5.2三角函数的概念-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

5.2三角函数的概念（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 11 【提升训练】 20 知识回顾 1. 任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin__α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos__α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan__α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 定义域 函数y＝sin x与y＝cos x的定义域为R，y＝tan x的定义域为. 2. 同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝. 3. sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. 4. 各象限三角函数值的符号 正弦函数一、二象限正，三、四象限负；余弦函数一、四象限正，二、三象限负；正切函数一、三象限正，二、四象限负. 5. 诱导公式一 sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 6．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·全国·单元测试）若是第二象限角，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知，，则下列选项中正确的有（      ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．命题“”的否定为” C．若，则 D．的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设，则 13．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，则= ； 14．（24-25高三上·湖北襄阳·阶段练习）若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值． 16. (15分) （22-23高一上·广东东莞·期中）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值． (2)已知角为第四象限角，且满足，求的值． 17. (15分) （23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 18. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 19. (17分) （24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C C C D BD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C 2．C 【分析】根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意及图示可知，点的横坐标为， 所以. 故选：. 3．A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以. 故选：A. 4．A 【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点， 令， 所以， 所以， 故选：A. 5．C 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 6．C 【分析】应用同角三角函数关系计算求解即可. 【详解】因为为第二象限角,又因为, 所以. 故选：C. 7．C 【分析】由同角三角函数基本关系与绝对值性质计算即可得. 【详解】， 则，，故角所在的象限是第三象限. 故选：C. 8．D 【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可. 【详解】由. 故选：D 9．BD 【分析】判断的三角函数值符号，再利用同角公式判断作答. 【详解】由是第二象限角，得，，， 对于A，，即有，A错误； 对于B，由，即，得，B正确； 对于C，，于是，C错误； 对于D，由商数关系知，成立，D正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】由题意，，两边平方得到，进而求得求解. 【详解】解：由题意知，，， 所以，即， 所以； 又因为，且， 所以， 所以; 由，解得，. 故选：ACD 11．AD 【分析】通过分析各个选项即可得出结论. 【详解】由题意， A项，充分性：当时，，充分性不成立. 必要性：当时，可以取，可以取，此时，必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确； B项，命题“”的否定为”，故错误； C项，若，则，故错误； D项，在中函数单调递增，则当函数最大时，函数的值最大，此时，，D正确. 故选：AD. 12． 【分析】将两边平方，结合平方关系计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13． 【分析】根据条件可得，即可利用弦切互化以及齐次式求解. 【详解】由可得， ， 故答案为： 14． 【分析】根据，，解得即可． 【详解】因为，可得 又因为，可得，解得或（舍去） 所以． 故答案为：． 15．(1)第四象限 (2)， 【分析】（1）根据三角正弦值及余弦值正负判断象限； （2）根据任意角的三角函数值求参，再根据正弦定义计算即可. 【详解】（1）由，可知， 由有意义，可知， ∴角α的终边在第四象限． （2）∵，∴，解得． 又α是第四象限角，故，即． 由正弦函数的定义可知． 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意，取点，则，结合三角函数的定义即可求解； （2）由题意可得，进而，结合和即可求解. 【详解】（1）是第三象限角，且， 取点，则， ，； （2），， ， 是第四象限角，，， ，. 17．(1)4 (2) 【分析】（1）分子分母同时除以将弦化切即可求解. （2）利用将式子进行变形为分式齐次式形式，再进行弦化切即可求解. 【详解】（1）由题. （2）因为， 故 . 18．(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）展开即可. （2）通分，再利用化简即可得到答案. 【详解】（1）， . （2） . 19．(1) (2) 【分析】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可； （2）利用完全平方公式和同角三角函数的基本关系进行化简即可得解. 【详解】（1）原式=． （2）原式 ． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．和 B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西来宾·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 6．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北沧州·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角 的终边过点，则 D．若，则 11．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 16. (15分) （23-24高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若，，求的值. 17. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知是第二象限的角，化简：． 18. (17分) （23-24高一上·天津·阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 19. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D D B B BD BCD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得 故选：B. 2．C 【分析】在角的终边上取点，利用角的三角函数定义进行计算检验即得. 【详解】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项； 对于C，因，符合题意，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：C. 3．C 【分析】根据角的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确. 【详解】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C 4．A 【分析】利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 又，， 所以， 故选：A. 5．D 【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角， 所以为第三象限的角，即，， ∴，， ∴为第二或第四象限的角. 故选：D. 6．D 【分析】由韦达定理可得，，进而可得，进而切化弦即可得结果. 【详解】因为是方程的两根， 则，， 且，则， 可得 ， 所以. 故选：D. 7．B 【分析】由同角的三角函数和切弦互化计算可得. 【详解】因为为第二象限角，且， 所以， 所以， 故选：B 8．B 【分析】先换元，即令，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最小值. 【详解】， 令，即， 所以， 由，得， 从而原函数化为， 当时，． 故选:B． 9．BD 【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得. 【详解】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 10．BCD 【分析】根据题意，解得终边相同角的表示，扇形的弧长、面积公式，以及三角函数的定义和三角函数的基本关系式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以与的终边相同，表示第二象限角，所以A错误； 对于B中，设扇形的所在圆的半径为 ，因为圆心角为的扇形的弧长为， 可得，解得，所以扇形的面积为，所以B正确； 对于C中，由角的终边过点，可得， 根据三角函数的定义，可得，所以C正确； 对于D中，由，则，所以D正确. 故选：BCD. 11．AB 【分析】平方得到，根据得到，AB正确，根据，，故，C错误，计算得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，则，即， 故，，故，则，，正确 对选项B： ，正确； 对选项C：，，故，错误； 对选项D：，错误； 故选：AB 12． 【分析】由,然后用齐次化的方法求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13． 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 14．/ 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 可得，平方可得，可得， 所以. 故答案为： 15．(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 16．(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知，结合任意角三角函数的定义分析求解； （2）由题意可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点， 则，可知， 又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B， 所以，可得. （2）若，，则， 所以. 17． 【分析】根据条件，利用平方关系和三角函数在各个象限的符号，进行化简，即可求出结果. 【详解】因为 ， 又是第二象限的角，所以，故， 所以. 18．(1)，钝角三角形； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数值的符号法则求解即得. （2）由（1）的结论，结合同角公式计算即得. 【详解】（1）由，两边平方得，即， 所以； 由是的一个内角，得，则，而，则，有， 所以是钝角三角形. （2）由（1）知，，， 所以. 19．（1）；（2） 【分析】（1）利用商数关系，得到，再由条件，即可求出结果；（2）根据条件及平方关系，得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，又，所以. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东东莞·期末）如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 5．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 7．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 8．（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A．是钝角 B．是第二象限角 C． D．点在第四象限 10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若角的终边落在第二象限，则下列结论正确的是（    ） A．点在第三象限 B．角的终边经过点，则实数的取值范围是 C．为其终边上的一点，且，则等于 D．的值为 11．（23-24高一上·海南儋州·期末）若，则正确的结论为（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·天津·期末），则 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 14．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2022·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上. (1)设函数，，求函数的值域； (2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积. 16. (15分) （23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，且有意义. (1)试判断角的终边所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求m及的值. 17. (15分) （22-23高一·全国·课堂例题）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 18. (17分) （23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 19. (17分) （23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数且. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B B B D D BC AC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】判断分别是哪个象限角，结合三角函数的定义即可判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以点在平面直角坐标系中位于第二象限， 故选：B. 2．A 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 3．A 【分析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可 【详解】因为， 所以由，得，此时，所以排除CD， 当时，越来越小，单调递减，所以排除B， 故选：A 4．B 【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果. 【详解】因为，所以的终边在第四象限，即， 则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限； 故选：B 5．B 【分析】由同角三角函数的基本关系化简已知式，再结合，即可得出答案. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，， 所以原式. 故选：B. 6．B 【分析】先利用同角三角函数的基本关系转化为一元二次方程，进而因式分解解方程并结合可得的值. 【详解】由题意可得，即，即， 又，故. 故选：B. 7．D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 8．D 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 9．BC 【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案. 【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误； ，C正确； 由，，则点在第二象限，D错误. 故选：BC. 10．AC 【分析】根据条件，利用三角函数的定义及三角函数在各个象限的符号，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为角的终边落在第二象限，所以，所以选项A正确； 对于选项B，由题知，，得到，所以选项B错误； 对于选项C，因为为其终边上的一点，且，所以，得到或（舍去）， 所以，故选项C正确， 对于选项D，， 所以选项D错误， 故选：AC. 11．AC 【分析】由题意由商数关系以及平方关系依次得，，由此即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，将代入得， ，，，所以AC选项正确，BD选项错误． 故选：AC. 12． 【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可. 【详解】因为 所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意可得，再对式子进行化简即可求值. 【详解】由题意得 所以． 故答案为：. 14． 【分析】根据正余弦的齐次式化为正切函数即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为； 15．(1) (2) 【分析】（1）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，再求的值域（2）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，从而求出的大小，再利用余弦定理，求出的长度，确定出点在上的位置之后，即可求的面积 【详解】（1）∵的终边过点，∴，. ∵，∴. 则， ∵，∴，∴，∴， 即的值域是. （2）∵的终边过点， ∴，. ∵，∴，∴. 由余弦定理可得，， ∴，解得. ∵，∴为的中点， ∴则的面积 16．(1)第四象限； (2)，． 【分析】（1）由题意得出，，从而可得终边所在象限； （2）由（1）得，再结合单位圆可得值，从而得出． 【详解】（1）有意义，则，终边在轴右侧，又，则，终边在第二或第四象限，所以的终边在第四象限； （2）由题意，又由（1）知，所以，． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解； （2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解. 【详解】（1）∵， ∴,即， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ， 又， ∴，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴． 18．(1) (2)，或. (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 19．(1)定义域为，奇函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可； （2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可. 【详解】（1）要使有意义，需满足，解得， 故定义域为. 判断是奇函数. 证明：定义域为，关于原点对称； 又 ， 所以为奇函数； （2）由，得． 由（1）知为奇函数，则， 所以， 因为， 令，则在上单调递增， 当时，单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减， 则要使恒成立， 即恒成立， 即要使①，②，③均恒成立. 由，不等式①②显然恒成立， 由， 且当时，， 故不等式③也恒成立， 故当时，即对于任意的，恒成立. 当时，单调递增，则在上单调递增， 则恒成立， 由， 即①，②，③均恒成立 当时， 要使①恒成立，则，则； 不等式②显然恒成立； 要使不等式③恒成立得，， 由解得； 故当时，要使①②③均恒成立，则 综上所述，实数a的取值范围为. 【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2三角函数的概念（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 5 【提升训练】 8 知识回顾 1. 任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin__α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos__α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan__α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 定义域 函数y＝sin x与y＝cos x的定义域为R，y＝tan x的定义域为. 2. 同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝. 3. sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. 4. 各象限三角函数值的符号 正弦函数一、二象限正，三、四象限负；余弦函数一、四象限正，二、三象限负；正切函数一、三象限正，二、四象限负. 5. 诱导公式一 sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 6．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·全国·单元测试）若是第二象限角，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知，，则下列选项中正确的有（      ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．命题“”的否定为” C．若，则 D．的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设，则 13．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，则= ； 14．（24-25高三上·湖北襄阳·阶段练习）若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值． 16. (15分) （22-23高一上·广东东莞·期中）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值． (2)已知角为第四象限角，且满足，求的值． 17. (15分) （23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 18. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 19. (17分) （24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．和 B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西来宾·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 6．（24-25高三上·江苏连云港·期中）若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北沧州·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列结论正确的是（　　） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．若角 的终边过点，则 D．若，则 11．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 16. (15分) （23-24高一上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若，，求的值. 17. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知是第二象限的角，化简：． 18. (17分) （23-24高一上·天津·阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求的值． 19. (17分) （23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东东莞·期末）如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 5．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 7．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 8．（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A．是钝角 B．是第二象限角 C． D．点在第四象限 10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若角的终边落在第二象限，则下列结论正确的是（    ） A．点在第三象限 B．角的终边经过点，则实数的取值范围是 C．为其终边上的一点，且，则等于 D．的值为 11．（23-24高一上·海南儋州·期末）若，则正确的结论为（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·天津·期末），则 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 14．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2022·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上. (1)设函数，，求函数的值域； (2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积. 16. (15分) （23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，且有意义. (1)试判断角的终边所在的象限； (2)若角的终边与单位圆相交于点，求m及的值. 17. (15分) （22-23高一·全国·课堂例题）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 18. (17分) （23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 19. (17分) （23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数且. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$