，，直线过原点与， 与有三个交点，左右平移也有三个交点， 与一定有三个交点，故不可以有四个解，故D错误. 故选：B. 7．D 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 8．B 【分析】由函数图象可判断①；取可判断②；由函数与函数的图象可判断③；由函数和的图象交点个数可判断④. 【详解】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，， 任取，，都有， 故①正确； 对于②，当时，，而由解析式可知， 故②不正确； 对于③，函数与函数的图象如图所示， 若关于的方程有且只有两个不同的实根，， 则，由对称性可知，故③正确； 对于④，函数和的图象如图所示， 由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点， 故④不正确； 所以四个命题中正确的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是作出函数的图象，结合函数的图象和性质求解. 9．AD 【分析】先根据正弦函数的周期公式求出的值确定函数的解析式，然后根据结合正弦函数的对称性、单调性、最值及诱导公式结合选项一一判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为, 由周期公式， 可得，则. 对于A选项，因为，所以是的一条对称轴，故选项A正确； 对于B选项，因为, 与不相等，故选项B错误； 对于C选项，当时，， 而在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故选项C错误； 对于D选项，当时，，而，，所以在区间上的取值范围是，故选项D正确； 故选：AD. 10．ABD 【分析】由可得定义域判断A，证明判断B，平方后化简函数式，再结合正弦函数的单调性判断C，根据单调性求得最大值判断D． 【详解】由得，A正确； ， 所以是是图象的一条对称轴，B正确； ，， 时，，递减， ，递减，从而递减，所以递减，所以递减，C错； 时，，，同理选项C可得在上递增，的最小正周期是， 所以，D正确． 故选：ABD． 11．BD 【分析】利用正切函数的图象的性质逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由，可得函数的最小正周期为，故A错误； 由，可得， 所以的图象关于点对称， 当时，可得对称中心为，故B正确； 将的图象向左平移个单位得到的图象，故C错误； ， 又在上单调递增，， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 12． 【分析】由函数在单调性求出函数在值域，由三角函数的图像的性质求出函数在值域，由题意知道在值域包含于在值域，建立不等式，求得范围. 【详解】∵，∴函数在上单调递减，∴时，， ∵，∴，∴，∴， 由题意得，即，∴ 故答案为： 13． 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得； 又是函数的零点，由，得，， 取（正半轴的第四个零点）得，所以，. 故答案为：. 14． 【分析】作出在上的图像，由有两个零点，得与在上有两个交点，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围． 【详解】令得． 作出在上的图像， 如图所示． 要使函数在上有两个零点， 需满足，所以． 故答案为：． 15．(1)； (2)． 【分析】（1）利用五点法求解析式； （2）根据正弦函数的性质求值域． 【详解】（1）由图象知， ，，又且在的一个单调增区间上，所以， ，由五点法知对应五点法中的，所以， 所以； （2）时，，所以， 所以，即值域为． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意先可以确定函数的最小正周期，进而得到的值，进而代值计算，从而求解； （2）根据正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）在区间上单调递减， 且， 的最小正周期， 解得. ， 由“五点法”可知. . （2）由（1）可知， ， ， 解得， 的取值范围是. 17．(1)不是，理由见解析； (2). 【分析】（1）判断函数与的定义域和值域是否相同，即可得结论； （2）根据"同域函数"的定义可得的解集为，求得，结合对数函数的单调性，列出相应等式，求得答案. 【详解】（1）函数与不是"同域函数"，理由如下： 函数与的定义域均为， 由，可知的值域为， 由，可知的值域为， 则与的值域不相同， 所以函数与不是"同域函数". （2）由，得， 因为函数在上单调递增，所以， 得的值域为， 由题意得的解集为， 则是关于的方程的两个解， 得，得，所以，且， 易得， 当时，函数是增函数，则的值域为，不符合题意. 当时，函数是减函数，则的值域为， 所以，得. 18．(1) (2) 【分析】（1）化简可得，可得其单调性，求得，进而可求实数的取值范围； （2）由题意可求得，当时，，当时，，根据题意有，据此计算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）， 当在上单调递增， 因为为的一个内角，所以，所以， ，即， 因为恒成立，所以， 所以实数的取值范围为； （2）因为，又在上单调递增， 所以，即， 所以， ，且，所以， 当时，， 当时，， 若，对于，总成立， 则， ①当时，可得，所以， 所以，解得， ②当时，可得，所以， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求的值即可； （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【详解】（1）由，则， （2）由题意，得：. ①当时，， 在内单调递增，又， 由于，而， ，又， 由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，则， ，则在上无零点； 当时，， ，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则，. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则，故. 【点睛】关键点点睛：已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式，三角恒等变换的公式来进行求解，判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4三角函数的图象与性质（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 11 知识回顾 1. 正弦函数的图象 　(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 2. 余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 3. 正弦、余弦函数的周期性 (1)设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π. 4. 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数；余弦函数是偶函数.5. 6. 正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 7. 正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 8. 正切函数的周期性与奇偶性 正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π.9. 10. 正切函数的图象 (1)正切函数的图象叫做正切曲线. (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 11. y＝tan x的单调性和值域 (1)正切函数在每一个区间，k∈Z内都单调递增. (2)正切函数的值域是实数集R. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高三上·广西·学业考试）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高三上·北京·期中）函数，，，且的最小值为，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高三上·福建·期中）函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·甘肃白银·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（   ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 10．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的一个对称中心为 D．的单调增区间为 11．（24-25高二上·广东深圳·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 13．（24-25高三上·辽宁·期中）满足不等式的的集合为 ； 14．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 16. (15分) （24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 17. (15分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，其中，且函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 18. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）如图，函数的图像由折线段组成，且当x取偶数时，对应的y的值为0；而当x取奇数时，对应的y的值为2. (1)写出函数的最小正周期； (2)作出函数的图像. 19. (17分) （24-25高二上·云南迪庆·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C． D．   4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·广西·期中）如题图是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 11．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的值为 . 13．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最小正周期的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求函数的定义域． 16. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 17. (15分) （24-25高二上·云南玉溪·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 18. (17分) （24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)当时，求函数的最小值，以及相应的集合. 19. (17分) （22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·河南漯河·阶段练习）若关于x的程恰有三个解，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知是定义在上的周期函数，周期，且当时，若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．时，可以有三个解 B．时，可以有三个解 C．时，可以有一个解 D．时，可以有四个解 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·吉林长春·一模）函数的最小正周期为，则（    ） A．是的一条对称轴 B．与函数相等 C．在区间上单调递减 D．在区间上的取值范围是 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域（） B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 11．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 14．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域. 16. (15分) （24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 17. (15分) （24-25高二上·云南大理·开学考试）若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数". (1)判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由； (2)若函数和，且是"同域函数"，求的值. 18. (17分) （24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知函数. (1)若为的一个内角，且恒成立，求实数的取值范围； (2)若，对于，总成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)若，求； (2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$