5.1任意角和弧度制-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

5.1任意角和弧度制（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 14 【提升训练】 25 知识回顾 1. 角的相关概念 (1)角的分类：①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边重合. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β). 2. 象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4. 角度制与弧度制 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5. 角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 6. 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·全国·课后作业）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·河北承德·开学考试）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列命题中错误的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 13．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 14．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 16. (15分) （23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）在直径为20cm的圆中，圆心角为，求弧长. （2）弧长为，圆心角为135°的扇形，求半径和面积. 17. (15分) （23-24高一上·江苏·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍． (1)求⊙O的半径R； (2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积． 18. (17分) （24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 19. (17分) （24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C C A ABD AD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 2．D 【分析】由弧度与角度的关系即可得解. 【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为，即弧度数为． 故选：D． 3．A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，， 角与角终边相同，A是； 对于C，角是第二象限角，角是第四象限角，C不是； 对于B，，即角与角终边相同，B不是； 对于D，角是第三象限角，角是第四象限角，D不是. 故选：A 4．C 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 5．B 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 6．C 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故选：C 7．C 【分析】利用象限角和终边相同的角的知识即可求得结果. 【详解】由题意得，， 故， 因为，所以，， 因为18分钟时回到出发位置，所以， 故，可得，所以， 因为，所以或， 或， 即或. 故选：C. 8．A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 9．ABD 【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解. 【详解】由题知， 因为是锐角，所以， 对于A：所以，故A选项正确； 对于BC：，故B选项正确，C选项错误； 对于D：，故D选项正确； 故选：ABD. 10．AD 【分析】根据任意角、象限角的定义判断各项的正误. 【详解】A：由于三角形内角范围为，内角为不是第一、二象限角，错； B：由任意角定义，始边相同而终边不同的角一定不相等，对； C：如为正角且在第四象限角，故第四象限角不一定是负角，对； D：钝角范围为，而是第三象限角，此时钝角大，错. 故选：AD 11．BCD 【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项. 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 12． 【分析】首先考虑在范围内，终边落在阴影内的角的特征，再结合周期性即可得解. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 13． 2 / 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，进而求出弧长. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 由扇形AOB的面积为，圆心角为，得，解得， 所以扇形的弧长. 故答案为：2； 14． 【分析】利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积. 【详解】设，依题意可得，，解得， 故该扇环的面积为. 故答案为：. 15．（1）； （2）. 【分析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解. 【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 16．（1）；（2）4； 【分析】（1）根据弧长公式计算即可. （2）根据扇形面积公式计算即可. 【详解】（1）由弧长公式可得， 弧长为. （2）因为， 所以扇形的半径为，面积为. 17．(1)1 (2)不发生变化， 【分析】（1）根据切割线定理即可列方程求解； （2）据弦DE∥CB，可以连接OD，OE，则阴影部分的面积就转化为扇形ODE的面积．所以阴影部分的面积不变．只需根据直角三角形的边求得角的度数即可． 【详解】（1）根据题意，得， 由切割线定理，得CD2＝CA•CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（负数舍去）． 即⊙O的半径R为1； （2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化． 连接OD、OE； ∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S阴影＝S扇形ODE； ∵CD切⊙O于D点，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°， ∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°， ∴△ODE是等边三角形；∴． 【点睛】熟练运用切割线定理，能够把不规则图形的面积进行转换是解题的关键． 18．(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 19．(1) (2)弧度 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·江苏·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江西新余·模拟预测）扇环是指一个圆环从圆心引出两条射线截出的部分.组成同一扇环的大、小两弧分别称为外弧与内弧，外弧与内弧在其对应圆上对应的弦为外弦与内弦.如图：两个全等的扇环圆心角为，按此方式摆放，我们会认为环更大，这就是“贾斯特罗错觉”.现顺势延长环使环的内弧长等于环的外弧长，若外、内弧对应圆半径比为，则延长后的内弦与的外弦长度比为（     ）. A． B． C． D． 5．（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建·开学考试）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图（1）所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是（     ） A．勒洛三角形不是中心对称图形 B．图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等 C．图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等 D．图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 7．（2023高一·全国·专题练习）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 8．（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 10．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）下列说法正确的有（ ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 11．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角，则角的终边落在第 象限． 13．（24-25高一上·上海·课前预习）已知角，则角的终边在第 象限. 14．（2023高三·全国·专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 16. (15分) （2023高一上·全国·专题练习）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 17. (15分) （2024高一下·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 18. (17分) （23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)把写成的形式，并指出它是第几象限角; (2)求，使与的终边相同，且. 19. (17分) （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B C D A ABC ABC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果． 【详解】如图： 由题意得 则 故选：B． 2．C 【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误. 【详解】，与终边不相，故A错误； 第三象限角的集合为，故B错误； 终边在轴上角的集合为， 即， 即，故C正确； 是第二象限角，第一象限角，， 故D错误； 故选：C. 3．B 【分析】先将圆心角化为弧度角，再利用扇形面积公式直接求解即可. 【详解】扇形OAB的圆心角为，又因为，， 所以该扇环形木雕的面积为. 故选：B 4．D 【分析】设外、内弧对应圆半径分别为，且，由题意可得，求解可得，进而可求结论. 【详解】设外、内弧对应圆半径分别为，且， 由已知可得的外弧长：，的内弧长：， 由题意可得两式相等得：，解得； 易得延长后的内弦长：，的外弦长：，显然：比值为. 故选：D. 5．B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 6．C 【分析】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，判断A,根据定义判断B,根据勒洛三角形上的点到等边三角形的中心的距离不一定相等判断C,应用弧长公式计算判断D. 【详解】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项A正确； 题图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等，选项B正确； 如图，连接，连接并延长交于点G， 设等边三角形DEF的边长为a，易得，，， 勒洛三角形上的点到等边三角形DEF的中心的距离不一定相等，选项C错误； 设等边三角形DEF的边长为a，则勒洛三角形的周长，圆的周长， 勒洛三角形的周长与圆的周长相等，选项D正确. 故选:C. 7．D 【分析】根据题意求出的范围即可判断. 【详解】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 8．A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 9．ABC 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确； B.终边在轴上的角的集合是，故正确； C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确； D.终边在上角的集合，故错误； 故选：ABC 10．ABC 【分析】结合象限角的概念检验选项A，B，C，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可． 【详解】解：，为第三象限角，故A正确； 锐角为第一象限角，故B正确； 若， 则， 所以为第一象限角或第三象限角，故C正确； 若一扇形面积为，弧长为，则，即， 所以圆心角为，故D错误． 故选:ABC． 11．ABC 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 12．三 【分析】 根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案. 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 13．二 【分析】根据终边相同角的概念，结合弧度制可解. 【详解】终边落在第几象限就是第几象限角，则. 根据终边相同角概念，与终边相同，则的终边在第二象限. 故答案为：二. 14．2 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 15．(1)4种； (2)–315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°； (3)，． 【分析】（1）由终边相同的角，所以可以按除以4的余数进行分类讨论； （2）解不等式即可求解； （3）由（1）可知，， 【详解】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合； 当（）时，，与135°角的终边重合； 当（）时，，与225°角的终边重合； 当（）时，，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. （2）由，得． 又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，． 16．. 【分析】利用终边在直线上的角的表示方法，求出角θ的集合. 【详解】依题意，，显然角与终边都在直线上，且互为反向延长线， 而终边在直线上的角为，终边在y轴上的角为， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为. 17．答案见解析 【分析】根据题意，由终边相同角的集合，结合图像，即可得到结果. 【详解】① ② 18．(1)，第三象限角 (2)或. 【分析】（1）利用终边相同的角的表示方法可将表示为的形式，再判断所在的象限. （2）由（1）可得，然后解不等式，求出整数的值，代入可求出的值. 【详解】（1）因为 于是，它是第三象限角. （2）由（1）知， 因为，所以，即， 因为，所以或. 当时，； 当时，． 所以或. 19．(1)160厘米； (2)6400平方厘米. 【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解； （2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. （2）因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（22-23高一上·安徽合肥·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 5．（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 6．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 7．（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河南新乡·期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·山东·阶段练习）下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 10．（2023高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（    ） A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 11．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（    ） A．与的终边相同 B．若为第二象限角，则为第一象限角 C．终边经过点的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 13．（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 . 14．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023高一·江苏·专题练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 16. (15分) （23-24高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 18. (17分) （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 19. (17分) （2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D C A A BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可. 【详解】解：， 故与终边相同的角可表示为：， 对A， ， 解得：，故A错； 对B，， 解得：，故B错； 对C，， 解得：，故C对； 对D，， 解得：，故D错. 故选：C. 2．A 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 3．B 【分析】先确定点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，即可得出答案. 【详解】，，即， 故点P在第四象限，即角的终边在第四象限， 的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限． 故选：B． 4．D 【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确． 【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误； 对于B，，与终边不同，故B错误； 对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误； 对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确． 故选:D． 5．D 【分析】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D. 【详解】A错，是第二象限角，但不是钝角； B错，是第二象限角，是第一象限角，但； C错，，则，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍， 故. 故选：D. 6．C 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 7．A 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 8．A 【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断. 【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 故选：A 9．BC 【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D． 【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确； 对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误； 对于选项C：若，不是第一象限角，错误； 对于选项D：而表示的奇数倍， ，而表示 的整数倍，所以，正确． 故选：BC 10．ABD 【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得. 【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确； 经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确； 经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确； 设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以与的终边相同，正确； 对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误； 对于C，终边经过点的角的集合是，正确； 对于D，设扇形的半径为，则，可得， 因此，该扇形的面积为，正确. 故选：ACD 12． （或写作） 【分析】由题意解出重合时刻t的值，进而可得P点位置，可求坐标. 【详解】设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为； 设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为， 由起点坐标为，则点P相对于其起点的位移的大小为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：由点P和Q的位置和旋转方向可知，时P与Q重合，由，由的值，可确定P点位置，求出坐标 13． 【分析】,运用弧度之下的扇形面积公式，弧长公式求解即可. 【详解】因为勒洛三角形的周长为，所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1.由题意可得 . 故答案为：. 14．9 【分析】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，在中，求出半径及，求出弦AB，即可求出结论． 【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，如图所示， 由题意可得∠AOB＝，OA＝4， 在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝， OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2， 由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝， 所以弧田面积＝×()＝， 因为，则，从而， 因此，所得弧田面积最接近的整数是9. 故答案为：9. 15．或. 【分析】由题得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解. 【详解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z， 则一定有k＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n·360°(n∈Z)， ∴θ＝，从而90°<<135°， ∴<n<， ∴n＝4或5. 当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝. 所以或. 16．（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）. 【分析】（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解； （2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可. 【详解】是第四象限的角， ， ， 当时， 此时是第二象限； 当时， 此时是第四象限； 又 此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴； （2） 17．(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 18．(1)，最小值为； (2)，最大值为． 【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解. （2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解. 【详解】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 19．(1)， (2) 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值 （2）利用垂径定理结合解直角三角形可得． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 所以， ， 当且仅当，即，取得最大值 （2）设交于，则由垂径定理得， ， 由（1）知，， 所以， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1任意角和弧度制（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 11 知识回顾 1. 角的相关概念 (1)角的分类：①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边重合. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β). 2. 象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4. 角度制与弧度制 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5. 角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 6. 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·全国·课后作业）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一下·河北承德·开学考试）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列命题中错误的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 13．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 14．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 16. (15分) （23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）在直径为20cm的圆中，圆心角为，求弧长. （2）弧长为，圆心角为135°的扇形，求半径和面积. 17. (15分) （23-24高一上·江苏·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍． (1)求⊙O的半径R； (2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积． 18. (17分) （24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 19. (17分) （24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·江苏·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江西新余·模拟预测）扇环是指一个圆环从圆心引出两条射线截出的部分.组成同一扇环的大、小两弧分别称为外弧与内弧，外弧与内弧在其对应圆上对应的弦为外弦与内弦.如图：两个全等的扇环圆心角为，按此方式摆放，我们会认为环更大，这就是“贾斯特罗错觉”.现顺势延长环使环的内弧长等于环的外弧长，若外、内弧对应圆半径比为，则延长后的内弦与的外弦长度比为（     ）. A． B． C． D． 5．（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建·开学考试）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图（1）所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是（     ） A．勒洛三角形不是中心对称图形 B．图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等 C．图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等 D．图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 7．（2023高一·全国·专题练习）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 8．（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 10．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）下列说法正确的有（ ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 11．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角，则角的终边落在第 象限． 13．（24-25高一上·上海·课前预习）已知角，则角的终边在第 象限. 14．（2023高三·全国·专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 16. (15分) （2023高一上·全国·专题练习）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角θ的集合． 17. (15分) （2024高一下·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 18. (17分) （23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)把写成的形式，并指出它是第几象限角; (2)求，使与的终边相同，且. 19. (17分) （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（22-23高一上·安徽合肥·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 5．（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 6．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 7．（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河南新乡·期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·山东·阶段练习）下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 10．（2023高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（    ） A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 11．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（    ） A．与的终边相同 B．若为第二象限角，则为第一象限角 C．终边经过点的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 13．（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 . 14．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023高一·江苏·专题练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 16. (15分) （23-24高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 18. (17分) （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 19. (17分) （2024高一下·上海·专题练习）如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$