4.5函数的应用-2024-2025学年高一上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.5函数的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 15 【提升训练】 30 知识回顾 1. 函数零点的概念 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3. 二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4. 用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 5. 常见的几种函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) 分段函数 y＝ 幂函数 y＝xα(α为常数) 指数型函数 y＝k·ax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 对数型函数 y＝klogax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽·期中）若函数的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（    ） 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A． B．与成正比例关系 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 14．（22-23高一上·江苏连云港·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，且关于x的方程在有实根，求实数的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 17. (15分) （23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 18. (17分) （24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求关于的不等式的解集； (2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 19. (17分) （23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C A C B D BCD ABD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据二分法的原理即可判断即可. 【详解】因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，， 故选：C. 2．C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 3．B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 4．C 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 5．A 【分析】利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知无解，即. 故答案为：A 6．C 【分析】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解. 【详解】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C 7．B 【分析】把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的横坐标，画出图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. 8．D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 9．BCD 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由所给的函数值表知， 由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点， 故选：BCD. 10．ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 11．BD 【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确. 【详解】A选项，由题意得， 又，故，两边取对数得，， ，A错误； B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确； C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值， 故，C错误； D选项，， ， 故，D正确. 故选：BD 12． 【分析】由题意将方程化为，结合对勾函数的性质可得，即可求解. 【详解】由题意知，，所以原方程可化为， 设，，由对勾函数的性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13． 【分析】令，利用零点存在性定理，满足，即可找到零点所在区间. 【详解】令，因为在定义域内单调递增， 且，，， 因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取. 故答案为： 14． 【分析】根据题意分别求出占地费和库存货物费与距离之间的函数关系式,求总费用的方程,用基本不等式即可. 【详解】解:由题知,设,, 由已知得,即, 即 两项费用之和为, 即,         当且仅当, 即时取等号, 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处,才能使两项费用之和最小. 故答案为: 15．(1) (2) 【分析】（1）解不等式即可；（2）待定系数法求函数解析式，再解方程即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以 所以，即， 所以， 所以不等式的解集为. （2）因为函数的图象过点， 所以，即，解得 所以， 因为方程有实根， 所以有实根， 所以有实根， 所以有实根， 所以有实根， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16．(1) (2)每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【分析】（1）根据已知条件构造函数模型，利用待定系数法即可求解； （2）直接由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为， 则 当时，，解得， 所以； （2）由（1），， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元. 17．(1)图象见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可； （2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 【详解】（1）由解析式得图象如下， （2） 由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点， 所以. 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，分，与三种情况解不等式即可. （2）原命题等价于有实根，令，令，，，利用对勾函数的性质求得在上的值域即可得到a的取值范围. 【详解】（1）由得，即， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为 （2）因为在时存在零点， 在时存在实根， 即方程有实根， 令， 令，，， 由对对勾函数性质知，在上单调递减，在单调递增. ，，， 所以. 19．(1) (2)的单调递减区间是，单调递增区间是， (3) 【分析】（1）根据题意，利用函数为奇函数，结合，即可求解； （2）作出函数的图象，结合图象，即可得到函数的单调区间； （3）根据题意，转化为函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：设，则，因为时，， 可得， 又因为函数是奇函数，所以，即， 所以函数的解析式为. （2）解：作出函数的图象，如图所示： 可得的单调递减区间是，单调递增区间是，    （3）解：要使得方程有三个不同的根， 即函数与的图象有三个不同的交点， 如图所示，可得，即的取值范围是．    巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江宁波·期中）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: 则方程的近似解(精确度)可取为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是（    ） A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案② C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③ 11．（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（    ） A．的最小正周期 B．的图象关于对称 C． D．函数在区间上所有零点之和为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 13．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 . 14．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·全国·课后作业）函数在区间内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不超过0.2）；若没有零点，说明理由. （参考数据:，，，，，） 16. (15分) （24-25高一上·重庆·期中）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 17. (15分) （2024·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 18. (17分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） (3)写出解不等式的解集． 19. (17分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数 (1)若是上的增函数，求实数的取值范围; (2)若，方程有三个实数解. ①写出实数和的取值范围; ②求证:. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A A A D A AB ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 2．A 【分析】由题意可得，计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， 即. 故选：A. 3．B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 4．A 【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可. 【详解】因为在区间上存在两个零点， 所以, 解得或, 因为集合是集合或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 5．A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 6．A 【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】作出图像， 令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且， 则，解得， 故选：. 7．D 【分析】由函数零点的性质可得到，再结合简单复合函数的单调性求出结果即可. 【详解】因为，易得在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一零点，即， 又由已知可得，， 所以， 即， 因为，所以， 结合选项可知无需考虑， 则和这两个函数均为增函数， 所以，即， 所以，又，即， 所以，即，所以. 故选：D. 8．A 【分析】由题意可得分别为函数与的交点，作出三个函数的图象，由图象可得，再由，可得，即可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 则由题意得分别为函数与的交点， 作出三个函数图象如图所示，    由图可得，所以， 由题意得，则， 所以，即， 所以. 故选：A 9．AB 【分析】结合函数的性质及零点存在定理,利用二分法求解即可得到答案. 【详解】由函数在上单调递增， 要使得精确度为，结合表格可知： ，， 此时， 所以方程的近似解在区间内. 故选：AB. 10．ACD 【分析】根据给定的信息，逐项计算判断即得. 【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元， 方案③需：元，若体验7天，则选择方案①薪资最多，A正确； 对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元， 方案③需：元，若体验8天，则选择方案①薪资最多，B错误； 对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元； 方案③需：元，若体验9天，则选择方案③薪资最多，C正确； 对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元， 方案③需：元，若体验10天，则选择方案③薪资最多，D正确； 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据，且判断是奇函数且图象关于对称，进而确定周期和对称中心，判断A，B；计算得C错误；推导出在的图象关于对称且值域为确定D选项. 【详解】因为，所以是奇函数； 因为，所以的图象关于对称， 所以，则， 因而，所以的最小正周期，故A正确； 由，则的一个对称中心为，故B正确； ，故C错误； 当时，单调递增且值域为， 因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为， 又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为， 所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确. 故选：ABD. 12．（不唯一） 【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案. 【详解】由，而，则， ，则， ，则， ，则， 由，所以区间内零点的近似解为. 故答案为： 13． 【分析】根据题意，将点代入函数模型，求出的值，从而可求解. 【详解】由题意可得则，解得. 因为，即， 所以，所以，解得. 故答案为：. 14．且. 【分析】因式分解得到或，画出，数形结合得到且，求出答案. 【详解】， 解得或， 画出及，的图象，如下： 其中，随着的增大，无限接近于直线， 故要想有4个不同的实根， 则需且，解得且. 故答案为：且. 15．零点的近似值为1.625. 【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】易得是定义域内的增函数. ∵，， ∴函数在区间内有且只有一个零点. ∵， ， ∴函数的零点在内. ∵，所以误差不超过0.2. ∴零点的近似值为1.625. 16．(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. （2）由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得. 【详解】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 18．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，    结合图象可知，函数的单调递减区间为和． 因为当时，， 所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当 时，， 故的解析式为. （2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点， 所以. （3）解：当时，可得，结合图象可得； 当时，可得，结合图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 19．(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）①首先得到函数解析式，即可画出函数图象，再数形结合求出的取值范围，又，，即可求出的取值范围；②由①，从而得到，再结合对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 又是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时， 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， ，令，即，解得； 当时，则在上单调递增，且，； 则的图象如下所示： ①因为方程有三个实数解，即与有三个交点， 由图可知，且，， 所以； ②由①可知， 所以， 所以 令， 因为，所以，则， 所以，则， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，所以， 所以. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题有（   ） A．函数图象过定点 B．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C．关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是 D．若，则 10．（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 13．（22-23高一上·江西南昌·期末）要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 14．（24-25高三上·云南楚雄·阶段练习）已知海面上的大气压强是，大气压强P（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 倍（精确到0.01）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. (15分) （23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 17. (15分) （24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过． (1)若注射药品，求药品的有效治疗时间； (2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值． 19. (17分) （24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B C A B B BCD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据题意，转化为方程在上有实数根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由二次函数有零点，即方程在上有实数根， 则满足，解得， 即二次函数有零点的充要条件为. 故答案为：B. 2．B 【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间.然后根据已知条件，分析近似值与真实零点的误差范围. 【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B. 3．D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 4．B 【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点. 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 故选：B. 5．C 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6．A 【分析】分、进行讨论，结合的单调性与零点的存在性定理可判断A，亦可得，由结合对数函数性质进行分析可判断B、C、D. 【详解】当时，易得在上单调递增， 则需，与矛盾，故舍去， 当时，易得在上单调递减， 则需，，故A正确； 由，则，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 7．B 【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【详解】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B． 8．B 【分析】已知函数有五个零点结合图象可值换元后方程有两个根再结合图象得出根与0,1的关系列不等式求解. 【详解】因为函数恰有5个零点，所以方程有5个根． 设，结合图象可得至多有三根，则方程化为，此方程有两个不等的实根，， 结合的图象可知，，， 令， 则由二次函数的零点的分布情况得：解得． 故选:B． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元法及数形结合，五个零点转化为方程有两个根是解题的关键. 9．BCD 【分析】A. 令，利用指数函数过定点求解判断；B. 设，则，得到，再利用函数是定义在上的偶函数求解判断；C. 令，根据题意，由求解判断；D.令，由在R上是减函数求解判断. 【详解】A. 令，解得 ，所以函数图象过定点，故错误； B. 设，则，所以，又因为函数是定义在上的偶函数， 所以，所以的解析式为，故正确； C. 令，因为关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小， 所以，解得，所以实数的取值范围是，故正确； D.令，易知在R上是减函数，因为，所以， 即，所以，即，故正确； 故选：BCD 10．ACD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】由函数图象逐一判断即可； 【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为，故A正确； 对于B，由图象可得该手机在前内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内下降的速度为，由，故C正确； 对于D，由图象可得该手机在电量上升了，所以进行了充电操作，故D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图像可得， 从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，， 最大值为． 故答案为： 13． 6 【分析】根据二分法区间长度每次减半，求出满足条件所取次数；结合零点存在性定理判断近似解所在的区间，直到区间长度为0.0625 【详解】初始区间的长度为1，第一次分割后区间长度为0.5，第二次分割后区间长度为0.25，第三次分割后区间长度为0.125，第四次分割后区间长度为0.0625，第五次分割后区间长度为，第六次分割后区间长度为，所以精确度为0.02时应用二分法逐步最少取6次. 令 第一次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.5； 第二次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.25； 第三次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.125； 第四次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.0625，满足题意， 故所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 故答案为：2； 14． 【分析】先由题给数据求出，再根据所给条件分别求出A、B型直升机所受的大气压强和，接着计算即可得解. 【详解】依题意，即， 则A型直升机所受的大气压强，型直升机所受的大气压强， 所以， 所以A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的倍. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）把函数写成分段函数的形式，根据分段函数的单调性可得实数的取值范围； （2）根据方程恰有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得. 【详解】（1）， 由在上是增函数，则，解得， 则取值范围为. （2）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根. 当时，由， 得时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为； 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为； 由存在，方程有三个不相等的实根， 则，即存在，使得即可， 令，只要使即可，而在上是增函数， ，故实数的取值范围为. 综上所述，实数的取值范围为. 16．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次不等式得解. （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. （3）根据一元二次方程的根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. （2）当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. （3）依题意，关于的方程有一个正根和一个负根， 设， 则，即， 解得，所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 二次不等式的因式分解：利用因式分解的方法，结合符号讨论来求解不等式. 根的分布与参数讨论：通过二次方程的根的正负性，结合函数符号来确定参数范围. 18．(1) (2) 【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段； （2）由两次注射的血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）注射该药品，其浓度为 当时，，解得； 当时，，解得． 所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时． （2）设从第一次注射起，经小时后， 其浓度，则， 因为， 当时，即时，等号成立． ，当时，， 所以，因为， 解得，所以． 当时，，，所以不能保证持续有效， 答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为． 【点睛】方法点睛： 分段函数模型的应用： 在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点. . 19．(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）把代入，解方程即得函数的零点. （2）将问题转化为当时，方程只有1个解，再结合一元二次型方程根的情况求解. （3）利用单调性求出在指定区间上的最值，建立不等式并分离参数，构造函数并借助对勾函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）当时，函数，由，得，即，解得， 所以函数的零点为. （2）方程，则，方程化为， 因此方程的解集中恰好有一个元素，当且仅当时，方程只有1个解， 当时，，符合题意，则； 当时，若，则，此时，符合题意，于是， 若，则，方程的二根为，， 当时，由，得或，显然，， ，即，此时方程有两个解，不符合题意； 当时，由，得，， ，即，此时方程有两个解，不符合题意， 所以实数的值为或. （3）函数在上单调递增，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，，， 由函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，得， 而，则不等式， 依题意，对任意的恒成立， 当时，不等式成立， 当时，令，， 函数在上单调递减，当时，， 因此当时，，则， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5函数的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 函数零点的概念 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2. 函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3. 二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4. 用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 5. 常见的几种函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) 分段函数 y＝ 幂函数 y＝xα(α为常数) 指数型函数 y＝k·ax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 对数型函数 y＝klogax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽·期中）若函数的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（    ） 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A． B．与成正比例关系 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 14．（22-23高一上·江苏连云港·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，且关于x的方程在有实根，求实数的取值范围． 16. (15分) （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 17. (15分) （23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 18. (17分) （24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求关于的不等式的解集； (2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 19. (17分) （23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江宁波·期中）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: 则方程的近似解(精确度)可取为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是（    ） A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案② C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③ 11．（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（    ） A．的最小正周期 B．的图象关于对称 C． D．函数在区间上所有零点之和为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 13．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 . 14．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·全国·课后作业）函数在区间内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不超过0.2）；若没有零点，说明理由. （参考数据:，，，，，） 16. (15分) （24-25高一上·重庆·期中）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 17. (15分) （2024·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 18. (17分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） (3)写出解不等式的解集． 19. (17分) （24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数 (1)若是上的增函数，求实数的取值范围; (2)若，方程有三个实数解. ①写出实数和的取值范围; ②求证:. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题有（   ） A．函数图象过定点 B．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C．关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是 D．若，则 10．（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 13．（22-23高一上·江西南昌·期末）要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 14．（24-25高三上·云南楚雄·阶段练习）已知海面上的大气压强是，大气压强P（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 倍（精确到0.01）. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. (15分) （23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 17. (15分) （24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过． (1)若注射药品，求药品的有效治疗时间； (2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值． 19. (17分) （24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$