5.3诱导公式-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

5.3诱导公式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 10 【提升训练】 21 知识回顾 1. 诱导公式二 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα. 2. 诱导公式三与公式四 (1)诱导公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα. (2)诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα. 3. 诱导公式五 sin＝cosα，cos＝sinα. 4. 诱导公式六 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·北京·专题练习）已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西·模拟预测）设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知tan100°=K，则cos10°=（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·河北衡水·开学考试） . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 . 14．（24-25高三上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转至线段.若，则点的纵坐标为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·云南昭通·期中）（1）化简：； （2）已知角的终边经过点，求的值； （3）已知角终边上一点，化简并求值：. 16. (15分) （24-25高一上·全国·课前预习） 化简：． 17. (15分) （22-23高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求的值. 18. (17分) （24-25高三上·上海·开学考试）已知 (1)若是第一象限角，求的值； (2)求的值. 19. (17分) （24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C C B AD D BC BC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】利用诱导公式可求值. 【详解】. 故选：A. 2．B 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：B. 3．B 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 4．C 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式化简计算即可. 【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标为，所以， 所以. 故选：C． 5．C 【分析】同过诱导公式和同角三家函数间的基本关系，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 6．B 【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可知，或，， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 7．AD 【分析】根据题意利用诱导公式可得，结合角的范围分析求解. 【详解】因为，则，可得， 且，所以或. 故选：AD. 8．D 【分析】根据诱导公式得到，再根据同角三角函数关系计算得到答案. 【详解】由， ，， . 故选：D. 9．BC 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式逐项计算即得. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10．BC 【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解. 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11．BC 【分析】根据诱导公式逐一判断选项即可得解. 【详解】由诱导公式可知，，故A错误； ，，故BC正确； ，故D错误. 故选：BC 12． 【分析】运用诱导公式计算. 【详解】 ； 故答案为： . 13．2 【分析】结合诱导公式，根据弦切互化奇次式分式化简求值即可. 【详解】，， 原式. 故答案为：2 14． 【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由题意可知，终边为的角为，则终边为的角为， 点的纵坐标为. 故答案为：. 15．（1）（2）；（3） 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简即可； （2）根据三角函数的定义即可求解； （3）先根据条件得出，化简得原式为，再代入的值即得解. 【详解】（1）利用诱导公式知； （2）角的终边经过点， 则，； （3）由题得，所以. . . 16． 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】原式 ． 17．(1) (2)3 【分析】（1）利用指数对数的运算计算化简求解可得答案； （2）利用诱导公式、平方关系、弦化切化简计算可得答案. 【详解】（1） ； （2）原式 . 18．(1) (2) 【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值. （2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案. 【详解】（1）因为 . 若是第一象限角，则，， 且，解得，故. （2）. 19．(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由已知及诱导公式得，，根据同角三角函数的平方关系得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，所以， ， ， 因为，所以， 故， 因此． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设函数，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B．0 C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的终边经过，，则 B． C．若，则为第一或第四象限角 D．若角和角的终边关于轴对称，则 10．（23-24高一上·湖北荆州·期末）下列说法错误的是（    ） A．与的终边相同 B．化成弧度是 C．经过4小时时针转了 D．若角与终边关于轴对称，则， 11．（22-23高一下·湖北·阶段练习）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 13．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知锐角满足，则 ． 14．（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知角终边上一点，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 16. (15分) （24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值． 17. (15分) （23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算题： (1)已知，，求的值； (2)； (3)已知，，求用表示 18. (17分) （23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数， (1)若，，求的值; (2)若，求的值. 19. (17分) （22-23高一下·北京·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B B A A BD BCD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】令函数，化简求得，得到关于直线对称，结合题意，得到，即可求解. 【详解】令函数， 可得 ，即，所以函数关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得， 当，时，，所以. 故选：C. 2．B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【详解】. 故选：B 3．D 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果. 【详解】易知. 故选：D 4．A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 5．B 【分析】先求出角的终边经过某点的的三角函数值，再化简即可. 【详解】因为角的终边经过点 所以， 所以， 故选：B. 6．B 【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可. 【详解】根据题意可知，所以， 若 ，则，与矛盾 故，将其上下同时除以，可得， 化简可得，解之得或. 故选：B 7．A 【分析】由题意可得出代入利用诱导公式化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 所以， 所以. 故选：A. 8．A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 9．BD 【分析】根据k的正负判断A，根据诱导公式判断B，根据三角函数在坐标轴上的符号判断C，由对称及三角函数的定义判断D. 【详解】当时，，故A选项错误； ，B正确； 时，的终边在第一或第四象限或轴非负半轴，C错误； 因为，角和角的终边关于轴对称， 结合三角函数定义可知，即，故D选项正确． 故选：BD 10．BCD 【分析】根据终边相同角的定义判断A；根据弧度制和角度制的转化判断B，根据角的定义判断C；根据终边关于轴对称的角的关系判断D. 【详解】对于A选项，，所以与的终边相同，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，经过4小时时针转了，故C错误； 对于D选项，若角与终边关于轴对称，则，，故D错误， 故选：BCD. 11．BC 【分析】由所给条件推出函数的周期和对称轴，根据在的单调性，将选项中数据转化到区间中，根据单调性判断选项. 【详解】为奇函数，，所以函数关于对称， 为偶函数，则，所以关于对称， 又函数关于对称，所以，即有，所以周期为4， ，所以为偶函数， 当时，，在上单调递减， A选项：，所以，故A错误； B选项：，所以，故B正确； C选项：，，，所以 ，即，故C正确； D选项：，，，则， 所以，即，故D错误； 故选：BC 12．/ 【分析】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以由三角函数的定义可得：， . 故答案为： 13．2 【分析】由方程求出，再由诱导公式化简后代入即可得解. 【详解】由可得，且为锐角， 解得或（舍去）， 所以， 故答案为：2 14． 【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可. 【详解】， 因为角终边上一点，所以，则， 所以 故答案为： 15．(1)，，； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 16． 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数之间的基本关系即可求出结果. 【详解】利用诱导公式将原式化简可得 原式 又因为， 所以． 17．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可； （2）利用对数的运算公式求解即可； （3）利用换底公式和对数的运算求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2） （3），所以，又， 18．(1)； (2)3. 【分析】（1）根据题设及平方关系可得，再应用诱导公式求目标函数值； （2）由题设得，利用平方关系、商数关系求目标函数值. 【详解】（1）因为，， 又，可得， 由于， 所以． （2）由题设，易得， 两边平方，得，可得， ． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据，，解得函数的定义域为. （2）化简，代入求得 然后根据以及同角三角函数间的关系，解得， 最后化简解得： 【详解】（1）依题意，，. 所以有. 所以函数的定义域为. （2）. 由，得. 又因为， 所以. 所以. 所以 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）在有意义的前提下，下列各项与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖南岳阳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建·开学考试）已知，，则（    ） A．2 B． C． D．3 7．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B．C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 10．（22-23高一下·江西赣州·期中）质点和在以坐标原点为圆心，1为半径的上做匀速圆周运动，同时出发.逆时针运动，角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；顺时针运动，角速度大小为，起点为射线与的交点.当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知角满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京·期中）已知，且，则 ． 13．（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 16. (15分) （23-24高一下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求、、的值； (2)设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 17. (15分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 18. (17分) （23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 19. (17分) （23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C D B D BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】由正切的诱导公式计算． 【详解】． 故选：C． 2．D 【分析】结合诱导公式和商数关系判断． 【详解】 故选：D． 3．A 【详解】根据题意， ，进而根据诱导公式求解即可. 【分析】解：如图，在中，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以 所以. 故选：A. 4．B 【分析】根据诱导公式化简，再代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5．C 【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化， 【详解】由两边同时平方，可得， ，解得. . 故选：C. 6．D 【分析】利用辅助角公式求出，再结合同角关系以及诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 故，所以， 故选：D 7．B 【分析】先由分母不为零确定函数的定义域，再由三角函数的诱导公式和确定函数为奇函数，最后讨论和时的正负可得结果； 【详解】由可得函数的定义域为，且， 因为，所以为奇函数． 因为， 所以当时，，当时，，排除A，C，D， 故选：B. 8．D 【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】 是第二象限角，且， ， ， 故选：D. 9．BD 【分析】由三角函数定义以及诱导公式即可得解. 【详解】由题意，所以或， 所以. 故选：BD. 10．ABD 【分析】设时刻两点重合，则满足，根据任意角的正弦函数､余弦函数的定义与三角函数的周期性逐一判断各选项. 【详解】由题意得的初始位置的坐标为，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即. 当时，，，即，故A正确. 当时，，得， 即，故B正确. 当时，，即，故D正确. 由三角函数的周期性可知，其余各点均与上述三点重合，故C错误. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】由诱导公式判断． 【详解】因为，所以，A正确；，B错误； ，，选项C正确； ，选项D正确； 故选：ACD． 12．/ 【分析】先利用同角三角函数关系求得的值，再利用诱导公式即可求得的值. 【详解】由，可得， 又，则， 则， 则. 故答案为： 13． 【分析】由及，又，利用诱导公式分别求出和，即可求得. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 16．(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）分，两种情况，根据三角函数的定义即可求解. （2）先根据题意得出；再利用诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为在直角坐标系中，角的终边经过点， 所以. 当时，，此时，，； 当时，，此时，，； 综上可得：当时， ，，； 当时，，，. （2）由（1）知：当时，. 因为角的终边与角的终边关于轴对称， 所以. 则. 17．(1) (2) (3)该同学猜想正确，理由见解析 【分析】（1）解法一首先由向量的平行四边形定则和向量的数量积得到，再由三角函数的定义得到，，最后再结合正切函数的诱导公式得到；方法二设，，由向量夹角的定义得到，在中再结合勾股定理和三角函数值求出； （2）由三角形的面积公式得到，再角度关系和二倍角公式及结合正弦函数的最值化简可得； （3）由三角形的面积公式得到，再由向量夹角的定义结合三角函数值得到，求出结果即可. 【详解】（1）记，，则． （1）解法一：∵，∴， ∴， ∴， ∵正方形ABCD的边长为1，∴，， 在中，，，由， 则， ∴，． ∵，∴． 解法二：． 设，，则． 在中，，即， ． ∵，∴． （2），． ∴， ∵，∴． ∵，∴当时，面积的最小值为． （3）设中PQ边上的高为h，由，得， ． 又∵，∴， 且，∴， ∴，即为定值，该同学猜想正确. 【点睛】关键点点睛： （1）在求三角形面积时除了常规公式外可用公式； （2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦时，可用配凑法结合三角函数的诱导公式比较简便. 18．(1) (2) 【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值； （2）利用诱导公式求解. 【详解】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 19．(1) (2) 【分析】（1）若选条件①，则由任意角三角函数的定义求出，然后化简代值计算即可；若选条件②，利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可；若选条件③，先解方程求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可； （2）由（1）知选条件①，②，③时，，代入计算即可. 【详解】（1）若选条件①，则， 所以 ； 若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得 ，， 所以 ； 若选条件③，则由，得， 化简得，得， 因为，所以， 所以，， 所以 ； （2）若选条件①，由（1）知， 所以 ； 若选条件②，由（1）知， 所以 ； 若选条件③，由（1）知， 所以 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3诱导公式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 2 【巩固训练】 5 【提升训练】 7 知识回顾 1. 诱导公式二 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα. 2. 诱导公式三与公式四 (1)诱导公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα. (2)诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα. 3. 诱导公式五 sin＝cosα，cos＝sinα. 4. 诱导公式六 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·北京·专题练习）已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西·模拟预测）设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知tan100°=K，则cos10°=（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·河北衡水·开学考试） . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 . 14．（24-25高三上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转至线段.若，则点的纵坐标为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·云南昭通·期中）（1）化简：； （2）已知角的终边经过点，求的值； （3）已知角终边上一点，化简并求值：. 16. (15分) （24-25高一上·全国·课前预习） 化简：． 17. (15分) （22-23高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，求的值. 18. (17分) （24-25高三上·上海·开学考试）已知 (1)若是第一象限角，求的值； (2)求的值. 19. (17分) （24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设函数，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B．0 C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的终边经过，，则 B． C．若，则为第一或第四象限角 D．若角和角的终边关于轴对称，则 10．（23-24高一上·湖北荆州·期末）下列说法错误的是（    ） A．与的终边相同 B．化成弧度是 C．经过4小时时针转了 D．若角与终边关于轴对称，则， 11．（22-23高一下·湖北·阶段练习）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 13．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知锐角满足，则 ． 14．（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知角终边上一点，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 16. (15分) （24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值． 17. (15分) （23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算题： (1)已知，，求的值； (2)； (3)已知，，求用表示 18. (17分) （23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数， (1)若，，求的值; (2)若，求的值. 19. (17分) （22-23高一下·北京·期中）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，且，求的值. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）在有意义的前提下，下列各项与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖南岳阳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建·开学考试）已知，，则（    ） A．2 B． C． D．3 7．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 10．（22-23高一下·江西赣州·期中）质点和在以坐标原点为圆心，1为半径的上做匀速圆周运动，同时出发.逆时针运动，角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；顺时针运动，角速度大小为，起点为射线与的交点.当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知角满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京·期中）已知，且，则 ． 13．（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 16. (15分) （23-24高一下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求、、的值； (2)设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 17. (15分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 18. (17分) （23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 19. (17分) （23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$